第2章 系统数学模型及其相互转换.ppt

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1、第二章第二章 系统数学模型及其相互转换系统数学模型及其相互转换 仿真研究仿真研究就是首先根据实际物理系统的数学模型，将它转换成能在计算机上运行的仿真模型，然后利用计算机程序将仿真模型编程到计算机上进行数值计算的过程。从计算方法学中我们知道，微分方程的数值解基本上是针对高阶微分方程组的。而描述系统的数学模型有多种表示形式，这些表示形式之间是可以相互转换的。因此本章对几种常见的表示形式进行归纳，并讨论如何转换成易于仿真的状态空间表达形式。第二章第二章 系统数学模型及其相互转换系统数学模型及其相互转换 本章主要讲解系统数学模型及其相互转换，介绍了系统仿真所使用的各类数学模型的表示以及相互间的转换。2

2、.1 系统的数学模型2.2 实现问题2.3 从系统结构图向状态方程的转换2.4 连续系统的离散化方程2.1 系统的数学模型系统的数学模型 在控制理论中，我们知道表述连续系统的数学模型有很多种。但基本上可以分为连连续时间模型续时间模型、离散时间模型离散时间模型和连续离散混合连续离散混合模型模型。本节将对他们的形式作一介绍，并且我们还将介绍目前在不确定系统分析时经常使用的不确定性模型不确定性模型。考虑到Matlab语言的普及性，在每一部分介绍中我们还将向读者介绍如何使用Matlab语言来描述这些模型，以及模型之间的转换。2.1 系统的数学模型系统的数学模型 2.1.1 连续系统的数学模型连续系统的

3、数学模型n n 连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示：微分方程、传递函数、状态空间表达式。表示：微分方程、传递函数、状态空间表达式。本节仅对这些数学模型做简单复习，以便于在建本节仅对这些数学模型做简单复习，以便于在建立仿真程序时，选择适当的系统数学模型形式。立仿真程序时，选择适当的系统数学模型形式。n n一、微分方程一、微分方程n n一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即(2.1.1)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n初始条件为：初始条件为：n n n n式中：式中：系统的输出量；系统的输出量；系统的

4、输入量。系统的输入量。n n若引进微分算子若引进微分算子 则则(2.1.1)(2.1.1)式可以写成式可以写成 n n即即 n n不失一般性，令不失一般性，令 便可写成下面的形式便可写成下面的形式n n (2.1.2(2.1.2)2.1 系统的数学模型系统的数学模型 二二 传递函数传递函数 n n对对(2.1.1)(2.1.1)式两边取拉普拉斯变换，假设及式两边取拉普拉斯变换，假设及的各阶导数的各阶导数(包括零阶包括零阶)的初值均为零，则有的初值均为零，则有n n (2.1.3)(2.1.3)n n式中式中 输出量的拉普拉斯变换；输出量的拉普拉斯变换；n n输入量的拉普拉斯变换。输入量的拉普拉

5、斯变换。n n 于是系统于是系统(2.1.1)(2.1.1)式的传递函数描述形式如下：式的传递函数描述形式如下：n n n n(2.1.4)(2.1.4)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n将式将式(2.1.4)(2.1.4)与式与式(2.1.2)(2.1.2)比较可知，在初值为零的情比较可知，在初值为零的情况下，用算子所表示的式子与传递函数表示的况下，用算子所表示的式子与传递函数表示的式子在形式上是完全相同的。式子在形式上是完全相同的。n n三状态空间表达式三状态空间表达式 n n线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方程：程：n n

6、 (2.1.5)(2.1.5)n n (2.1.6)(2.1.6)n n(2.1.5)(2.1.5)式由个一阶微分方程组成，称为状态方程；式由个一阶微分方程组成，称为状态方程；n n(2.1.6)式由个线性代数方程组成，称为输出方程。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n式中，为维的状态向量；式中，为维的状态向量；为维的控制向量；为维的输出向量；为维的控制向量；为维的输出向量；为为 维的状态矩阵，由控制对象的参数决定；维的状态矩阵，由控制对象的参数决定；为维的控制矩阵；为维的输出矩阵；为维的控制矩阵；为维的输出矩阵；为维的直接传输矩阵。如果表示该系统的传为维的直接传输矩阵。如果表示该系统的

7、传递函数为严格真分式，则为零。递函数为严格真分式，则为零。n n假如一个连续系统可用微分方程来描述，即假如一个连续系统可用微分方程来描述，即n n n n n n (2.1.7)(2.1.7)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n引入各状态变量引入各状态变量n n n n (2.1.8)(2.1.8)n n则有则有n n (2.1.9)(2.1.9)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n将上述将上述 个一阶微分方程组写成矩阵形式可得个一阶微分方程组写成矩阵形式可得n n (2.1.10)(2.1.10)n n (2.1.11)(2.1.11)n n其中其中n n (2.1.12)(2.

