01 误差与数据处理.ppt

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1、第第1章章定量分析的定量分析的误差及数据误差及数据处理处理1.1 有关误差的一些基本 概念1.2 随机误差的分布1.3 有限数据的统计处理1.4 测定方法的选择和测定准确的提高1.5 有效数字及计算规则2024/10/171.1有关误差的一些基本概念有关误差的一些基本概念1.1.1系统误差及产生原因系统误差及产生原因系统误差系统误差 由确定性的、经常性的原因产生的误差。由确定性的、经常性的原因产生的误差。1.性质性质（1）重现性：相同条件下，重复测定，重复出现。）重现性：相同条件下，重复测定，重复出现。（2）单向性：或偏高、或偏低，总是向一个向偏离。）单向性：或偏高、或偏低，总是向一个向偏离。

2、2024/10/172.产生原因产生原因（1）方法误差方法误差（2）仪器和试剂误差）仪器和试剂误差（3）操作误差）操作误差2024/10/171.1.2偶然误差及产生原因偶然误差及产生原因偶然误差：偶然误差：由不确定的、难以控制的偶然因素综合作用的结果。由不确定的、难以控制的偶然因素综合作用的结果。1.性质性质 符合正态分布符合正态分布 2024/10/17随机误差的性质随机误差的性质(1)对对称称性性：相相近近的的正正误误差差和和负负误误差差出出现现的的概概率率相相等等,误差分布曲线对称误差分布曲线对称;(2)单单峰峰性性:小小误误差差出出现现的的概概率率大大，大大误误差差的的概概率率小小。

3、误差分布曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势；误差分布曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势；(3)有有界界性性：由由偶偶然然误误差差造造成成的的误误差差不不可可能能很很大大，即即大大误差出现的概率很小；误差出现的概率很小；过失过失(差错差错):认真操作，可以完全避免。认真操作，可以完全避免。2024/10/171.1.3准确度和精密度准确度和精密度1.1.3.1准确度和误差准确度和误差准准确确度度：测测定定值值与与真真值值之之间间相相符符合合的的程程度度。用用误误差差表表示示。误误差差小小，准准确确度高。度高。2024/10/17绝对误差绝对误差：Ea T 相对误差：相对误差：Er 100%相

4、对误差表示误差占真值的百分数。当 T时，产生正误差，测定结果偏高；当 T时，产生负误差，测定结果偏低。2024/10/17讨论讨论(1)同一型号的仪器绝对误差相同，相对误差并不一定相同同一型号的仪器绝对误差相同，相对误差并不一定相同;(2)同同样样的的绝绝对对误误差差，被被测测定定的的量量较较大大时时，相相对对误误差差就就比比较较小小,测定的准确度也就比较高测定的准确度也就比较高;(3)用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切;(4)实际工作中，真值是无法获得。常用纯物质的理论值和实际工作中，真值是无法获得。常用纯物质的理论值和标标准

5、值替代。准值替代。“标标准准值值”是是指指由由具具有有丰丰富富经经验验的的分分析析人人员员，采采用用多多种种可可靠的分析方法，经过反复多次测定得出的比较准确的结果。靠的分析方法，经过反复多次测定得出的比较准确的结果。2024/10/171.1.3.2精密度与精密度与(Precision)偏差偏差(Deviation)精密度精密度在在相相同同条条件件下下，对对同同一一试试样样进进行行多多次次测测定定，各各测测定定结结果果之之间间相相互互接接近近的的程程度度。常常用用偏偏差差衡衡量量。偏偏差差越越小小，测测定定的的精精密密度度越高。越高。偏差常用下列方法来表示：偏差常用下列方法来表示：2024/1

6、0/171.绝对偏差和相对偏差绝对偏差和相对偏差绝对偏差绝对偏差di：测定结果与平均值之差；测定结果与平均值之差；相对偏差相对偏差dr：绝对偏差在平均值中所占的百分率。：绝对偏差在平均值中所占的百分率。2024/10/172.平均偏差平均偏差平平均均偏偏差差：各各偏偏差差值值的的绝绝对对值值的的平平均均值值，称称为为单单次次测测定的平均偏差（定的平均偏差（AverageDeviation）：）：相对平均偏差：相对平均偏差：2024/10/173.标准偏差标准偏差（StandardDeviation）又又称称均均方方根根偏偏差差，当当测测定定次次数数趋趋於於无无限限多多时时，称称为为总体标准偏差

