《初等数论》课程教学大纲.doc

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1、课 程 教 学 大 纲(理论课)本文摘自课 程 名 称： 初等数论 适 用 专 业： 数学与应用数学 课 程 类 别：学科基础课程 制 订 时 间： 2006年8月 数学与计算机科学学院 制初等数论课程教学大纲（2005年制订，2006年修订）一、课程代码：0501122004二、课程类别：学科基础课（选修）三、预修课程：高等代数、解析几何、数学分析、近世代数四、学分：3学分五、学时：54学时六、课程概述初等数论是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛

2、的应用。数论中的一些问题，貌似简单，实则不易，解决起来灵活而富有技巧，是培养数学思维能力的重要内容，是中学数学竞赛题的丰富源泉之一，是数学教育工作者必备的基础知识。七、教学目的初等数论是我院数学与应用数学专业的一门重要的基础课，开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。八、学时分配表教学内容(章)理论学时实验学时习题课学时其它备注第一章 整数的可除性104第二章 不定方程72第三章 同余84第四章 同余式72第五章 二次同余式与平方剩余82九、教学基本内容第

3、一章整数的可除性14学时教学要求：掌握整除的概念及有关性质，能够灵活运用奇、偶数性质解决某些数论问题。熟悉带余数除法定理。掌握最大公因数的概念及性质，特别是两个整数互素的有关性质。能够准确熟练求最大公因数，并将其表为原整数的倍数和。掌握最小公倍数和最大公因数的关系，并能利用这些关系求最小公倍数。牢固掌握素数的概念及其基本性质，透彻理解算术基本定理并熟练地应用该定理解决各种数论问题。熟悉高斯函数x和x，掌握其性质，能够计算阶乘数m!中所含素因数的个数。本章重点：最大公因数，互素的概念及性质，算数基本定理的应用；n()个整数的最大公因数及将最大公因数表为原n个整数的倍数和的求法。教学内容：一、整除

4、的概念、带余数除法奇、偶数的运算性质，整除的概念及性质，带余数除法定理。二、最大公因数与辗转相除法最大公因数的概念与性质，求最大公因数的辗转相除法。三、整除的进一步性质及最小公倍数表最大公因数（a, b）为a,b的倍数和，互素的性质，最小公倍数与最大公因数的关系。四、质数、算术基本定理质数的概念及性质，算术基本定理及应用、质数的分布五、高斯函数x, x及其在数论中的一个应用高斯函数x, x的定义及性质，求n!的标准分解式。第二章不定方程9学时教学要求：能够熟练地判断二元一次不定方程是否有整数解。在有解时能够迅速地求出一组特解，然后写出通解。能够准确地判断多元一次不定方程是否有整数解。在有解时至

5、少能用一种解法求出方程的通解。能够根据实际问题的要求（比如有时需求正整数解）限定通解中参数的取值范围，从而求出符合要求的整数解。了解多元一次不定方程组的一般解法过程。掌握商高不定方程的通解表达式，弄清方程的解满足的条件以及通解表达式中参数应满足的条件。理解通解表达式的证明过程中的几个关键步骤。了解勾股数的简单性质。本章重点：二元一次不定方程有整数解的判定，以及在有解的情况下它的一切整数解(或通解)的求法。难点：商高方程的理论及应用。教学内容：一、二元一次不定方程二元一次不定方程有整数解的判别法则，二元一次不定方程的通解及求通解的步骤。二、多元一次不定方程多元一次不定方程有整数解的判别法则，多元

6、一次不定方程的解法（引入辅助未知量法、逐步降低系数法、矩阵列变换法）多元一次不定方程组的一般解法原则。三、勾股数求商高方程x2+y2=z2的整数解，勾股数的性质。第三章同余12学时教学要求：牢固掌握同余的概念与整除概念的联系，并能灵活应用同余的基本性质解决具体问题。牢固掌握剩余类和完全剩余系的概念。熟悉完全剩余系的性质并能熟练地运用。熟悉最小非负完全剩余系和绝对最小完全剩余系。理解和掌握简化剩余系的概念和基本性质，并能灵活运用于实际解题。熟悉欧拉函数的概念及计算公式，了解欧拉函数的简单性质。要弄清所学课程中有那些重要的概念和计算问题与欧拉函数有关。透彻理解和掌握欧拉定理和费尔马定理，并能熟练地