8、1.12)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n状态变量的初值可由引入状态变量的关系式获得：状态变量的初值可由引入状态变量的关系式获得：n n n n 即即 (2.1.13)(2.1.13)n n若系统微分方程中不仅包含输入项若系统微分方程中不仅包含输入项 ，而且包含，而且包含输入项输入项 的导数项，如的导数项，如(2.1.1)(2.1.1)式所示，则由式所示，则由(2.1.2)(2.1.2)式右端上下同乘式右端上下同乘 后得后得n n n n (2.1.14)(2.1.14)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n由由(2.1.14)(2.1.14)式分母对应相等得式分母对应相等得n

9、n n n令令 (2.1.15)(2.1.15)n n则有则有 n n由于由于 ，故有，故有2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n可得可得 (2.1.16)(2.1.16)n n由由(2.1.14)(2.1.14)式分子对应相等得式分子对应相等得n n即即 (2.1.17)(2.1.17)n n由由(2.1.16)(2.1.16)、(2.1.17)(2.1.17)式与式与(2.1.10)(2.1.10)、(2.1.11)(2.1.11)是是比较可见，状态方程的形式仍相同，但输出方程变比较可见，状态方程的形式仍相同，但输出方程变了，这种表示的结构形式成为可控标准型。了，这种表示的结构形式成为

10、可控标准型。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n由于由于 不再与状态变量不再与状态变量 直接相等，而是直接相等，而是 的组合，因此系统得出只是由输入输出及其各阶导数的组合，因此系统得出只是由输入输出及其各阶导数的初值给定的。由的初值给定的。由(2.1.15)(2.1.15)式可见，各状态变量的初式可见，各状态变量的初值不能明显地用值不能明显地用 及其各阶导数项表示，因此在及其各阶导数项表示，因此在这种形式下，用上述可控标准型表示的形式，在计算这种形式下，用上述可控标准型表示的形式，在计算初值不为零时就不太方便了。下面给出一种易于写出初值不为零时就不太方便了。下面给出一种易于写出状态变量初

11、值的状态空间表达式。状态变量初值的状态空间表达式。n n假设给出的微分方程为假设给出的微分方程为n n (2.1.18)(2.1.18)n n即即n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n令令n n则有则有n n又令又令n n则有则有n n同理有同理有2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n而而 nn n n (2.1.19)(2.1.19)n n因此获得如下的状态方程与输出方程（令因此获得如下的状态方程与输出方程（令 ）:n n n n (2.1.20)(2.1.20)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n n n (2.1.21)(2.1.21)n n若已知若已知 及其各阶导

12、数项的初始值，则可由及其各阶导数项的初始值，则可由(2.1.19)(2.1.19)式直接求出各个状态变量的初置。这是因式直接求出各个状态变量的初置。这是因为由为由(2.1.20)(2.1.20)、(2.1.21)(2.1.21)式表示的状态方程的状态式表示的状态方程的状态变量仅与输入变量仅与输入 和输出和输出 及其各阶导数有关，而及其各阶导数有关，而与其他状态变量无关。与其他状态变量无关。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n例例2.1.1 2.1.1 已知微分方程及初值如下，将其化成状态已知微分方程及初值如下，将其化成状态空间表达式，并给出状态变量的初值。空间表达式，并给出状态变量的初值

13、。n n解解:据据(2.1.20)(2.1.20)、(2.1.21)(2.1.21)式可写出状态空间表达式可写出状态空间表达式如下：式如下：n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n由由(2.1.19)(2.1.19)式，得式，得n n n n 即即 n n须注意，由须注意，由(2.1.19)(2.1.19)式求出的状态变量初值是对应式求出的状态变量初值是对应(2.1.20)(2.1.20)、(2.1.21)(2.1.21)式状态空间表达式的状态变量式状态空间表达式的状态变量初值，而不对应初值，而不对应(2.1.16)(2.1.16)、(2.1.17)(2.1.17)式可控标准型式可控