7、，用总体标准偏差，用表示如下：表示如下：为为总总体体平平均均值值，在在校校正正了了系系统统误误差差情情况况下下，n 为为测测定定次数无限多时，次数无限多时，即代表真值。即代表真值。2024/10/17有限次测定时，标准偏差称为有限次测定时，标准偏差称为样本标准差样本标准差，以以s 表示：表示：(n-1)称为自由度，表示称为自由度，表示n 个测定值中具有独立偏差个测定值中具有独立偏差的数目。的数目。2024/10/17相相对对标标准准偏偏差差：s与与平平均均值值之之比比称称为为相相对对标标准准偏偏差，以差，以sr表示表示:相对标准偏差又称为相对标准偏差又称为变异系数变异系数CV(Coeffici

8、entofVariation)。2024/10/17比较：比较：有两组测定值，判断精密度的差异。有两组测定值，判断精密度的差异。甲组甲组2.92.93.03.13.1乙组乙组2.83.03.03.03.2计算：计算：平平均均偏偏差差、相相对对平平均均偏偏差差相相同同；标标准准偏偏差差不不同同，两两组组数数据据的的离离散散程程度度不不同同，因因此此，用用标标准准偏偏差差比比用用平平均均偏偏差更能衡量分析结果的精密度。差更能衡量分析结果的精密度。2024/10/171.1.3.3准确度与精密度的关系准确度与精密度的关系 精密度是保证准确度的先决条件；精密度是保证准确度的先决条件；精密度高不一定准确

9、度高；精密度高不一定准确度高；两者的差别主要是由于系统误差的存在。两者的差别主要是由于系统误差的存在。精密度精密度准确度准确度高高高高高高稍低稍低低低低低很低很低偶然性偶然性 2024/10/17结论结论1.1.准确度高，一定要精密度高；准确度高，一定要精密度高；精密度是保证准确精密度是保证准确度的先决条件，精密度差，所测结果不可靠，就失去度的先决条件，精密度差，所测结果不可靠，就失去了衡量准确度的前提。了衡量准确度的前提。2.2.精密度高，准确度不一定高；可能存在系统误差精密度高，准确度不一定高；可能存在系统误差3.3.好的分析结果，同时要有高的准确度和精密度。好的分析结果，同时要有高的准确

10、度和精密度。2024/10/171.2随机误差的分布随机误差的分布1.2.1随机误差的正态分布（测定无限次，系统误差已消除）f(x)为概率密度，x为测量值 为总体平均值 为总体标准差 2024/10/171.3分析结果的数据处理分析结果的数据处理为什么要对数据进行处理？为什么要对数据进行处理？个个别别偏偏离离较较大大的的数数据据（称称为为离离群群值值或或极极值值）是是保保留留还还是是该该弃去？弃去？测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？相相同同方方法法测测得得的的两两组组数数据据或或用用两两种种不不同同方方法法对对同同一一试试样样测测得

11、的两组数据间的差异是否在允许的范围内？得的两组数据间的差异是否在允许的范围内？2024/10/171.3.1数据的集中趋势和分散程度的表示数据的集中趋势和分散程度的表示1.数据集中趋势的表示数据集中趋势的表示（1）样本平均值）样本平均值（2）中位数）中位数2024/10/172.数据分散程度的表示数据分散程度的表示（1）极差）极差R（全距）（全距）R=xmaxxmin相对极差相对极差（2）平均偏差）平均偏差（3）样本标准差）样本标准差2024/10/171.3.2总体均值的置信区间总体均值的置信区间1.3.2.1t分布曲线分布曲线1.t 定义定义（用（用u代替代替t)说明：说明：f时，时，s，

12、t即即u。实际上，。实际上，f=20时，时，t与与u已很接近。已很接近。2024/10/171.3.2.2置信度与置信区间置信度与置信区间1.置信度置信度(ConfidenceLevel)：置信度是指人们所作判断的可靠程度。用P表示，它指在某一定范围内真值的把握性。68.3%,95.5%,99.7%即为置信度2.置信区间置信区间(ConfidenceInterval)：在某一置信度下，以测定结果为中心的包含总体平均值在内的可靠性范围，称为置信区间。它是正确表示真值的一种统计测定。2024/10/17（1 1）平均值的置信区间：是指在系统）平均值的置信区间：是指在系统误差消除的情况下，某一置信度

