山东省自学考试复变函数与积分变换强化实践习题及答案.doc
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1、第一篇第1章1.已知,求,。2.已知,求及。3.设、是两个复数。求证:。4.证明:函数在原点不连续。5.证明:z平面上的直线方程可以写成(a是非零复常数,c是常数)第2章1.试判断函数的可微性和解析性。2.解方程3.求4.设确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上,并且(这是边界上岸点对应的函数值),试求的值。5.设,问在何处可导?何处解析?并在可导处求出导数值。第3章1.计算其中C为单位圆周|z|=12.求积分3.已知:,求解析函数4.计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周第4章1将函数在点展开为洛朗(Laurent)级数2讨论级数
2、的敛散性3求下列级数的和函数.(1) (2)4用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.第5章1. 计算积分2求出在所有孤立奇点处的留数3 4 c:|z|=2取正向第6章1求一映射,将半带形域映射为单位圆域.2求上半单位圆域在映射下的象.3求把区域映射到单位圆内部的共形映射第二篇第1章1证明:如果f(t)满足傅里叶变换的条件,当f(t)为奇函数时,则有其中当f(t)为偶函数时,则有 其中2 求下列函数的傅里叶变换(2)3.已知函数的傅里叶变换求4.设函数f(t)的傅里叶变换,a为一常数. 证明第2章1用Laplace变换求解常微分方程:2.求下列函数的拉普拉斯变换 (1)
3、(2)3. 计算下列函数的卷积 (1) (2)作业答案第一篇第1章1.解:2.解:所以3.证明:4证明: 当点沿趋于时, 故当k取不同值时,趋于不同的数在原点处不连续5证明:设直线方程的一般形式为(a,b,c均为实常数,a,b不全为零) 因为:代入化简得: 令得 反之,设有方程(复数,c是常数) 用代入上式,且令化简即得第2章1.解:因, 而, 由于这四个偏导数在z平面上处处连续,且满足C-R方程。 由定理知,f(z)在z平面上处处可微且解析2解:3解:4解:设,则这里(1) 由一定条件定k:Z=-2时,要 ,则必有k=1(2) 求的值因则5解:均连续,要满足条件,必须要成立 即仅当和时才成立
4、,所以函数处处不解析; 第3章1解: 因奇点z=-2,-3在单位圆外部,所以在处处解析。 由柯西积分定理:2解:由于在z平面上解析所以在z平面内积分与路径无关因此,选取最简单的路径为0与的直线段0,则:3解:由C-R条件则又因为即则 即又所以故4解:(1)内包含了奇点(2)内包含了奇点,第4章1解:,在复平面上以原点为中心分为三个解析环:, , (1) 在内,(2) 在内,(3) 在内,2解 因为部分和,所以,不存在.当而时(即),和都没有极限,所以也不收敛.故当和时, 收敛.3解: (1)故收敛半径R=1,由逐项积分性质,有:所以于是有:(2)令:故R=, 由逐项求导性质由此得到即有微分方程
5、故有:,A, B待定。所以 4 解:因为奇点为所以又于是,有展开式第5章1解:显然,被积函数在圆周|z|=2的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1故由留数定理得2 解:函数 有孤立奇点0与,而且在内有如下Laurent展开式:故 3 解:令,在内,函数有两个奇点为可去奇点,为一阶极点,原式4解:因为在c内有z=1,z=-i两个奇点所以第6章 1解:2解:令,则,故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕. 3 (z1)(z)(z2)解:(z3)(z4)(w)第二篇第1章1证明:因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时,为奇函数,从而为偶函数,从而故 有为奇数。 =所以,当f(t)
6、为奇函数时,有同理,当f(t)为偶函数时,有.其中 2(1)解: (2)解:因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得3解:4.当a0时,令u=at.则当a0时,令u=at,则.故原命题成立.第2章1解:在方程两边取拉氏变换,并用初始条件得即故 2. 解: (1)(2)3. (1) (2)复变函数与积分变换 综合试题(一)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设z=cosi,则()AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=2复数的三角表示式为()A BC D3设C为
7、正向圆周|z|=1,则积分等于()A0B2i C2 D24设函数f(z)=,则f(z)等于()A B C D5z=-1是函数的()A 3阶极点B4阶极点C5阶极点D6阶极点6下列映射中,把角形域保角映射成单位圆内部|w|0映射为上半平面Im0B.将上半平面0映射为单位圆|1C.将单位圆|z|0D.将单位圆|z|1映射为单位圆|18. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析,则u(x,y)=( )A.)B.C.D.9.f(z)=在0|z-2|1内的罗朗展开式是()A.B.C.D.10.=( )A.sin9B.cos9C.cos9D.sin9二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,
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