14、标准型的状态变量初值。的状态变量初值。n n由上述可见，只要状态变量选取的形式不同，则可由上述可见，只要状态变量选取的形式不同，则可得不同形式的状态空间表达式。除以上给出的形式得不同形式的状态空间表达式。除以上给出的形式外，还可以写出其它各种表示形式。外，还可以写出其它各种表示形式。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n2.1.2 离散时间模型离散时间模型n n假定一个系统的输入量、输出量及其内部状态量是时间假定一个系统的输入量、输出量及其内部状态量是时间的离散函数，即为一个时间序列：的离散函数，即为一个时间序列：，其中其中 为离散时间间隔，这样可以使用离散时间模型来为离散时间间隔，这样可

15、以使用离散时间模型来描述该系统。读者应注意离散时间模型与前面介绍的离描述该系统。读者应注意离散时间模型与前面介绍的离散事件模型的差别。离散时间模型有差分方程、离散传散事件模型的差别。离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。n n一、差分方程一、差分方程n n差分方程的一般表达式为：差分方程的一般表达式为：n n n n (2.1.22)(2.1.22)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n若引入后移算子若引入后移算子 ，则，则(2.1.22)(2.1.22)可以改写成可以改写成n n n n 即：即：或或 (2.1.23

16、)(2.1.23)n n二、二、传递函数传递函数n n若系统的初始条件均为零，即若系统的初始条件均为零，即 ，对对(2.1.22)(2.1.22)式两边取式两边取 变换，则可得变换，则可得 (2.1.24)(2.1.24)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n定义定义 n n 称为系统的称为系统的 传递函数，则有传递函数，则有n n (2.1.25)(2.1.25)n n可见，在系统初始条件均为零的情况下，可见，在系统初始条件均为零的情况下，与与 等价。等价。n n三、权序列三、权序列n n若对一个初始条件均为零的系统施加一个单位脉冲序若对一个初始条件均为零的系统施加一个单位脉冲序列列 ，

17、则其响应称为该系统的权序列，则其响应称为该系统的权序列 ，而单，而单位脉冲序列位脉冲序列 定义为定义为n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n若输入序列为任意一个若输入序列为任意一个 ，则根据卷积公式，可，则根据卷积公式，可得此时系统响应得此时系统响应 为为n n (2.1.26)(2.1.26)n n可以证明：可以证明：n n (2.1.27)(2.1.27)n n四、离散状态空间模型四、离散状态空间模型n n与连续系统模型类似，以上三种模型由于只描述了与连续系统模型类似，以上三种模型由于只描述了系统的输入序列和输出序列之间的关系，因此称为系统的输入序列和输出序列之间的关系，因此称

18、为外部模型。有时仿真要求采用内部模型，即离散状外部模型。有时仿真要求采用内部模型，即离散状态空间模型。对态空间模型。对(2.1.22)(2.1.22)式所表示的模型，若设式所表示的模型，若设n n (2.1.28)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n并令：并令：n n (2.1.29)(2.1.29)n n则有：则有：n n n n即：即：n n设设 ，并令，并令 ，则不难得到，则不难得到n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n根据方程根据方程(2.1.29)(2.1.29)和和(2.1.30)(2.1.30)，可列出以下，可列出以下 个一个一阶差分方程：阶差分方程：n n (

19、2.1.31)(2.1.31)n n写成矩阵形式：写成矩阵形式：n n (2.1.32)(2.1.32)n n其中其中n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n为了推导状态输出方程，可将方程为了推导状态输出方程，可将方程(2.1.28)(2.1.28)带入方程带入方程(2.1.22)(2.1.22)，可得，可得n n n故有故有n n (2.1.33)(2.1.33)n n其中：其中：n n方程方程(2.1.32)(2.1.32)和和(2.1.33)(2.1.33)组成为系统的离散时间状态空组成为系统的离散时间状态空间模型，如同连续时间的状态空间模型一样，对同一物间模型，如同连续时间的