7、用它们解决各种计算问题和证明题。本章重点：同余与整数的联系，同余的基本性质，完全剩余系的性质，欧拉定理及费尔马定理的应用。难点：简化剩余系的判定与应用。教学内容：一、同余的概念及其基本性质同余概念与整除概念的联系，同余的性质及应用。二、剩余类及完全剩余系模m的剩余类及完全剩余系的概念，模m的最小非负完全剩余系，完全剩余系的性质。三、简化剩余系与欧拉函数简化剩余系的概念及性质，欧拉函数的概念、计算公式及简单性质。四、欧拉定理.费尔马定理欧拉定理、费尔马定理及它们的应用。第四章同余式9学时教学要求：掌握一次同余式的判别定理（有无解？有多少解？）熟悉一次同余式的各种解法，重点掌握一次同余式的一、二种

8、解法。透彻理解孙子定理，熟悉应用此定理解题的具体过程和步骤。了解合数模的高次同余式的基本性质以及求解的一般过程。了解质数模的高次同余式的性质。熟悉和掌握威尔逊定理，并注意该定理的实际应用。本章重点：一次同余式及一次同余式组的解法，威尔逊定理及其应用。难点：高次同余式的解法。教学内容：一、基本概念及一次同余式同余式的一般概念，一次同余式的判别定理（解的存在性及解的个数）及一次同余式的解法。(一次简约同余式的解法：穷举法、辗转相除法、分数法(用同余的性质求解)、公式法）二、孙子定理一次同余式组的概念，一次同余式组的解法（孙子定理）三、高次同余式的解数及解法通过模的分解化简同余式，以质数幂为模的高次

9、同余式。四、质数模的同余式同余式次数的降低，高次同余式解的性质，威尔逊定理，高次同余式的解数与次数的关系。第五章二次同余式与平方剩余10学时教学要求：理解和掌握平方剩余，平方非剩余的概念，两者之间的关系及其基本性质。重视欧拉判别法的实际应用。牢固掌握勒让得符号的概念及基本性质（特别是互倒定律的条件和结论）。熟记的计算法则。透彻理解和掌握雅可比符号的概念及其与勒让得符号的区别与联系。熟记雅可比符号的基本性质和计算规则，尤其是雅可比符号的互倒定律。能够熟练应用雅可比符号的性质计算勒让得符号的值。能够运用勒让得符号和雅可比符号的知识判断奇质数模的二次同余式解的存在性。在有解的情况下，了解求解的一般步

10、骤。了解合数模的二次同余式的有关知识（解的存在性的判别，解的数目以及求解的一般过程）本章重点：单质数模的平方剩余与平方非剩余的概念及判定、互倒定律、单质数模P的二次同余式的解法。难点：合数模的二次同余式有解的条件及解法。教学内容：一、一般二次同余式一般二次同余式的转化，模m的平方剩余与平方非剩余的概念。二、单质数的平方剩余与平方非剩余欧拉判别条件，平方剩余与平方非剩余的基本性质。三、勒让得符号勒让得符号的定义及性质四、雅可比符号雅可比符号的定义，雅可比符号与勒让得符号在概念上的区别，雅可比符号的性质。五、合数模的情形以奇质数的方幂为模的二次同余式，模的二次同余式，一般合数模的二次同余式。十、实验部分：无十一、主要教材及教学参考书教材：闵嗣鹤、严士健编，初等数论（第二版），北京，高等教育出版社，1982年9月第2版。主要教学参考书：1、郑克明主编，数论基础，重庆，西南师范大学出版社，1991年1月第1版2、自编习题册。执笔人：李忠碧2006年8月审定人：汪定国2006年8月院（系）负责人：李世宏2006年8月Jinxinfeng