输油管布置的数学模型.doc

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1、输油管布置的数学模型摘要本模型是在铁路线上增建一个用来运送成品油的车站，使得管线建设费用最省。第一小题，考虑到两个炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离、是否有共用管线、共用管线的费用与非共用管线的费用是否相同。车站的位置可以在两个炼油厂的左边、中间和右边三种情况。车站在左边和右边的情况显然可以排除掉，只需考虑车站在两炼油厂中间的情况，再考虑是否有共用管线，分别设计两条最优路线，最后根据共用管线与非共用管线的费用的差别，得出费用最省的铺设方案。第二小题，考虑到铺设在城区的管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，我们采用加权平均法求出附加费用，再运用Matlab编程计算，求出管线的最佳布置方案和相应的

2、费用。在没有公用管线的情况下，最小铺设费用为284.5368万元，城区与郊区的管线交接点离铁路线的垂直距离为7.1985千米，车站的位置在离A厂在铁路线上的投影点6.1483千米处。在有公用管线的情况下，最小铺设费用为282.6973万元，城区与郊区的管线交接点离铁路线的垂直距离为7.3679千米，车站的位置在离A厂在铁路线上的投影点5.4493千米处，公用管线的长度为1.854千米。第三小题，根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管情况下，设计出管线的最佳布置方案。最小铺设费用为251.9685万元，城区与郊区的管线交接点离铁路线的垂直距离为7.2795千米，车站的位置在离A厂在铁路线上的投影

3、点6.7338千米处，公用管线的长度为0.139千米。关键词： 共用管线 非共用管线 加权平均法 Matlab编程 近似解1问题重述 近年来国内外输油管道建设发展迅猛，随着西气东输管道建设的投产运行，以及西部管道的运营，石油行业掀起了管道建设的高潮。管道建设带来了国民经济的高速发展,也给石油建设工程带来了生机和发展，于是管道建设的费用也越来越受关注。现在有一油田计划在铁路线的一侧建造两家炼油厂，考虑到生产的成品油的运输问题，想利用铁路这一有利的资源，准备在铁路线上增建一个用来运送成品油的车站，希望得到一个建立管线建设费用最省的最优方案。这是一个动态的最短路径问题，需解决以下问题：1. 针对两炼

4、油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，考虑两炼油厂是否有共用管线，如果有，共用管线费用与非共用管线费用是否相同。如何综合考虑设计可行方案？2.如果考虑到实际情况，其中A厂位于郊区，B厂位于城区,考虑到铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，如何设计出合理的管线布置方案及相应的费用？3.为了进一步节省费用，在第2问的基础上考虑到不同的油管铺设费用，根据炼油厂的生产能力选择相适应的油管，给出管线最佳布置方案及相应的费用？ 2符号说明及模型假设2.1 符号说明非共用管线的单位铺设费用共用管线的单位铺设费用附加费用输送厂成品油的管线单位铺设费用输送厂成品油的管线单位铺设费用W 设计

5、方案所需的费用设计方案所需的最低费用2.2 基本假设（1）假设可以忽略地质对建设成本的影响 （2）假设炼油厂A到铁路线的距离比炼油厂B到铁路线的距离要短（3）假设共用管线与非共用管线的材质相同（4）假设运输过程中成品油没有损耗（5）假设三家咨询公司的评估都是合理的3模型的建立与求解3.1 问题1的模型建立与分析3.1.1不使用共用管线的情况图1炼油厂A炼油厂BL图解：为A关于直线L的对称点，连接B交直线L于点，为B关于直线L的对称点，连接A交直线L于点，是直线L 上任意点，则 A=,A=，在B中两边之和大于第三边，即+BBA+BA+B,F点作为车站是最优的方案，且最低的费用为=(AF+BF)