20、状态空间模型一样，对同一物理系统该模型也不是唯一的。理系统该模型也不是唯一的。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n2.1.3 Matlab语言中的模型表示语言中的模型表示n n在在MatlabMatlab语言中有丰富的系统模型指令来处理各种语言中有丰富的系统模型指令来处理各种不同的问题，最常使用的模型有：不同的问题，最常使用的模型有：传递函数模型、传递函数模型、传递函数模型、传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型零极点增益模型、状态空间模型零极点增益模型、状态空间模型零极点增益模型、状态空间模型三种形式。下面给三种形式。下面给出他们的使用方法说明。出他们的使用方法说明。n n 指令指

21、令ssss()()：产生一个状态空间模型，或将模型变：产生一个状态空间模型，或将模型变换为状态空间模型。换为状态空间模型。n n例：例：sys=sys=ss(A,B,C,Dss(A,B,C,D)n n产生一个连续时间状态空间模型产生一个连续时间状态空间模型syssys，模型的参数矩，模型的参数矩阵为阵为A,B,C,DA,B,C,D。n n sys=sys=ss(A,B,C,D,Tsss(A,B,C,D,Ts)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n产生一个离散时间状态空间模型产生一个离散时间状态空间模型syssys，采样时间是，采样时间是Ts Ts n n sys=ss(sys1)sys=s

22、s(sys1)n n变换一个线性时不变模型变换一个线性时不变模型sys1sys1为状态空间模型为状态空间模型syssys，即计算模型即计算模型sys1sys1的状态空间实现。的状态空间实现。n n sys=ss(sys1,min)sys=ss(sys1,min)n n计算模型计算模型sys1sys1的最小状态空间实现的最小状态空间实现sys.sys.n n 指令指令 tf tf()()：产生一个传递函数模型，或将模型产生一个传递函数模型，或将模型变换为传递函数模型。变换为传递函数模型。n n例例：sys=tf(NUM,DEN)sys=tf(NUM,DEN)n n根据模型的分子多项式根据模型的分

23、子多项式NUMNUM和分母多项式和分母多项式DENDEN产生产生一个连续时间传递函数模型一个连续时间传递函数模型syssys。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n sys=tf(NUM,DEN,TS)sys=tf(NUM,DEN,TS)n n根据模型的分子多项式根据模型的分子多项式NUMNUM、分母多项式、分母多项式DENDEN和采和采样时间产生一个离散时间传递函数模型样时间产生一个离散时间传递函数模型syssys。n n指令指令tf tf()()还可以产生有还可以产生有 个输入和个输入和 个输出地多输入个输出地多输入和多输出系统。例如和多输出系统。例如n n H=H=tf tf(-5;

24、1-5 6,1-1;1 1 0)(-5;1-5 6,1-1;1 1 0)n n或者或者 num=-5;1-5 6;num=-5;1-5 6;n n den=1-1;1 1 0;den=1-1;1 1 0;n n h=h=tf(num,dentf(num,den)n n则传递函数的输出为则传递函数的输出为:n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n 该传递函数还可以这样做：该传递函数还可以这样做：n n h11=tf(-5,1-1)h11=tf(-5,1-1)；n n h21=tf(1-5 6,1 1 0)h21=tf(1-5 6,1 1 0)；n n H=h11H=h11；h21h21

25、n n 指令指令zpkzpk():():产生一个零极点增益模型，或将产生一个零极点增益模型，或将模型变换为零极点增益模型。模型变换为零极点增益模型。n n例：例：sys=sys=zpk(Z,P,Kzpk(Z,P,K)n n根据系统的零点根据系统的零点Z Z、极点、极点P P和增益和增益K K产生一个零极点产生一个零极点增益模型增益模型syssys。n n sys=sys=zpk(Z,P,K,Tszpk(Z,P,K,Ts)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n根据系统的零点根据系统的零点Z Z、极点、极点P P、增益、增益K K和采样时间产生一和采样时间产生一个离散时间零极点增益模型个离散时

26、间零极点增益模型syssys。n n指令指令zpkzpk()()还可以产生有还可以产生有 个输入和个输入和 个输出地多输个输出地多输入和多输出系统。例如入和多输出系统。例如n n H=H=zpkzpk(;2 3,1;0-1,-5;1)(;2 3,1;0-1,-5;1)n n或者：或者：Zeros=;2 3Zeros=;2 3；n n Poles=1;0-1Poles=1;0-1；n n Gains=-5;1Gains=-5;1；n n H=H=zpk(Zeros,Poles,Gainszpk(Zeros,Poles,Gains)n n则产生的传递函数为：则产生的传递函数为：n n 2.1 系统