13、下，以误差消除的情况下，某一置信度下，以平均值和标准偏差平均值和标准偏差s s和测定次数和测定次数n n来估算来估算真值的所在范围。平均值的置信区间可真值的所在范围。平均值的置信区间可表示为：表示为：2024/10/17例：例：测定测定SiO2的质量分数，得到下列数据，求平均值、标准偏的质量分数，得到下列数据，求平均值、标准偏差、置信度分别为差、置信度分别为90%和和95%时平均值的置信区间。时平均值的置信区间。28.62,28.59,28.51,28.48,28.52,28.63解：解：查表查表2-3置信度为置信度为90%，n=6时，时，t=2.015。置信度为置信度为95%时：时：n=6时

14、，时，t=2.571。置信度，置信区间。2024/10/17(2)置信区间的宽窄与置信度、测定精置信区间的宽窄与置信度、测定精密度和测定次数有关，当测定精密度密度和测定次数有关，当测定精密度(s值小值小)，测定次数愈多，测定次数愈多(n)时，置信时，置信区间区间，即平均值愈接近真值，平均值，即平均值愈接近真值，平均值愈可靠。愈可靠。一般将置信度定为一般将置信度定为90%或或95%。2024/10/17例：例：测测定定钢钢中中含含铬铬量量时时，先先测测定定两两次次，测测得得的的质质量量分分数数为为1.12%和和1.15%；再再测测定定三三次次,测测得得的的数数据据为为1.11%,1.16%和和1

15、.12%。计算两次测定和五次测定平均值的置信区间（计算两次测定和五次测定平均值的置信区间（95%置信度）。置信度）。查表查表2-2，得，得t95%=12.7。解：解：n=2时时2024/10/17n=5时：时：查表查表2-2，得，得t95%=2.78。在在一一定定测测定定次次数数范范围围内内，适适当当增增加加测测定定次次数数，可可使使置置信信区区间间显显著缩小著缩小，即可使测定的平均值与总体平均值，即可使测定的平均值与总体平均值接近。接近。2024/10/171.3.3显著性检验显著性检验系统误差的判断系统误差的判断1.平均值与标准值比较（平均值与标准值比较（t 检验）检验）（1）目的：检验某

16、一分析方法是否可靠。）目的：检验某一分析方法是否可靠。（2）步骤：步骤：用此方法分析标准式样计算参数 t（计算）根据自由度f 和置信度查表得t（表）比较 t（计算）和 t（表）2024/10/17例：采用一种新方法分析标准试样中的硫含量，例：采用一种新方法分析标准试样中的硫含量，=0.123%。4次测定结果为（次测定结果为（%）：）：0.112，0.118，0.115和和0.119。试评价该新方法（。试评价该新方法（95%置信度）。置信度）。解解2024/10/17查查t 值表，值表，f=3，95%置信度时，置信度时，t表表=3.18。t计算计算t表表，说明该新方法不可靠，存在系统误差，说明该

17、新方法不可靠，存在系统误差。2.两组数据平均值的比较两组数据平均值的比较（1）目的：确定两组数据平均值之间是否有显著性差）目的：确定两组数据平均值之间是否有显著性差异。异。（2）步骤：）步骤：a.s12和和s22间是否有显著性差异（间是否有显著性差异（F检验）检验）由由2024/10/17查表得查表得F表表，若，若F计计F表表，说明，说明s大大与与s小小无显无显著性差异，进行下一步检验。著性差异，进行下一步检验。b.两组数据平均值之间是否存在显著性差异（两组数据平均值之间是否存在显著性差异（t 检验）检验）由由2024/10/17 在由t值表查得t表，若t计算 t表，则无显著性差异；反之则有。

