勾股定理及其逆定理的运用.ppt

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1、余干县瑞洪中学王星赞勾股定理的逆定理复复复复习习习习回回回回顾顾顾顾：（1）总结直角三角形有哪些性质？）总结直角三角形有哪些性质？（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？(1)有一个角是直角有一个角是直角；有一个内角是有一个内角是90，那么这个三角形就为直角三角形，那么这个三角形就为直角三角形 如果一个三角形，有两个角的和是如果一个三角形，有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形那么这个三角形也是直角三角形(2)两个锐角互余两个锐角互余;(3)两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方;(4)在含在含30角的直角三角形中，角

2、的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半的角所对的直角边是斜边的一半;勾股定理的证明勾股定理的证明仔细观察上图。从上面的图形中得到了什么？abcbaa 通过下面的活动，同学们一定发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方和。我国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我国称上面的结论为勾股定理。左边正方形的面积左边正方形的面积=4ab/2+c2右边正方形的面积右边正方形的面积=（a+b)2左边左边=右边右边所以所以a a2 2+b+b2 2=c=c2 2如果直角三角形的两条边分别为a,b,斜边为c，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2例

3、、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点例、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿出发，沿长方体的表面爬到对角顶点长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况线有三种情况(如图如图),由勾由勾股定理可求得图股定理可求得图1中中AC1爬行的路线爬行的路线最短最短.ABDCD1C1421 AC1=442 2+3+32 2=25=25 ;ABB1CA1C1412 AC1=662 2+1+12 2=37

4、=37 ;AB1D1DA1C1412 AC1=552 2+2+22 2=29=29 .利用勾股定理求解几何体的最短路线长利用勾股定理求解几何体的最短路线长小 结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。后来，有个聪明的年轻人叫伊姆荷太普，在给埃及法老左塞王设计后来，有个聪明的年轻人叫伊姆荷太普，在给埃及法老左塞王设计坟墓时，发明了一种新的建筑方法。他用山上采下的呈方形的石块坟墓时，发明了一种新的建筑方法。他用山上采下的呈方形的石块来代替泥砖，并不断修改修建陵墓的设计方案，最终建成一个六级来代替泥砖，并不断修改修建陵墓的设计方案，最终建成

5、一个六级的梯形金字塔的梯形金字塔这就是我们现在所看到的金字塔的雏形。在古代这就是我们现在所看到的金字塔的雏形。在古代埃及文中，金字塔是梯形分层的，因此又称作层级金字塔。这是一埃及文中，金字塔是梯形分层的，因此又称作层级金字塔。这是一种高大的角锥体建筑物，底座四方形，每个侧面是三角形，样子就种高大的角锥体建筑物，底座四方形，每个侧面是三角形，样子就像汉字金字，所以我们叫它；像汉字金字，所以我们叫它；“金字塔金字塔”。法老是古埃及的国王，金字法老是古埃及的国王，金字是法老的陵墓。法老为什么是法老的陵墓。法老为什么要建造金字塔？巨大的金字要建造金字塔？巨大的金字塔是怎样建成的？有人说金塔是怎样建成的

6、？有人说金字塔是外星人建造出来的字塔是外星人建造出来的，事实究竟怎样。相传，古埃事实究竟怎样。相传，古埃及第三王朝之前，无论王公及第三王朝之前，无论王公大臣还是老百姓死后，都被大臣还是老百姓死后，都被葬入一种用泥砖建成的长方葬入一种用泥砖建成的长方形的坟墓，古代埃及人叫它形的坟墓，古代埃及人叫它马斯塔巴马斯塔巴。230m398m230m金字塔的底部就是一个相当于边长为金字塔的底部就是一个相当于边长为230m的正方形的正方形2302302 2+230+2302 2=398=3982 2我们以四人学习小组为单位，共同来做个实验。实验准备：实验准备：1.每个学生小组准备四个不同颜色的三角形，边长分别

7、如下：红色：3cm，4cm，3cm；黄色：3cm，4cm，5cm；蓝色：3cm，4cm，6cm；绿色：5cm，12cm，13cm；2.每个人准备一个量角器。实验开始：实验开始：1.请学习小组长任意发给组员每人一个小三角形。2.请各自算一算，比较自己手中的三角形两短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系，并记录结果如下：（与自己手中的三角形对应）红色：红色：3 32 2+3+32 2 4 42 23 32 2+4+42 2 6 62 23 32 2+4+42 2 5 52 25 52 2+12+122 2 13132 2黄色：黄色：蓝色：蓝色：绿色：绿色：3.用量角器量一量你手中三角形最大的内角