27、的数学模型系统的数学模型n n 指令指令dssdss()()：产生一个描述符状态空间模型，可以：产生一个描述符状态空间模型，可以是连续时间模型，也可以是离散时间模型。是连续时间模型，也可以是离散时间模型。n n 例：例：sys=sys=dss(a,b,c,d,edss(a,b,c,d,e)n n产生一个连续时间的描述符状态空间模型产生一个连续时间的描述符状态空间模型n n n n其中其中 是非奇异的。如果是非奇异的。如果 是奇异的，则系统称为是奇异的，则系统称为广义系统，需要另外的处理方法。广义系统，需要另外的处理方法。n nsys=sys=dss(a,b,c,d,e,Tsdss(a,b,c,

28、d,e,Ts)n n产生一个离散时间的描述符状态空间模型产生一个离散时间的描述符状态空间模型n n n n 采样时间是采样时间是TsTs2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n2.1.4 不确定模型不确定模型n n 我们知道描述实际物理系统的数学模型往往是我们知道描述实际物理系统的数学模型往往是通过近似和简化得到的，因此对于状态空间模型通过近似和简化得到的，因此对于状态空间模型n n n n (2.1.34)(2.1.34)n n系统系统(2.1.34)(2.1.34)的系数矩阵的系数矩阵 已经不再是已经不再是常数矩阵，而往往依赖不确定参数的不确定矩阵，常数矩阵，而往往依赖不确定参数的不确定

29、矩阵，其对应的模型被称为不确定系统。在鲁棒控制中，其对应的模型被称为不确定系统。在鲁棒控制中，不确定模型的概念是相当重要的。在不确定模型的概念是相当重要的。在MatlabMatlab语言语言中引入两类不确定模型。中引入两类不确定模型。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n一、多胞型模型一、多胞型模型n n多胞型模型是以下的一类时变系统模型多胞型模型是以下的一类时变系统模型 (2.1.35)(2.1.35)n n该系统系统矩阵为该系统系统矩阵为n (2.1.36)(2.1.36)n n在以下一个给定的矩阵多胞型模型中取值，即在以下一个给定的矩阵多胞型模型中取值，即n n n n (2.1.3

30、7)(2.1.37)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n其中：其中：是已知的矩阵是已知的矩阵n (2.1.38)(2.1.38)n n 是不确定参数。注意这些不确定参数未是不确定参数。注意这些不确定参数未必是系统的物理参数。因此这种不确定性模型的表必是系统的物理参数。因此这种不确定性模型的表示也称为是参数不确定性的隐式表示。在有些文献示也称为是参数不确定性的隐式表示。在有些文献中，多胞型模型也称为多胞型线性微分包含。中，多胞型模型也称为多胞型线性微分包含。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n多胞型模型在鲁棒控制理论中起着重要的作用，因多胞型模型在鲁棒控制理论中起着重要的作用，因为它

31、可以描述许多实际系统，例如：为它可以描述许多实际系统，例如：n n 一个系统的多模型表示，其中的每一个模型表示一个系统的多模型表示，其中的每一个模型表示系统在一个特定运行条件下的状况。例如，一个飞系统在一个特定运行条件下的状况。例如，一个飞机模型按不同的飞行高度作的线性化模型。机模型按不同的飞行高度作的线性化模型。n n 表示一个非线性系统，例如表示一个非线性系统，例如 ，其状态，其状态矩阵矩阵 位于多胞型模型位于多胞型模型n n 描述一类仿射依赖时变参数的状态空间模型。描述一类仿射依赖时变参数的状态空间模型。n n 多胞型模型可以通过其系统矩阵所在多胞型的焦多胞型模型可以通过其系统矩阵所在多

