立体几何历年试题讲义.doc

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1、立体几何专题复习补充讲义一、专题热点透析 高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对

2、图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。二、热点题型范例题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离；题型三、探索性问题题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题三、空间向量的应用1异面直线所成的角设a、b是异面直线， ， 分别是直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角 2点、面距离：设平面的一个法向量为 ，点P是平面外一点，且 。则点P到平面的距离为 。3.解决有关垂直问题的方法：（1）线线垂直 ab=0（2）线面垂直 al1=0 al2=0（其中l1、 l2为平面内两条相交直线）（3）面面垂

3、直 N1N2=0 （N1、N2分别是两个平面的法向量1已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则AC与AB的夹角为()A30B45C60D902已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，AM12MC，点N为B1B的中点，则线段MN的长度为()A.216 B.66 C.156 D.1533如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则APAB的值为A0 B1 C0或1 D任意实数4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A.627 B.637 C.647 D.6575已知a(1,2x1，x)，b(x

4、2,3，3)，若ab，则x_.6.（2011年高考浙江卷文科4)若直线 不平行于平面 ，且 ，则(A) 内的所有直线与 异面 (B) 内不存在与 平行的直线(C) 内存在唯一的直线与 平行 (D) 内的直线与 都相交7. （2011年高考四川卷文科6) ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A） / （B） , / （C） / / ， ， 共面 （D） ， ， 共点 ， ， 共面8（2011年高考重庆卷文科10)高为 的四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 、 、 、 、 均在半径为1的同一球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为A B C D 9. （2011年高考海南卷文科1

5、6)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .10. （2011年高考四川卷文科15)半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .11.（2011年高考全国卷文科8)已知直二面角 ，点 为垂足， 为垂足，若 则 到平面 的距离等于（A） （B） （C） （D） 12设在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，E，F依次为C1C，BC的中点(1)求异面直线A1B、EF所成角的余弦值；(2)求点B1到平面AEF的距离13

6、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点(1)求证：平面PDC平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离； (2)方法1：过A作AFPD，垂足为F.14.如图，长方体 中， ， ， 是 的中点， 是 的中点.(1)求证： 平面 ；(2)求证：平面 平面 .15在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAAB4， G为PD中点，E点在AB上，平面PEC平面PDC.（）求证：AG平面PCD；（）求证：AG平面PEC；（）求点G到平面PEC的距离.16已知四棱锥 中 平面 ，且 ，底面为直角梯形， 分别是 的中点（1）求证：

7、 / 平面 ；（2）求点 到平面 的距离17. 在如图4所示的几何体中， ， ， ， ， （）求证： 平面 ；（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积.18. 已知直角梯形 中, , 过 作 ,垂足为 , 的中点,现将 沿 折叠, 使得 .（1）求证： ；（2）设四棱锥D-ABCE的体积为V，其外接球体积为 ，求V 的值. 19.如图1，直角梯形 中， ， 分别为边 和 上的点，且 ， 将四边形 沿 折起成如图2的位置，使 （1）求证： 平面 ；（2）求四棱锥 的体积.20 如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且 ， .（1）求证： 平面 ；（

8、2）设 的中点为 ，求证： 平面 ；（3）设平面 将几何体 分成的两个锥体的体积 分别为 ， ，求 21.如图是以正方形 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形 为截面，且 ， , ， （）证明：截面四边形 是菱形；（）求几何体 的体积22. （2011年高考江西卷文科18) (本小题满分12分）如图，在 交AC于 点D,现将 （1）当棱锥 的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为 立体几何专题复习补充讲义一、专题热点透析 高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以

9、基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。二、热点题型范例题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离

10、；题型三、探索性问题题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题三、空间向量的应用1异面直线所成的角设a、b是异面直线， ， 分别是直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角 2点、面距离：设平面的一个法向量为 ，点P是平面外一点，且 。则点P到平面的距离为 。3.解决有关垂直问题的方法：（1）线线垂直 ab=0（2）线面垂直 al1=0 al2=0（其中l1、 l2为平面内两条相交直线）（3）面面垂直 N1N2=0 （N1、N2分别是两个平面的法向量1已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则AC与AB的夹角为()A30B45C60D901AB(0,3,3)，AC(1