18、1.3.4 可疑值的取舍可疑值：可疑值：在一组平行测定所得数据中，有时会出现个别值偏离其他值较远，该值称为可疑值。检验方法：检验方法：4检验法 Q 检验法2024/10/174检验法检验法（1）求出除极端值以外的其余数据的平均值和）求出除极端值以外的其余数据的平均值和平均偏差。平均偏差。（2）将极端值与平均值做差。）将极端值与平均值做差。（3）比较，若符合下面条件则保留。）比较，若符合下面条件则保留。2024/10/17例：某标准溶液的例：某标准溶液的4次标定值为次标定值为0.1014，0.1012，0.1025和和0.1016,极端值极端值0.1025应否应否舍弃？舍弃？解：解：除0.102

19、5之外的三个数据的 所以，0.1025应舍弃。2024/10/17Q 检验法检验法（1）数据排列(有小到大）x1 x2 xn（2）求极差 （3）求可疑值与邻近值之差：xn xn-1 或 x2 x1（4）计算舍弃商：Q计 （5 5）根据测定次数和要求的置信度,(如90%)查表2-5（6 6）将 Q计与Q表（如 Q90）相比，若Q计Q表，x疑可疑值舍去（过失错误造成）若Q计Q表，x疑可疑值保留（偶然误差所致）2024/10/17表表2-5Q值表值表2024/10/17例：例：测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下：1.25,1.27,1.31，1.40，用Q 值检验法判断 1.40 是否保

20、留。查表 2-4，n=4，Q0.90=0.76 Q计算 Q0.90 故 1.40 应保留。解：解：2024/10/17 1.例行分析例行分析 在例行分析中，一个平行试样测定两次，两次测定结果如果不超过允许的相对误差，则取其平均值报告分析结果；如果超过允许误差，再作一次，取两次不超过允许误差的测定结果，取其平均值报告分析结果。2.多次测定结果多次测定结果 用下列两种方式之一报告分析结果。（1）直接报告平均值 、标准差s和测定次数n；（2）报告指定置信度（一般是95%置信度）下平均值的置信区间。1.3.4分析结果的报告分析结果的报告2024/10/17 分析某试样中铁的质量分数，5次测定结果如下(

21、%)：39.10，39.12，39.19，39.17和39.22。试用两种方式报告分析结果。解 (1)用 、s、n 报告分析结果：(Fe)39.16%s0.05%n5 (2)用置信区间(95%的置信度)报告分析结果：(Fe)39.160.06(%)例例：2024/10/171.4测定方法的选择和测定准确度的提高测定方法的选择和测定准确度的提高1.4.1测定方法的选择测定方法的选择1）重量法与滴定法测定的准确度高，灵敏度低，）重量法与滴定法测定的准确度高，灵敏度低，适用常量组分的测定。适用常量组分的测定。2）仪器分析测定的灵敏度高，准确度较差，适）仪器分析测定的灵敏度高，准确度较差，适用微量组分

22、的测定。用微量组分的测定。2024/10/17例：有一试样铁含量为例：有一试样铁含量为40.10%。1)若用重铬酸钾法滴定铁，若用重铬酸钾法滴定铁，Er=0.2%，则铁则铁的含量范围是的含量范围是40.02%40.18%；2)若采用分光光度法测定，若采用分光光度法测定，Er=2%，则铁的则铁的含量范围是含量范围是39.3%40.9%。例：有一试样铁含量为例：有一试样铁含量为0.50%。1)若用重铬酸钾法滴定铁，无法测出；若用重铬酸钾法滴定铁，无法测出；2)若采用分光光度法测定，若采用分光光度法测定，Er=2%，则铁的则铁的含量范围是含量范围是0.49%0.51%。2024/10/171.4.2

23、减小误差的方法减小误差的方法1.增加平行测定次数增加平行测定次数,减小偶然误差减小偶然误差 对对同同一一试试样样，通通常常要要求求平平行行测测定定3 35 5次次；当当对对分分析析结结果果准准确确度度要要求求较较高高时时，可可平平行行测测定定7 71010次左右。次左右。2024/10/172.减小测量误差减小测量误差1）称量的误差：分析天平）称量的误差：分析天平E=0.0002g，Er=0.1%；由于：绝对误差由于：绝对误差/试样重试样重0.1%所以：所以：m(试样）试样）0.2g2）滴定的误差：滴定管）滴定的误差：滴定管E=0.02mL，Er=0.1%；由于：绝对误差由于：绝对误差/滴定剂

