时间序列分析法论文1.ppt

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1、时间序列分析法时间序列分析法l时间序列的意义时间序列的意义l时间序列的分类时间序列的分类l时间序列的构成要素与分析模型时间序列的构成要素与分析模型l时间序列的应用时间序列的应用一、时间序列的意义一、时间序列的意义1.11.1时间序列的定义时间序列的定义把同一现象在不同时间上取得的观察值按时间顺序排列而成的序列，称为时间序列（又称动态序列）。用xt,t T 表示，并简记为 xt或xt。时间序列中的元素称为观测值。自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的。如工业生产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国

2、家的年GDP序列，年投资序列，年进出口序列等。1.2时间序列的构成要素：现象所属的时间 反映现象发展水平的指标数值要素一：要素一：时间t要素二：指要素二：指标数数值a1.3 研究时间序列的主要作用有 可以反映社会经济现象的发展变化过程，描述现象的发展状态和结果。可以研究社会经济现象的发展趋势和发展速度。可以探索现象发展变化的规律，对某些社会经济现象进行预测。利用时间序列可以在不同地区或国家之间进行对比分析，这也是统计分析的重要方法之一。二、时间序列的分类二、时间序列的分类时间序列绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列时期序列时点序列（一）按构成时间序列的现象观察值的数学表现形式不同，时间序

3、列可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。(一)绝对数时间序列1.时期序列由时期总量指标排列而成的时间序列时期序列的主要特点有：1）序列中的指标数值具有可加性。2）序列中每个指标数值的大小与其所反映的时期长短有直接联系。3）序列中每个指标数值通常是通过连续不断登记汇总取得的。2.时点序列由时点总量指标排列而成的时间序列 时点序列的主要特点有：1）序列中的指标数值不具可加性。2）序列中每个指标数值的大小与其间隔时间的长短没有直接联系。3）序列中每个指标数值通常是通过定期的一次登记取得的。(二)相对数时间序列把一系列同种相对数指标按时间先后顺序排列而成的时间序列叫做相对数时间序列。(

4、三)平均数时间序列平均数时间序列是指由一系列同类平均指标按时间先后顺序排列的时间序列。（二）按构成时间序列的现象观察值的变动情况不同，时间序列可分为平稳序列和非平稳序列。平稳序列(stationary series)各观察值基本上在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的 非平稳序列(non-stationary series)有长期变动趋势的序列趋势可以是线性的或非线性的 有长期变动趋势、季节性变动和周期性变动的复合型序列（三）编制时间序列的原则保证序列中各期指标数值的可比性。(一)时期长短最好一致(二)总体范围应该一致(三)指标的经济内容应该统一(四)计

5、算方法应该统一(五)计算价格和计量单位可比(四)时间序列常用的分析方法(一）指标分析法通过时间序列的分析指标来揭示现象的发展变化状况和发展变化程度（二）构成因素分析法通过对影响时间序列的构成因素进行分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律(五)时间序列的特点任何时间序列形式都由时间和观察值两个基本要素组成。时间序列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式，观察值根据表现形式不同有绝对数、相对数和平均数。因此，从表现形式上看，时间序列可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性，或者只表现出三者之中的其二或者其一。这样，可以认为

6、每个时间序列，或者适当的函数变换的时间序列，都可以分解成三个部分的叠加：Xt=Tt+St+Rt，t=1，2，其中，Tt是趋势项，St是季节项，Rt是随机项。时间序列Xt是这三项的叠加。时间序列分析的首要任务就是通过对观测样本的观察分析，把时间序列的趋势项、季节项和随机项分解出来。这项工作被称为时间序列的分解。时间序列的特点时间序列的特点序列序列特特 点点时点时点不可加性不可加性不同时期资料不可加不同时期资料不可加无关联性无关联性与时间的长短无关联与时间的长短无关联间断登记间断登记资料的收集登记资料的收集登记时期时期可加性、关联性、连续登记可加性、关联性、连续登记相对相对派生性派生性有绝对数列派

7、生而得有绝对数列派生而得不可加性不可加性平均平均三、时间序列的构成要素与分析模型（一）时间序列的构成要素事物的发展变化同时受多种因素的影响。作为表现事物发展数量特征的时间序列，其各个观察值（Yi）是多种因素共同作用结果的综合体现。影响时间序列的因素大体上可以分为四种，即长期趋势（Secular trend）、季节变动（Seasonal fluctuation）、循环波动（Cyclical movement）和不规则波动（Irregular variations）。时间序列的构成要素1、长期趋势(trend-T)时间序列观察值在较长时期内呈现出某种持续发展 变化的状态、趋向或规律 2、季节性变动

8、(seasonality-S)也称季节变动(Seasonal fluctuation)时间序列观察值在一年内重复出现的周期性波动 3、周期性变动(cyclity-C)也称循环波动(Cyclical fluctuation)围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动 4、随机性变动(random-I)也称不规则波动(Irregular variations)除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动（二）时间序列的分解模型将影响因素与时间序列的关系用数学关系式表示就构成时间序列的分解模型。分别测定各影响因素的变动规律及其对时间序列的影响程度的过程称为时间序列的构成分析，可作为预测未来的依据。按四种因素对