11、,1,0)设AB，AC，则cosABAC|AB|AC|332212，60.2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，AM12MC，点N为B1B的中点，则线段MN的长度为()A.216 B.66 C.156 D.1532 解析MNANAMAN13ACABBN13ABADAA123AB16AA113AD.MN|MN|49|AB|2136|AA1|219|AD|2216.3如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则APAB的值为A0 B1 C0或1 D任意实数3 解析AP可为下列7个向量：AB，AC，AD，AA1，AB1，AC1，AD1，其中一个与AB重合，APAB|

12、AB|21；AD，AD1，AA1与AB垂直，这时APAB0；AC，AB1与AB的夹角为45，这时APAB21cos41，最后AC1AB31cosBAC13131，故选C.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A.627 B.637 C.647 D.6574 解析a，b，c三向量共面，存在实数m，n使cmanb，即(7,5，)(2mn，m4n,3m2n)，2mn7m4n53m2n，657.5已知a(1,2x1，x)，b(x2,3，3)，若ab，则x_.5 解析ab，1x22x13x3，由1x22x13得，2x23x50，x1或52，由2x

13、13x3得x1，x1.6.（2011年高考浙江卷文科4)若直线 不平行于平面 ，且 ，则(A) 内的所有直线与 异面 (B) 内不存在与 平行的直线(C) 内存在唯一的直线与 平行 (D) 内的直线与 都相交6【解析】：直线 不平行于平面 ， 所以 与 相交，故选B7. （2011年高考四川卷文科6) ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A） / （B） , / （C） / / ， ， 共面 （D） ， ， 共点 ， ， 共面7答案：B,若 则 有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然 ，或 共点，但是 可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.8（2011年高考重庆

14、卷文科10)高为 的四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 、 、 、 、 均在半径为1的同一球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为A B C D 8【答案】A9. （2011年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .9【解析】设圆锥的底面半径为 ,球半径为 ,则 ,解得 ,所以对应球心距为 ,故小圆锥的高为 ,大圆锥的高为 ,所以之比为 .10. （2011年高考四川卷文科15)如图，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱

15、的侧面积之差是 .10 11.（2011年高考全国卷文科8)已知直二面角 ，点 为垂足， 为垂足，若 则 到平面 的距离等于（A） （B） （C） （D） 11【解析】如图，作 于 ，由 为直二面角， ，得 平面 ，进而 ,又 , ,于是 平面 。故 为 到平面 的距离。在 中，利用等面积法得 12设在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，E，F依次为C1C，BC的中点(1)求异面直线A1B、EF所成角的余弦值；(2)求点B1到平面AEF的距离12解析以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A1(0,0,2)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，E(0,2,1

16、)，F(1,1,0)，(1)A1B(2,0，2)，EF(1，1，1)，cosA1BEF|A1B|EF|422363， (2)设平面AEF的一个法向量为n(a，b，c)，AE(0,2,1)，AF(1,1,0)，由nAE0nAF0得，2bc0ab0，令a1可得n(1，1,2)，AB1(2,0,2)，d|AB1n|n|666.点B1到平面AEF的距离为6.13如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点(1)求证：平面PDC平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离； (2)方法1：过A作AFPD，垂足为F. 在RtPAD中，PA2，ADBC4，PD4

17、22225，AFPDPAAD，AF2425455，即点B到平面PCD的距离为455.方法2：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)，PD(4,0，2)，CD(0，2,0)，BC(4,0,0)，设面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则nCD0nPD02y04x20y0x12，14.如图，长方体 中， ， ， 是 的中点， 是 的中点.(1)求证： 平面 ；(2)求证：平面 平面 .14. 【解析】(1)连接 交 于 点，连接 ，可得 是