24、体积滴定剂体积0.1%所以：所以：V(滴定剂）滴定剂）20mL2024/10/173.3.消除测定过程中的系统误差消除测定过程中的系统误差：（1）对对照照试试验验是是检检验验方方法法误误差差的的。所所以以对对照照试试验验是是检检验系统误差的有效方法。验系统误差的有效方法。（2）空空白白试试验验是是检检验验试试剂剂误误差差的的，因因此此空空白白值值不不能能过高。过高。若空白值较高，则应更换或提纯所用的试剂。若空白值较高，则应更换或提纯所用的试剂。（3）校准仪器校准仪器是校正仪器误差的。是校正仪器误差的。（4）校正方法校正方法是校正方法误差的。是校正方法误差的。2024/10/171.5有效数字及

25、其运算规则有效数字及其运算规则1.5.1有效数字有效数字1.定义：定义：有效数字是指实际工作中所能测量到有效数字是指实际工作中所能测量到的有实际意义的数字。的有实际意义的数字。它包括从仪器上准确读出的数字它包括从仪器上准确读出的数字,和最后一位和最后一位估计数字。估计数字。分分析析天天平：平：0.4672g滴定管读数：滴定管读数：23.00mL 2024/10/172.确定确定有效数字位数时需注意的问题有效数字位数时需注意的问题 （1 1）数字数字“0”有两种意义。它作为普通数字用，就有两种意义。它作为普通数字用，就是有效数字；作为定位用则不是有效数字。是有效数字；作为定位用则不是有效数字。2

26、03 203、0.203 0.203、0.00230.0023、0.02030.0203 2300 2300（2.300103、2.30103）（2 2）常数如：常数如：ln5、，以及分数、倍数等非测以及分数、倍数等非测量数字量数字为无误差数字为无误差数字 ,计算时计算时有效数字位数可看作无限有效数字位数可看作无限多位。多位。2024/10/17（3）pH、pKa、pKb、lgK、pM等等对数值对数值，其小数，其小数部分为有效数字。部分为有效数字。例如，例如，HAc的的pKa4.74为两位有效数字，化为为两位有效数字，化为Ka1.8105也是两位有效数字。也是两位有效数字。（4）单位变换时，有

27、效数字位数不能变。）单位变换时，有效数字位数不能变。例如，质量为例如，质量为25.0g，为三位有效数字。若以为三位有效数字。若以“mg”为单位，则应表示为为单位，则应表示为2.50104mg，若表示为若表示为25000mg，就会被误解为五位有效数字。就会被误解为五位有效数字。（5）若某一数据第一位有效数字大于或等于）若某一数据第一位有效数字大于或等于8，则，则有效数字的位数可多算一位，如有效数字的位数可多算一位，如8.37是四位有效数是四位有效数字。字。2024/10/173.记录实验数据时应注意记录实验数据时应注意 实验记录的数字不仅表示测量值的大小，而且要正确地反实验记录的数字不仅表示测量

28、值的大小，而且要正确地反映测量的准确度。映测量的准确度。（1）容量器皿容量器皿:4位有效数字位有效数字滴定管：滴定管：10.00移液管：移液管：25.00容量瓶：容量瓶：100.0（2）分析天平（万分之一）记录到小数点后）分析天平（万分之一）记录到小数点后4位有效数字位有效数字.例例如，由分析天平称得试样质量为如，由分析天平称得试样质量为0.4672g（3）标准溶液的浓度，用）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示位有效数字表示:0.1000mol/L 2024/10/174.实验过程中遇到的两类数字实验过程中遇到的两类数字（1）非测量值）非测量值如测定次数；倍数；系数；分数；常数如测定次数；倍数

29、；系数；分数；常数()有效数字位数可看作无限多位。有效数字位数可看作无限多位。（2）测量值或计算值）测量值或计算值前者有效数字由仪器决定，后者又计算规前者有效数字由仪器决定，后者又计算规则决定。则决定。2024/10/171.5.2修约规则修约规则1.规则：规则：“四舍六入，过五进位，恰五留双四舍六入，过五进位，恰五留双”具体做法是：拟保留具体做法是：拟保留n位有效数字位有效数字 (1)当第当第n1位的数字位的数字4时则舍弃；时则舍弃；(2)当第当第n1位的数字位的数字6时则进位；时则进位；2024/10/17(3)a.当第当第n1位的数字为位的数字为5，而后面还有不为，而后面还有不为零的任何