32、胞型的焦点点 来描述。来描述。MatlabMatlab中的中的LMILMI工具箱提供了工具箱提供了函数函数psyspsys来描述多胞型模型。来描述多胞型模型。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n二、仿射参数依赖模型二、仿射参数依赖模型n n一个含有不确定参数的线性系统可以有以下的表示一个含有不确定参数的线性系统可以有以下的表示n n n n (2.1.39)(2.1.39)n n其中系统矩阵其中系统矩阵 是参数向是参数向量量 的已知矩阵函数。这类模型常常的已知矩阵函数。这类模型常常出现在运动、空气动力学、电路等系统中。出现在运动、空气动力学、电路等系统中。2.1 系统的数学模型系统的数学

33、模型n n如果模型中的系统矩阵仿射依赖于参数向量如果模型中的系统矩阵仿射依赖于参数向量 ，即，即n (2.1.40)(2.1.40)n n其中其中 是已知的常数矩阵。具有这样系数矩是已知的常数矩阵。具有这样系数矩阵地模型称为仿射参数依赖模型。由于仿射参数依赖阵地模型称为仿射参数依赖模型。由于仿射参数依赖模型的特点，使得模型的特点，使得LyapunovLyapunov方法可以有效地用于这方法可以有效地用于这类模型的分析和综合。如果记类模型的分析和综合。如果记 n n (2.1.41)(2.1.41)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n则仿射参数依赖模型的系统矩阵可以表示成则仿射参数依赖模型

34、的系统矩阵可以表示成n n (2.1.42)(2.1.42)n n因此，因此，完全刻画了所要描述的仿射参数依赖模型。完全刻画了所要描述的仿射参数依赖模型。注意，这里的注意，这里的 并不代表有物理意义的实际系统。并不代表有物理意义的实际系统。有时为了处理的方便，可以通过适当地变换将不确定参有时为了处理的方便，可以通过适当地变换将不确定参数标准化，即将数标准化，即将 表示成：表示成：n n例如：系统例如：系统 ，这样一个不确定系统，这样一个不确定系统n n可以表示成可以表示成n n这时，参数这时，参数 已经没有具体的物理意义已经没有具体的物理意义。n n根据这一表示，根据这一表示，MatlabMa

35、tlab中的中的LMILMI工具箱提供的函数工具箱提供的函数psyspsys可以用来描述一个仿射参数依赖模型。函数可以用来描述一个仿射参数依赖模型。函数pdsimulpdsimul则给出了仿射参数依赖模型时间响应的仿真。则给出了仿射参数依赖模型时间响应的仿真。2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n下面通过一个例子来说明如何使用下面通过一个例子来说明如何使用MatlabMatlab语言来语言来描述多胞型模型和参数依赖模型。描述多胞型模型和参数依赖模型。n n例例2.1.22.1.2：考虑由以下方程描述的一个电路：考虑由以下方程描述的一个电路n n n其中的电感其中的电感 、电阻、电阻 、电容

36、、电容 是不确定参数，是不确定参数，它们的容许变化范围分别是：它们的容许变化范围分别是：n n该系统在无驱动下的一个状态空间模型可表示为该系统在无驱动下的一个状态空间模型可表示为n n n n 2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n其中：其中：这个仿射系统模型可以用函数这个仿射系统模型可以用函数psyspsys描述如下：描述如下：n na0=0 1;0 0;e0=1 0;0 0;s0=ltisys(a0,e0)a0=0 1;0 0;e0=1 0;0 0;s0=ltisys(a0,e0)n naLaL=zeros(2);=zeros(2);eLeL=0 0;0 1;=0 0;0 1;sLsL

37、=ltisys(aL,eLltisys(aL,eL)n naRaR=0 0;-1 0;=0 0;-1 0;sRsR=ltisys(aR,0)=ltisys(aR,0)n naCaC=0 0;0-1;=0 0;0-1;sCsC=ltisys(aC,0)=ltisys(aC,0)n npvpv=pvec(box,10 20;1 2;100 150)=pvec(box,10 20;1 2;100 150)n npdspds=psys(pv,s0,sL,sR,sC)=psys(pv,s0,sL,sR,sC)2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n所得到的系统可以用所得到的系统可以用psinfopsi

38、nfo和和pvinfopvinfo来检验来检验 psinfo(pdspsinfo(pds)n nAffine parameter-dependent model with 3 Affine parameter-dependent model with 3 parameters(4 systems)parameters(4 systems)n nEach system has 2 Each system has 2 state(sstate(s),0),0 input(sinput(s),and 0),and 0 output(soutput(s)n n pvinfo(pvpvinfo(pv)n