9、时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型。乘法模型 Yi=TiSiCiIi 加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii 最常用的是乘法模型。其基本假设是各构成因素互不独立，对事物的影响是相互的，除对时间序列的发展水平产生影响外，因素之间也相互影响。利用乘法模型可以将各因素从时间序列中分离出来进行分析。（三）时间序列模型的分类3.3.1时间序列模型分类1.自回归模型（简称AR模型）如果一个线性随机过程可表达其中 fi,i=1,p是回归参数，ut 是白噪声过程，则这个线性过程xt 称为 p阶自回归过程，用AR(p)表示。它是由xt 的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。（10.1）式可用滞后

10、算子表示为其中 称为自回归算子或特征多项式。2.移动平均过程如果一个线性随机过程可用下式表达xt=ut+1ut-1+2ut-2+qut-q (10.10)其中 1,2,q是回归参数，ut为白噪声过程，则称（10.10）式为q 阶移动平均过程，记为MA(q)。它是由ut及其q个滞后项的加权和组成。上式还可写为xt=(1+1L+2L2+qLq)ut 或 xt=(L)ut 由定义知任何一个q 阶移动平均过程都是由q+1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的过程。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程 (L)=(1+1L+2L2+qLq)=0 的全部根的绝对值必须都大于1。由xt

11、=(L)ut 有(L)-1xt=ut。由于(L)可表示为 (L)=(1-H1L)(1-H2L)(1-HqL)所以 可见保证MA(q)过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA(q)具有可逆性的条件是(L)-1收敛。则必须有|Hj|1，j=1，2，q成立。而Hj-1是特征方程 (L)=0的根，所以MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程 (L)=0的根必须在单位圆之外。（因为xt=(L)ut是平稳的，如果变换成 (L)-1 xt=ut 后变得不平稳，显然失去可逆性。）3.自回归移动平均过程(ARMA)由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q)，其中p

12、,q分别表示自回归和移动平均分量的阶数。ARMA(p,q)的一般表达式是 或(L)xt=(L)ut (10.17)其中(L)和(L)分别表示L的p,q阶特征多项式，分别称为自回归算子和移动平均算子。ARMA(p,q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即(L)=0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即(L)=0的根取值应在单位圆之外。实际中对于非季节序列，最常用的是ARMA(1,1)过程，xt-1xt-1=ut+1ut-1 (10.18)或 (1-1L)xt=(1+1L)ut 很明显只有当-111和-111 时，上述模型才是平稳的，可逆的。3.3.2时间序列

13、建模的基本步骤时间序列建模基本步骤是：用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列。辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用通

14、用ARMA模型（自回归滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用ARMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。(四)时间序列的分解分析 3.4.1时间数列的组合模型 1）加法模型：Y=T+S+C+I2）乘法模型：Y=TSCI计量单位相同的总量指标对长期趋势产生的或正或负的偏差计量单位相同的总量指标对原数列指标增加或减少的百分比3.4.2长期趋势测定的意义（一）正确反映现象发展变化的方向和趋势，把握现象随时间演变的趋势和规律；（二）利用现象发展的长期

15、趋势，对事物的未来发展趋势作出预测；（三）消除长期趋势的影响，便于更好地分解研究其他因素。3.4.3测定长期趋势的方法(一)时距扩大法 1、定义：时距扩大法是把原数列中较小时距单位的几项数据合并，扩大为较大时距单位的数据，从而对原数列进行修匀构成新的时间序列的一种方法。2、作用：消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势（二)移动平均法 1、定义：对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。2、移动平均法的步骤（1）确定移动时距一般应选择奇数项进行移动平均；若原数列呈周期

16、变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。2、最小平方法配合趋势线时必须满足的两点要求：(1)原数列的实际值与趋势值的离差平方和为最小，即(2)原数列的实际值与趋势值的离差之和等于零，即3、判断趋势类型的方法（1）绘制散点图（2）分析数据特征当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程当数据的环比发展速度趋近于一常数时，可配合指数曲线方程4、直线趋势利用最小平方法配合趋势直线，要求原数列的实际数值与趋势直线上的趋势值的离差平方和为最小，即：将上述两式分别展开并进行整理后，可得到如下标准方程式：解上述标准方程即可得到的a、b数值【例】已

17、知我国19932005年GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程。求解a、b的简捷方法5.曲线趋势（1）抛物线 抛物线趋势方程为：采用最小平方法分别对a、b、c求偏导，并进行整理后得如下标准方程组：3.4.4季节变动的概念和测定(一)季节变动的概念季节变动是指社会经济现象在一定时间长度内由于受自然与社会因素的影响而发生的具有周期性、规律性的重复变动。(二)季节变动的测定方法 按月(季)平均法1）定义：按月（季）平均法是对原时间序列资料不作处理，直接根据历年的周期数据加以平均(给出的资料是月度资料就按月平均，是季度资料就按季平均)，并与总平均数对比，求出有关的季节比率，借以反映现象在各期的

