线性代数__2[1]2向量组的线性相关性.ppt

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1、定义定义3-3-1:3.3.1 3.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示3.3 3.3 向量组的线性相关性向量组的线性相关性问题：问题：零向量是任何向量组的线性组合，为什么？零向量是任何向量组的线性组合，为什么？例如：例如：有有所以，称所以，称 是是 的线性组合，的线性组合，或或 可以由可以由 线性表示。线性表示。任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合判断向量判断向量 可否由向量组可否由向量组 线性表示的方法。线性表示的方法。向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示的线性表示的 充分必要条件是：充分必要条件是：以以为为系数列向量，系数列向量，以

2、以为为常数项列向量常数项列向量的的线性方程组线性方程组有解有解，且一个解就是线性表示的一组，且一个解就是线性表示的一组系数。系数。向量组中有没有某个向量可由其余向量线性向量组中有没有某个向量可由其余向量线性表示是向量组的一个重要的性质，称为表示是向量组的一个重要的性质，称为向量组的向量组的线性相关性线性相关性。由若干个同维数的向量组成的集合称为由若干个同维数的向量组成的集合称为向量组向量组。例如矩阵 可看作由m个n维行向量组成的集合，也可看作由n个m维列向量组成的集合。定义定义3-3-2:0(1)当向量组只含一个向量时当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量若该向量是零向量,则它线则它线 性相

3、关性相关;若该向量是非零向量若该向量是非零向量,则它线性无关则它线性无关.(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.(3)任一含有零向量的向量组线性相关任一含有零向量的向量组线性相关.特别地：特别地：问题：任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示么？例例1：用定义判断线性相关性。：用定义判断线性相关性。(1)向量向量线性线性_关。关。(2)向量向量线性线性_关。关。相相相相结论结论无关无关。讨论向量组讨论向量组 线性相关性的方法。线性相关性的方法。设：设：=+=+=+nmnmmnnnnkakakakakaka0kakakaLLLLLLL22

4、112222121121211100以以为为系数列向量系数列向量 的齐次线性方程组求解的齐次线性方程组求解 =+=+=+nmnmmnnnnkakakakakaka0kakakaLLLLLLL22112222121121211100向量组向量组 线性无关线性无关当系数行列式不等于当系数行列式不等于0时，即只有零解：时，即只有零解：当且仅当系数行列式当且仅当系数行列式=0，即有非零解时，即有非零解时，向量组向量组 线性相关线性相关将向量方程转化为关于将向量方程转化为关于k1,k2,kn的的解：O O设系数行列式为方程组有非零解，即有非零的数O O故解：即O OO OO O=O O=O O即：系数行

5、列式为定理定理3-3-1证：0 向量组的线性相关与一个向量是一组向量的线性表示从不同角度描述 了向量之间的线性关系，是等价的，存在内在联系。线性相关与线性组合的关系定理线性相关与线性组合的关系定理O O再证再证 由定理知，对于只有两个非零向量由定理知，对于只有两个非零向量 和和 组成的向量组，组成的向量组，当它们的对应分量成比例时线性相关，否则线性无关。当它们的对应分量成比例时线性相关，否则线性无关。定理定理2-2-2：向量组向量组线性无关线性无关,而向量组而向量组线性相关线性相关,则向量则向量 必能由向量组必能由向量组A线性表示，且表示唯一。线性表示，且表示唯一。判断向量判断向量 可否由向量

6、组可否由向量组 线性表示的方法。线性表示的方法。线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，前面线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，前面给出了给出了 下面以定理的形式给出如何判定一组向量的线性相关性。下面以定理的形式给出如何判定一组向量的线性相关性。首先介绍向量组中部分向量与整个向量组线性相关性的关系。首先介绍向量组中部分向量与整个向量组线性相关性的关系。反之，反之，若一个向量组线性无关，则它的任一部分向量若一个向量组线性无关，则它的任一部分向量组也线性无关。即：组也线性无关。即：线性相关的判定定理线性相关的判定定理定理定理3-3-3：在一个向量组在一个向量组 中，若有部分向量中，

7、若有部分向量组组 线性相关，则整个向量组也必定线性相关。线性相关，则整个向量组也必定线性相关。证明：证明：推论推论1：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都组都 线性无关。线性无关。推论推论2：若向量组含有若向量组含有0向量，则向量组线性相关。向量，则向量组线性相关。由由推论推论2知，线性无关的向量组一定不含有知，线性无关的向量组一定不含有0向量。向量。定理定理3-3-4证明证明定理定理2-2-4.写成分量形式为对A作初等变换考虑A的r+1阶子式按向量形式写，上式为：0推论推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A=的

8、秩r(A)=m。推论推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.推论推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)n时，m个n维向量线性相关。特别地，特别地，n+1个个n维向量必线性相关。维向量必线性相关。例：讨论：例：讨论：的线性相关性。的线性相关性。解：解：用语言叙述为用语言叙述为：线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。定理定理3-3-5：若 m 个 r 维向量 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 也线性无关。推论推论：由r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。证明：