30、数，即超过零的任何数，即超过5时，则进位；时，则进位；0.10675340.1068b.当第当第n1位的数字等于位的数字等于5时，而后面为零时，而后面为零（即恰好为（即恰好为5）时，若）时，若“5”前面为偶数（包前面为偶数（包括零）则舍，为奇数则入，总之是括零）则舍，为奇数则入，总之是“奇进偶奇进偶舍舍”。0.437150.4372;0.437250.43722024/10/172.2.示例与讨论示例与讨论（1）示例：保留四位有效数字，修约：）示例：保留四位有效数字，修约：14.244214.2426.486326.4915.025015.0215.015015.0215.025115.03（

31、2）一次修约到位，不能连续多次的修约）一次修约到位，不能连续多次的修约如如2.3457修约到两位，应为修约到两位，应为2.3，如连续修约则为如连续修约则为2.34572.3462.352.4不对。不对。2024/10/171.5.3运算规则运算规则 1.1.根据有效数字的定义根据有效数字的定义,参加运算的每一参加运算的每一数字和运算结果只能保留一位估计数字。数字和运算结果只能保留一位估计数字。2.有效数字的舍弃，应按照有效数字的舍弃，应按照“四舍六入，四舍六入，过五进位，恰五留双过五进位，恰五留双”修约规则进行修约。修约规则进行修约。2024/10/173.加减加减运算运算 加减运算：和或差的

32、有效位数的保留，应与运算数加减运算：和或差的有效位数的保留，应与运算数据中据中小数点后位数最少小数点后位数最少的数据相同。的数据相同。例如：例如：0.123515.342.45511.37589？四四个个数数据据分分别别有有0.0001、0.01、0.001、0.00001的的绝绝对对误误差差，其其中中15.34的的绝绝对对误误差差最最大大，它它决决定定了了和和的的绝绝对对误误差差为为0.01，其其他他数数据据的的绝绝对对误误差差不不起起决决定定作作用。用。2024/10/17因因此此和和的的有有效效数数字字应应以以小小数数点点后后位位数数最最少少的的15.34相相同同，将将其其余余三三个个数

33、数修修约约后后再再相相加加。即：即：0.123515.342.45511.375890.1215.342.4611.3829.302024/10/174.乘除法运算乘除法运算积或商的有效位数的保留，应以各数据中积或商的有效位数的保留，应以各数据中有效位数有效位数最少最少的数据（相对误差最大的）相同。例如：的数据（相对误差最大的）相同。例如：2024/10/17各数的相对误差分别为：各数的相对误差分别为：0.3、0.02、0.02、0.07，可见，四个数中相对误差最大，可见，四个数中相对误差最大即准确度最低的是即准确度最低的是0.0325，它是三位有效数字。，它是三位有效数字。因此运算结果也应取

34、三位有效数字。因此运算结果也应取三位有效数字。即：即：2024/10/17 5.5.注意：进行加减乘除时，应先修约，后计算。注意：进行加减乘除时，应先修约，后计算。6进行数值的开方和乘方时，保留原来的有效数进行数值的开方和乘方时，保留原来的有效数字的位数。字的位数。7 7误误差差或或偏偏差差的的有有效效数数字字只只有有一一到到二二位位。故故在在计计算误差或偏差时，只取一位，最多取二位有效数字。算误差或偏差时，只取一位，最多取二位有效数字。2024/10/17 8 8填报分析结果时，对高含量组分填报分析结果时，对高含量组分 （x）10，要求要求分析结果分析结果保留四位有效数字；对于中等含量的保留四位有效数字；对于中等含量的组分组分（x）：）：1%10%，要求要求分析结果分析结果保留保留3位有位有效数字；对于微量的组分效数字；对于微量的组分（x）1%，则只要求则只要求分分析结果析结果保留位二有效数字。保留位二有效数字。此外，借助计算器作连续运算时，此外，借助计算器作连续运算时，不必对每一步的不必对每一步的计算结果进行修约计算结果进行修约，但应根据对准确度的要求，但应根据对准确度的要求，正确正确表达最后结果的有效数字。表达最后结果的有效数字。2024/10/17