6、。3.1.2 使用共用管线的情况bcx炼油厂A炼油厂BE(x,y)FyaO图2图解：以O为原点建立如图的直角坐标系，做A点关于虚线的对称点，设E（x,y）为A、B两炼油厂铺设的非共用管线的交汇点，作EF垂直于X轴交于F点，则F点设为车站离交汇点E最短。假设E 点的纵坐标不变，横坐标变动，则EF作为共用管线长度是固定的，此时要使非共用管线的铺设长度最短，可参考图1的方式使E点落在直线B上。 (一)共用管线费用与非共用管线费用相同的情况（=）总的费用为W=| B| +|EF|=+ 为使得W取得最小值，对进行求导，得=,令=0，得=。下面将对的取值进行讨论：当0时,如图3所示：图3炼油厂A炼油厂BF

7、显然，AE+BEAF+BF,那么在该情况下不需要铺设共用管线的。则此时可参考前面不需要铺设共用管线的最优方案，得到总费用=当（a|AB|,|EF|AO|，BA+AO是费用最省的方案。如图5所示，先在AB 之间铺设非共用管线，在AO之间铺设共用管线，铺设总费用的最小值 =+。炼油厂炼油厂A(E)O(F)图5当0a，如图2所示，需要铺设共用管线，铺设总费用的最小值 =利用相似三角形可得 ， 解得（二）共用管线费用与非共用管线费用不相同的情况（）。总费用为：=| B| +|EF|=+ 求导数 =，令=0，得y = 当0k2时，y是有意义的，此时可参考=时对y的分析过程，可得(1)当y0, = 。(2

8、)当ya时, =+。(3)当0|AF|，|BE|+|EF|BF|=|AE|+|BE|+|EF|AE|+|BE|+2|EF|AF|+|BF|=。 则此时可参考前面不需要铺设共用管线的最优方案得到总费用=。3.2 问题2的模型建立与求解在解决此小题之前，我们先引入一个引理来证明角度与铺设管道的费用之间存在的关系。引理： 如图所示，在X轴上取一点E（x,0）,从A出发到E铺设的管线费用是万元/千米，从B出发到E铺设的管线费用是万元/千米，是A关于X轴的对称点，则当满足时铺设管线的总费用是最低的。OyxA(0,a)B(c,b)E(x,0)图7证明：铺设管线的总费用为 ,令=0，则 此时，有极小值，当也

9、恰为最小值，即。由于所有管线的铺设费用均为7.2万元，所以，不用考虑共用管线和非共用管线的价格差。聘请的三家工程咨询公司中，公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。市场上把咨询公司分为甲级、乙级和丙级三种。根据国家的文件规定，甲级要求业务水平具有五年以上工程咨询资历，具有承担大型基本建设项目或技术改造限上项目的可行性研究、工程设计、招标评标、工程监理和建设项目后评价等咨询业务的能力；有较高的社会信誉。乙级要求业务水平具有三年以上工程咨询资历，咨询质量较好；具有承担中型基本建设项目或技术改造限上项目的可行性研究、工程设计、招标评标、工程监理和建设项目后评价等咨询业务的能力；有良好的社会信

10、誉。丙级要求业务水平具有一定的咨询任务的能力；有一定的社会信誉。由于甲级公司的实力比乙级公司高，但乙级公司对当地的建筑条件等比较熟悉，可以起到查漏补缺的作用。所以，我们把三家公司给的估算进行加权平均，把甲级公司的权重设为0.5,把乙级公司的权重设为0.3,把丙级公司的权重0.1,然后对这三家公司的估算结果进行加权平均。=21+24+2021.5(万元/千米) 非共用管线路线情况y炼油厂A(0,5)炼油厂B(20,8)F（x,0）ODxH(15,z)图8 为得到最低的总费用，需要使作为站点的F在直线上，且由引理得出：，即利用matlab计算得：=7.1985。（见附录程序1）最低的总费用为：=|