39、 nVector of 3 parameters ranging in a boxVector of 3 parameters ranging in a boxn n对于对于 的一组给定的值，可以利用函数的一组给定的值，可以利用函数psinfopsinfo求得对应的确定系统。例如对于求得对应的确定系统。例如对于 ，其对应的确定性系统的系统矩阵可以，其对应的确定性系统的系统矩阵可以用如下指令得到用如下指令得到2.1 系统的数学模型系统的数学模型n n sys=psinfo(pds,eval,15 1.2 150);sys=psinfo(pds,eval,15 1.2 150);n n A,B,C

40、,D=A,B,C,D=ltiss(sysltiss(sys)n n由得到的仿射模型通过使用函数由得到的仿射模型通过使用函数aff2polaff2pol也可以得也可以得到一个多胞型模型表示：到一个多胞型模型表示：n n polspols=aff2pol(pds);=aff2pol(pds);n n psinfo(polspsinfo(pols)n nPolytopicPolytopic model with 8 vertex systems model with 8 vertex systems n nEach system has 2 Each system has 2 state(sstat

41、e(s),0),0 input(sinput(s),and 0),and 0 output(soutput(s)2.2 实现问题实现问题n n因为状态方程是一阶微分方程组，所以非常适宜用因为状态方程是一阶微分方程组，所以非常适宜用数字计算机求其数值解。如果一个物理系统已用状数字计算机求其数值解。如果一个物理系统已用状态空间表达式来描述，便可以直接用这个表达式来态空间表达式来描述，便可以直接用这个表达式来编制仿真程序。然而许多物理系统中的数学模型大编制仿真程序。然而许多物理系统中的数学模型大多采用传递函数的表达形式，为便于使用面向一阶多采用传递函数的表达形式，为便于使用面向一阶微分方程组的仿真程

42、序，就有必要将传递函数表示微分方程组的仿真程序，就有必要将传递函数表示形式，转换成状态空间表达式。形式，转换成状态空间表达式。根据已知的系统传根据已知的系统传根据已知的系统传根据已知的系统传递函数矩阵递函数矩阵递函数矩阵递函数矩阵 求相应的状态空间表达式称为实现求相应的状态空间表达式称为实现求相应的状态空间表达式称为实现求相应的状态空间表达式称为实现问题。问题。问题。问题。对于一个可实现的传递函数或传递函数矩阵，对于一个可实现的传递函数或传递函数矩阵，其实现不是唯一的。这一节仅介绍几种有代表性的其实现不是唯一的。这一节仅介绍几种有代表性的实现。实现。2.2 实现问题实现问题n n一、可控标准型

43、一、可控标准型n n将将(2.1.4)(2.1.4)式改写为式改写为n (2.2.1)(2.2.1)n n再将再将(2.2.1)(2.2.1)式取拉氏反变换，可得式取拉氏反变换，可得n n n n 取一组状态变量为取一组状态变量为n n 2.2 实现问题实现问题n n便可得到可控标准型实现便可得到可控标准型实现n n n n (2.2.2)(2.2.2)n n其中其中 和和 同同(2.1.12)(2.1.12)一样，一样，可表示为可表示为n n n n在具体应用中实现的中间步骤无须一一写出，在具体应用中实现的中间步骤无须一一写出，(2.2.2)(2.2.2)式可对应式可对应(2.2.1)(2.

44、2.1)是直接写出。是直接写出。n n二、可观标准型二、可观标准型n n这一部分研究当物理系统的初始值不为零时其可观这一部分研究当物理系统的初始值不为零时其可观标准型实现问题。设标准型实现问题。设(2.2.1)(2.2.1)可化为高阶微分方程可化为高阶微分方程2.2 实现问题实现问题n n考虑考虑(2.2.3)(2.2.3)式的非零初始条件下的拉氏变换式的非零初始条件下的拉氏变换n n n n取取(2.2.3)(2.2.3)式非零初始条件的拉氏变换，并将式非零初始条件的拉氏变换，并将 同同次项合并整理，便得次项合并整理，便得2.2 实现问题实现问题 (2.2.4)(2.2.4)若取一组状态变量