18、的中位线， ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 6分(2)计算可得 ，又 是 的中点，所以 ，又 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 12分15如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAAB4， G为PD中点，E点在AB上，平面PEC平面PDC.（）求证：AG平面PCD；（）求证：AG平面PEC；（）求点G到平面PEC的距离.15（）证明：CDAD，CDPA CD平面PAD CDAG，又PDAG ，AG平面PCD 4分（）证明：作EFPC于F，因面PEC面PCD EF平面PCD，又由（）知AG平面PCD EFAG，又AG 面PEC，EF

19、 面PEC，AG平面PEC 7分（）由AG平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等由（）知A、E、F、G四点共面，又AECD AE平面PCD AEGF， 四边形AEFG为平行四边形， AEGF 8分PAAB4， G为PD中点，FG CD FG2 AEFG2 9分 10分又EFPC，EFAG 11分又 ， ，即 ， G点到平面PEC的距离为 . 13分网16已知四棱锥 中 平面 ，且 ，底面为直角梯形， 分别是 的中点（1）求证： / 平面 ；（2）求点 到平面 的距离16 解析（一）：以 为原点，以 分别为 建立空间直角坐标系 ，由 ， 分别是 的中点，可得： ， ， 2分来源:Zxxk.

20、Com设平面的 的法向量为 ，则有： 令 ，则 ， 3分 ，又 平面 /平面 4分（2） ，所求的距离 解析（二）：（1） / 1分 2分又 平面 ， 平面 , / 平面 4分（2） 17. 在如图4所示的几何体中， ， ， ， ， （）求证： 平面 ；（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积.17. 解：（）证明：取 的中点 ，连接 在 中， 分别 的中点， 又 平行且等于 四边形 为平行四边形 又 ， 4分（II）证明： 为 的中点 又 ， 又 ， 由（1）得 ， 8分（III）解： 12分18. 已知直角梯形 中, , 过 作 ,垂足为 , 的中点,现将 沿 折叠, 使得 .（1）求证：

21、 ；（2）设四棱锥D-ABCE的体积为V，其外接球体积为 ，求V 的值. 19.如图1，直角梯形 中， ， 分别为边 和 上的点，且 ， 将四边形 沿 折起成如图2的位置，使 （1）求证： 平面 ；（2）求四棱锥 的体积.19. 解 （1）证： 面 面 ，又 面 所以 平面 .-6分（2）取 的中点 ，连接 ， 平面 又 平面 面 -9分所以四棱锥 的体积 .- -12分20 如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且 ， .（1）求证： 平面 ；（2）设 的中点为 ，求证： 平面 ；（3）设平面 将几何体 分成的两个锥体的体积 分别为 ， ，求

22、20解 （1） 平面 平面 , ,平面 平面 = ， 平面 ， 平面 ， ,2分又 为圆 的直径， ， 平面 。 4分（2）设 的中点为 ，则 ，又 ，则 ， 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 . 8分(3)过点 作 于 ， 平面 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， ， 12分21.如图是以正方形 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形 为截面，且 ， , ， （）证明：截面四边形 是菱形；（）求几何体 的体积21.【解析】（）证明：因为平面 平面 ，且平面 分别交平面 、平面 于直线 、 ，所以 同理， 因此，四边形 为平行四边形（1）因为 ，而 为 在底面 上的射影，所以 因为 ，所以 因此， （2）由（1）、（2）可知：四边形 是菱形；6分（）连结 、 、 、 ,则 , ， 且几何体是以正方形 为底面的正四棱柱的一部分， 该几何体的体积为 , 同理,得 ，所以， ， 即几何体 的体积为2 12分22. （2011年高考江西卷文科18) (本小题满分12分）如图，在 交AC于 点D,现将 （1）当棱锥 的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为 22【解析】（1）设 ，则 令 ,则 单调递增极大值单调递减由上表易知：当 时，有 取最大值.(2)证明：作 得中点F，连接EF、FP,由已知得： , 为等腰直角三角形， ,所以 .