8、的度数，并记录如下：红色：红色：黄色：黄色：蓝色：蓝色：绿色：绿色：90 90 90 90 4，判断你手中三角形的形状，并记录如下：红色：红色：黄色：黄色：蓝色：蓝色：绿色：绿色：5.完成上述步骤后，请小组长组织成员相互交流结果，完成上述步骤后，请小组长组织成员相互交流结果，然后讨论：一个三角形的三边长满足什么然后讨论：一个三角形的三边长满足什么数量关系时，这个三角形就是直角三角形？数量关系时，这个三角形就是直角三角形？锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形a a2 2+b+b2 2=c=c2 2如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b,C,满足满足

9、a a2 2+b+b2 2=c=c2 2那么这个三角形就是直角三角形。那么这个三角形就是直角三角形。345你能说明你能说明C等于等于90吗？吗？B1A1C1ABCB1C1=3,A1C1=4A1B1=53 32 2+4+42 2=5=52 2所以所以ABC A1B1C1（sss）c=C1=90 驶向胜利的彼岸逆定理的证明逆定理的证明 我能行我能行2 2l证明:作Rt AA1 1B B1 1C C1 1使C1=900,A1C1=AC,B1C1=BC(如图),则l已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.l求证:ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB1A1C1(2)lA1C12+

10、B1C12=A1B12(勾股定理).ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2(已知),A1C1=AC,B1C1=BC(作图),AB2=A1B12(等式性质).AB=A1B1(等式性质).ABCABC AA1 1B B1 1C C1 1(SSS).(SSS).A=A1 900(全等三角形的对应边).ABC是直角三角形(直角三角形意义).例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1)a15,b 8,c17例题解析例题解析(2)a13,b 15,c14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形

11、，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。解：解：1528222564289 172289 15282172 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形一一.两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;二二.内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.-题设题设结论结论题设题设结论结论原命题原命题逆命题逆命题互逆命题勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果如果直角三角形两直角边分别为直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2勾股定理勾股定理 如果如果三角形的三边长三角形的三

12、边长a、b、c满足满足那么那么这个三角形是直角三角形。这个三角形是直角三角形。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2互逆命题（逆定理）逆定理）（互逆定理（互逆定理）驶向驶向胜利胜利的彼岸的彼岸我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆

13、定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.(1)两条直线平行，内错角相等两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等如果两个实数相等，那么它们的平方相等(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(4)全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?逆命题逆命题:内错角相等，两条直线平行内错角相等，两条直线平行.逆命题逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.逆命题逆命题:

14、如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.逆命题逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形对应角相等的两个三角形是全等三角形.感悟感悟:原命题成立时原命题成立时,逆命题有时成立逆命题有时成立,有时不成立有时不成立试一试试一试一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题.成立成立不成立不成立不成立不成立不成立不成立 下面以下面以a,b,ca,b,c为边长的三角形是不是直为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25 b=20 c=15 _ _;(2)

15、a=13 b=14 c=15 _ _;(4)a:b:c=3:4:5 _ _;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3)a=1 b=2 c=_ _;像像25,20,15,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数.13、如图：边长为、如图：边长为4的正方形的正方形ABCD中，中，F是是DC的中点，的中点，且且CE=BC，则，则AFEF，试说明理由试说明理由解：连接解：连接AEABCD是正方形，边长是是正方形，边长是4，F是是DC的中点，的中点，EC=1/4BC根据勾股定理，在根据勾股定理，在RtADF，AF2=AD2

16、+DF2=20 RtEFC，EF2=EC2+FC2=5 RtABE，AE2=AB2+BE2=25AD=4，DF=2，FC=2，EC=1AE2=EF2+AF2 AEF=90即即AF EFAa a2 2+b+b2 2=c=c2 2题设题设结论结论直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形a a2 2+b+b2 2=c=c2 2题设和题设和结论正好相反的两个命题，结论正好相反的两个命题，叫做叫做互逆命题互逆命题其中一个叫做其中一个叫做原命题原命题，另一个叫做，另一个叫做原命题的原命题的逆命题逆命题 1.勾股定理的逆定理的内容及证明。勾股定理的逆定理的内容及证明。2.利用勾股定理的逆定理来判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理来判断三角形是否为直角三角形，进而解释生活中的一些实际问题。进而解释生活中的一些实际问题。3.互逆命题和互逆定理互逆命题和互逆定理4.勾股数勾股数