18、变动程度。2）按月（季）平均法求季节比率的步骤：(1)分别就每年各月（季）的数字加总，求各该年的月（季）平均数，即：(2)各年同月(季)数字加总，求若干年内同月(季)的平均数，即：(3)若干年内每月(季)的数字总计，求总的月(季)平均数，即：(4)将若干内同月(季)平均数与总月(季)平均数对比，求各月(季)的季节比率，即：(5)调整季节比率。计算季节比率时，若是月度资料，各月季节比率之和应等于1200%；若是季度资料，各季季节比率之和应等于400%。若根据时间序列资料计算的结果不等，就应进行调整。首先，计算调整系数，公式为：其次，计算调整后的季节比率，公式为：(3)若干年内每月(季)的数字总计

19、，求总的月(季)平均数，即：(4)将若干内同月(季)平均数与总月(季)平均数对比，求各月(季)的季节比率，即：(5)调整季节比率。计算季节比率时，若是月度资料，各月季节比率之和应等于1200%；若是季度资料，各季季节比率之和应等于400%。若根据时间序列资料计算的结果不等，就应进行调整。首先，计算调整系数，公式为：其次，计算调整后的季节比率，公式为：3.4.5循环变动的测定(一)直接法直接法是将每年各季或各月的数值与上年同期进行对比，即求出年距发展速度：直接法简便易行，可以大致消除趋势变动T和季节变动S的影响，适用于季度和月度时间序列。(二)剩余法基本思想是；对各期时间序列资料用长期趋势和季节

20、比率消除趋势变动和季节变动，而得反映循环变动与不规则变动的数列，然后再采用移动平均法消除不规则变动，便可得出反映循环变动程度的各期循环变动系数。将CI数列进行移动平均修匀，则修匀后的数列即为各期循环变动的系数。3.4.6不规则变动的测定在一个时间序列的变动中，消除长期趋势变动和季节变动，即为不规则变动。用公式表示为：不规则变动相对数在1上下波动。大于1，表示对数列的影响为正；小于1，表示对数列的影响为负；离1愈远，影响愈大；等于1，则表示无不规则变动。四、时间序列的应用四、时间序列的应用例：青藏铁路风速短时预测 中南大学轨道交通安全 教育部重点实验室 中图分类号:U29812 大风是影响铁路运

21、输安全的主要气象灾害之一。青藏铁路格拉段位于海拔超过4 000 m的路段约960 km,在以沱沱河为中心的五道梁至安多区域,年平均大风日数在150 d左右,区域风力突变的极端天气频繁发生,严重威胁青藏铁路列车运行安全。为了保障格拉段列车运行安全。工程中,常用的预测方法有回归分析法、最小二乘法、神经网络法、时间序列法、灰色理论法、模糊算法等。这些方法各具特点,已经在许多工程领域得到了成功应用。其中时间序列法具有建模不必涉及信号产生背景,直接通过足够的采样数据就可以建立起相当精度预测模型的突出优点。由于风速均为非平稳序列由于风速均为非平稳序列,故本文采用非平稳故本文采用非平稳ARIMA(p,ARI

22、MA(p,d,q)d,q)模型实现建模模型实现建模 由时间序列法可知,非平稳ARIMA(p,d,q)模型的d阶差分就是属于平稳性质的ARMA(p,q)模型。数据进行1阶差分处理，结果呈现平稳性,不需再进行二阶差分处理。由此断定,ARIMA(p,d,q)模型中差分阶次d取值为1。计算Z3t序列的前20个自相关系数k和偏相关系数kk,结果如图3、图4所示。分析可知k呈无限振荡状态,kk呈有限截尾状态,因此对Z3t序列可建AR(p)或ARMA(p,q)模型。工程中模型辨识具有很大的灵活性,一般要从模型精度和计算量综合考虑。本文选择AR(p)模型对Z3t序列进行拟合.选择矩估计实现对ARIMA(11,

23、1,0)模型方程的参数值估计。计算后得到ARIMA(11,1,0）模型方程的表达式为Z(t)=0772 1Z(t-1)-0221 1Z(t-2)+0136 7Z(t-3)-0137 9Z(t-4)-0020 2Z(t-5)+0282 8Z(t-6)-0154 7Z(t-7)+0043 1Z(t-8)-0051 4Z(t-9)+0093 5Z(t-10)+0277 0Z(t-11)-0019 9Z(t-12)+at式中:at(t=1,2,3,)为t时刻的模型残差值。使用模型方程(5)对Z2t序列的后100个数据分别进行超前1,2,3步预测,预测结果如图6图8所示。从图6可知,时间序列法对风速数据建模预测是可行的,超前1步预测精度很高,平均绝对误差仅为1569 ms-1。谢谢大家！