45、若取一组状态变量2.2 实现问题实现问题n n n n n n (2.2.5)(2.2.5)n n将其写成矩阵形式则为将其写成矩阵形式则为 n n (2.2.6)(2.2.6)2.2 实现问题实现问题n n其中其中n n nn n n(2.2.6)(2.2.6)式既是可观标准型实现，其状态变量初始式既是可观标准型实现，其状态变量初始值由值由(2.2.5)(2.2.5)式可直接得到，其矩阵表达式如下：式可直接得到，其矩阵表达式如下：2.2 实现问题实现问题n n例例2.2.1 2.2.1 设一物理系统为设一物理系统为+2.2 实现问题实现问题n n求其可观标准型实现并给出状态变量初值。求其可观标

46、准型实现并给出状态变量初值。n n解：据解：据(2.2.6)(2.2.6)式可直接写出可观标准型实现为式可直接写出可观标准型实现为n n n n其对应的状态变量初值可由其对应的状态变量初值可由(2.2.7)(2.2.7)式求得式求得n n 2.2 实现问题实现问题n n三、对角标准型三、对角标准型n n当传递函数当传递函数(2.1.4)(2.1.4)式的特征方程式的特征方程n n n n有有 个互异特征值个互异特征值 时，时，可展开成如下部分可展开成如下部分分式：分式：n n n n (2.2.8)(2.2.8)n n式中式中 2.2 实现问题实现问题n n设设n n (2.2.9)(2.2.

47、9)n n对对(2.2.9)(2.2.9)式进行拉氏反变换，并取式进行拉氏反变换，并取 为一为一组状态变量，便可求得对角标准型实现组状态变量，便可求得对角标准型实现 n n (2.2.10)(2.2.10)n n其中其中 2.2 实现问题实现问题n n四、约旦标准型四、约旦标准型n n当传递函数的特征方程有重根时，其部分分式展开当传递函数的特征方程有重根时，其部分分式展开比较复杂，为了简单起见，设比较复杂，为了简单起见，设 为为 重特征值，其重特征值，其余余 个特征值互异，则个特征值互异，则 的部分分式展开为的部分分式展开为n n n n (2.2.11)(2.2.11)n n式中的留数式中的

48、留数2.2 实现问题实现问题n n令令:n n n n (2.2.12)(2.2.12)n n取取 为一组状态变量，便可求得约旦标为一组状态变量，便可求得约旦标准型实现，即准型实现，即n n (2.2.13)(2.2.13)2.2 实现问题实现问题n n式中式中:n n n n 第第 行行n n 2.2 实现问题实现问题n n例例2.2.22.2.2设设 求其约旦标准型实现求其约旦标准型实现n n n n解解:将将 按分母因式展开成部分分式，由按分母因式展开成部分分式，由(2.2.2)(2.2.2)式得式得2.2 实现问题实现问题n n由由(2.2.13)(2.2.13)式可得式可得n n由上

49、述可见，由上述可见，对于同一个系统，实现不是唯一的。对于同一个系统，实现不是唯一的。对于同一个系统，实现不是唯一的。对于同一个系统，实现不是唯一的。因因此在进行数字仿真研究时，可以根据具体情况选择适此在进行数字仿真研究时，可以根据具体情况选择适当的形式。当给定初值为状态变量当的形式。当给定初值为状态变量 时，选时，选用可控标准型比较方便；而当给定初值为输入和输出用可控标准型比较方便；而当给定初值为输入和输出量的各阶导数量的各阶导数 时，时，选用可观标准型比较方便。选用可观标准型比较方便。2.2 实现问题实现问题n n五、五、Matlab中的模型转换指令中的模型转换指令n nMatlabMatl

50、ab的控制工具箱提供了一个系统标准型转换函的控制工具箱提供了一个系统标准型转换函数数canon()canon()，该函数的调用格式为：，该函数的调用格式为：n n As,Bs,Cs,Ds,TAs,Bs,Cs,Ds,T=canon(sys,typecanon(sys,type)n n其中其中syssys为原系统模型，而返回的为原系统模型，而返回的As,Bs,Cs,DsAs,Bs,Cs,Ds位指定位指定的标准型的状态方程模型，的标准型的状态方程模型，T T为变换矩阵。这里的为变换矩阵。这里的typetype为变换类型，有两个选项：为变换类型，有两个选项：n n“modal”:modal”:模型标准