解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章.doc
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1、第五章 二次曲线一般的理论5.1二次曲线与直线的相关位置1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及,及.(1);(2);(3);(4)(5).解:(1);(2);.(3);(4);(5);. 2. 求二次曲线与下列直线的交点.(1)(2);(3);(4);(5).提示:把直线方程代入曲线方程解即可,详解略(1);(2,;(3)二重点;(4);(5)无交点. 3. 求直线与的交点. 解:由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k的值,使得(1)直线与二次曲线交于两不同的实点; (2)直线与二次曲线交于一点; (3)与二次曲线交于两个相互重合的点;(4)与二次曲线交于两个共
2、轭虚交点.解:详解略.(1);(2)或(3)或;(4).5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的(1);(2);(3).解:(1)由得渐进方向为或且属于抛物型的; (2)由得渐进方向为且属于椭圆型的; (3)由得渐进方向为或且属于双曲型的.2. 判断下列曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.(1);(2);(3);(4).解:(1)因为,所以它为中心曲线; (2)因为且,所以它为无心曲线; (3)因为且,所以它为无心曲线; (4)因为且,所以它为线心曲线;3. 求下列二次曲线的中心.(1);(2);(3).解:(1)由得中心坐标为; (2)由
3、得中心坐标为; (3)由知无解,所以曲线为无心曲线.4. 当满足什么条件时,二次曲线(1)有唯一中心;(2)没有中心;(3)有一条中心直线.解:(1)由知,当时方程有唯一的解,此时曲线有唯一中心;(2)当时方程无解,此时曲线没有中心;(3)当时方程有无数个解,此时曲线是线心曲线.5. 试证如果二次曲线有渐进线,那么它的两个渐进线方程是=式中为二次曲线的中心. 证明:设为渐进线上任意一点,则曲线的的渐进方向为,所以=. 6. 求下列二次曲线的渐进线.(1);(2);(3).解:(1)由得中心坐标.而由得渐进方向为或,所以渐进线方程分别为与 (2)由得中心坐标.而由得渐进方向为或,所以渐进线方程分
4、别为与 (3)由知曲线为线心曲线,.所以渐进线为线心线,其方程为. 7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是,成为无心曲线的充要条件是. 证明:因为曲线是线心曲线的充要条件是也即;为无心曲线的充要条件是也即.8. 证明以直线为渐进线的二次曲线方程总能写成. 证明:设以为渐进线的二次曲线为 ,则它的渐进线为=,其中为曲线的中心, 从而有= ,而=0 因为为曲线的中心, 所以有, 因此, 令,代入上式得 即, 所以以为渐进线的二次曲线可写为.9.求下列二次曲线的方程.(1)以点(0,1)为中心,且通过(2,3),(4,2)与(-1,-3); (2)通过点(1,1),(2,1),(-1,-2)且以直
5、线为渐进线. 解:利用习题8的结论即可得: (1); (2).5.3二次曲线的切线1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1)曲线在点(2,1); (2)曲线曲线在点在原点; (3)曲线经过点(-2,-1); (4)曲线经过点; (5)曲线经过点(0,2).解:(1); (2); (3); (4); (5).2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.(1)曲线的切线平行于直线; (2)曲线的切线平行于两坐标轴.解:(1),和,; (2),和,.3. 求下列二次曲线的奇异点.(1); (2); (3).解:(1)解方程组得奇异点为; (2)解方程组得奇异点为.4.试求经过原点
6、且切直线于点(1,-2)及切直线于点(0,-1)的二次曲线方程. 解:利用(5.3-5)可得.5.设有共焦点的曲线族,这里是一个变动的参数,作平行于已知直线的曲线的切线,求这些切线切点的轨迹方程. 解:设切点坐标为,则由(5.3-4)得曲线的切线为 , 因为它平行与,所以有, 代入整理得, 所以切点的轨迹为.5.4二次曲线的直径1. 已知二次曲线.求它的(1)与轴平行的弦的中点轨迹; (2)与轴平行的弦的中点轨迹; (3)与直线平行的弦的中点轨迹.解:(1)因为轴的方向为代入(5.4-3)得中点轨迹方程; (2)因为轴的方向为代入(5.4-3)得中点轨迹方程; (3)因为直线的方向为代入(5.
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- 解析几何 第四 版吕林根 课后 习题 答案 第五