11、H|7.2+|BH|28.7=7.2+28.7=284.5368且 x=6.1483共用管线路线情况炼油厂A炼油厂BE(x,y)ODxFH(15,z)y图9为得到最低的总费用，当E为交汇点的时候，至少应满足E点落在直线上，且由引理应满足：，即 （1）理论上，可利用Matlab计算（1）式可求得z关于y的表达式，把该表达式代入到下列的总费用表达式中W= （2）此时，W又是一个只关于y的表达式，且y落在0到5之间，可利Matlab求得W的最小值。 实际在利用Matlab处理时，是综合的利用了（1）、（2）两个等式，先对y在0到5之间按0.001的间隔取值，代入（1）式中求得z的值，再将y和z的值一

12、同代入到（2）式中求得W，求得近似解：=，z=，=1.8540 （见附录程序2）再利用相似三角形，求得 x=5.44933.3 问题3的模型建立与求解炼油厂A炼油厂BE(x,y)ODxF图10 H(15,z)y为得到最低的总费用，由引理，至少应满足： ，代入具体的数据得 （3） 理论上，方程组（3）可解得x关于y的表达式、z关于y的表达式，代入以下总费用表达式中： + （4）此时，W又是一个只关于y的表达式，且y落在0到5之间，可利Matlab求得W的最小值。实际上仍采用数值解法，综合处理（3）、（4）式，求得近似解： =（万元）， （见附录程序3） 模型的评价与推广模型的优点（1） 利用Ma

13、tlab软件编程进行求解，所得的结果误差小，数据准确合理。（2） 三个问题层层递进，考虑了共用管线与非共用管线的不同，建立了一般的数学模型，从而为解决该类问题设计了一个比较基础的模板。（3） 采用了数形结合的方法，使问题更直观、更具体。（4） 考虑到了郊区与城区对铺设管线费用的影响，使模型更具通用性、实用性。模型的缺点（1） 本文模型中的参数较现实生活中的少，在解决更为复杂的现实问题中，还需要进一步地优化。（2） 本文在处理数据时采用近似解法，处理过程中难免会有点偏差。模型的推广本文给出的模型主要解决的是输油管线的铺设问题，该模型可以推广到电线的架设、水管的铺设和对工程线路设计的成本具有一定的

14、参考价值。参考文献1姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，20032杨筱蘅，输油管道设计与管理，石油大学出版社，19963严大凡，输油管道设计与管理，石油工业出版社，19864苏金明，Matlab7.0实用指南，北京：电子工业出版社，20045罗万成，大学生数学建模，成都：西南交通大学出版社，2007附录程序1：syms z;solve(28.7*(8-z)2/(25+(8-z)2)-(7.2*(z+5)2/(225+(z+5)2)vpa(ans)程序2:clear;syms y z ;min=10000;for t=0:0.001:5 y=sym(t);s1=solve(28.7*(8-z

15、)2/(25+(8-z)2)-(7.2*(z+5-2*y)2/(225+(z+5-2*y)2),z); zz=s1(2); w=eval(sqrt(225+(zz+5-2*y)2)*7.2+y*7.2+28.7*sqrt(25+(8-zz)2) if wmin min=w;my=eval(y);mz=eval(zz); endend程序3：clear;syms x y z;min=10000;for t=0:0.001:5 y=sym(t);tx,tz=solve(5.62*x2/(5-y)2+x2)-6.02*(15-x)2/(15-x)2+(z-y)2),6.02*(z-y)2/(15-x)2+(z-y)2)-27.52*(8-z)2/(8-z)2+25),x,z); x1=tx(2); z1=tz(2);w=eval(5.6*sqrt(5-y)2+x12)+6.0*sqrt(15-x1)2+(z1-y)2)+7.2*y+27.5*sqrt(8-z1)2+25)； if wmin; min=w;mx=eval(x1);my=eval(y);mz=eval(z1); endend本文是通过网络收集，如有侵权请告知，我会第一时间处理。本文是通过网络收集，如有侵权请告知，我会第一时间处理。14