浅谈数学分析中反例的几个应用.doc

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1、学号：哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 浅谈数学分析中反例的几个应用学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 学 院 哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 浅谈数学分析中反例的几个应用学生姓名 指导教师 年 级 专 业 学 院 2012年3月说 明本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，认真填写。说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。课题来源：由系论文指导委员会提供课题研究的目的和意义：目的：数学分析在数学研究中占有绝对的基础地位。在学习数学分

2、析的过程中，我发现一些抽象的概念和严谨的形式化理论让人很难理解。文章浅谈了反例在数学分析中的应用。主要目的就是通过介绍数学分析中数列、函数、积分等的反例加深对问题的理解，并帮助初学者更深入理解有关数学对象的性质，另外扩充了用一些常见题型构造反例解决问题。这不仅能让初学者增加知识、拓宽思路也能提高分析问题和解决问题的能力，并且通过构造反例培养发散性思维和创造性思维。意义：通过对本文的学习能让初学者加深对知识的理解和掌握，并且反例在数学分析中的应用有能够加深对正确结论的全面理解。为学者更好掌握各种理论知识和强化概念提供一个的强有力的工具。国内外同类课题研究现状及发展趋势：纵观数学的发展史，新思想往

3、往都是与事实相悖的结果。而反例的应用正是这一思想的一步步进化。通过研究国内外数学分析中反例的文献发现：大部分都是研究，某命题的条件有悖于该命题的具体事例；某命题的结论有悖于该命题条件的具体事例；判定某一命题为虚假的特殊的具体事例。对于数学分析中的一些概念、定理、公式、和法则的条件，恰当的运用反例从侧面抓住本质从而加深对知识的理解。反例思想是贯穿数学分析中的主要思想。在数学、物理等各领域都有着重要应用。反例思想不仅对概念、性质的理解有着重要作用，还对问题的研究与论证有着不可替代的作用。 熟练掌握反例在数学分析中的应用是培养学生逻辑思维能力的基本要求之一。反例思想贯穿于数学分析中常考的数列、函数、

4、级数、积分等题中。说明了反例在数学分析中极其重要。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：本课题研究的主要是在数学分析中反例的几个应用。学生对于数学分析中抽象的概念和严谨的形式化理论理解得很困难。反例思想在数学分析中的应用,关键是要针对多数定理及命题用逆向思维，并通过文章介绍的几个反例应用掌握反例思想。关于数学分析中反例的应用教材和辅导用书都没有做归纳和总结; 或者少有涉及,但是解答的不够全面。学生学过之后,会对一些基本的概念和理论模糊不清,做题更是无从下手。在研究的过程中碰到的问题不知道应该用什么方法来解决时，通过与同学的研究和导师的讲解得到了问题的解决方法。在此我将通过提

5、引数列、函数、级数等的反例进行总体研究，并总结与归纳反例的各种技巧。引出用一些常见题型构造反例解决问题的方法。本课题研究的主要是数学分析中反例的应用，而学习这一思想关键在于从问题的反面出发，从侧面抓住本质加深对定义、性质等的理解与运用。课题研究起止时间和进度安排：1. 选定课题（2012.1.102012.1.11）2. 收集资料,研究有关课题 (2012.1.112012.2.28)3. 完成开题报告 (2012.3.12012.3.10)4. 完成初稿 (2012.3.132012.3.30)5请指导教师指导完成论文 (2012.4.12012.4.30)课题研究所需主要设备、仪器及药品：

6、外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：_院（系）主任 （签字） 年 月学 士 学 位 论 文题 目 浅谈数学分析中反例的几个应用学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 学 院 哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要 1关键词 1第一章 反例的类型 11.1 基本类型的反例 11.2 关于充分条件假言判断的反例 11.3 关于必要条件的假言判断反例 21.4 条件性反例 2第二章 反例对加深概念的理解作用 22.1 函数的连续性 4 2.2导数在研究函数中的应用 52.3

7、可积函数 6 第三章 反例对掌握定理的作用 63.1最值定理 7 3.2 拉格朗日中值定理 8第四章数列中的反例 8第五章函数中的反例 9第六章级数中的反例 13 第七章 反例的构造方法 15第八章 反例在数学分析教学中的作用 16参考文献17浅谈数学分析中反例的几个应用摘要: 文章对数学分析中反例的应用进行了全面的概括，并阐述了反例在数学分析中所起的重要作用。重点放在应用反例掌握极限、收敛、可导、可积等概念，以及数列、函数、级数、积分等各种重要反例的应用 ，难点是要准确运用和构造反例解决实际问题，加深学生对概念、定理、公式的理解，培养学生的逆向思维能力。关键词: 极限；数列；函数；导数；积分

8、；级数；收敛；可导；可积 数学分析中的反例思想的应用占有重要地位。在微分学中用于解决的是概念间的关系问题和学习中的错误问题两大问题。本文主要探讨数学分析中反例的应用，下面首先从反例的类型谈起：第一章 反例的类型简单地说，数学分析中的反例就是指一种指出某命题不成立的例子。反例概念的产生与数学命题的结构的密切相关，常见的反例类型有基本形式的反例，充分条件假言判断的反例，必要条件假言判断的反例，条件变化型反例。1.1 基本形式的反例数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断、全程否定判断、特称肯定判断、特称否定判断。其中全称肯定判断与特称否定判断可以互为反例，全程否定判断与特称肯定判断也可以互为反例。

9、例1.1 “所有初等函数在定义域内都连续，故都存在原函数，且原函数都可以用初等函数表示。”对上述全称肯定的判断，可举一个特称否定判断的反例。如：在处连续，但其原函数却不能用初等函数表示。1.2 关于充分条件假言判断的反例 充分条件假言判断是某事物情况是另一事物情况的充分条件的假言判断，可表达为。即“有前者必有后者”，但是“没有前者不一定没有后者”，可举反例“没有前者却又后者”说明之。例1.2 可导函数必连续，但连续函数却不一定可导。如：函数 有 即不存在。但在 处却连续，即没有可导的条件仍有连续的结论。1.3 关于必要条件的假言判断反例 必要条件的假言判断是判定某事物情况是另一种事物情况必要条

10、件的假言判断，可表示为“即没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”,可举反例“有了前者，就没有后者”说明之。 例1.3 级数收敛，则反之不然。可见通项趋近于零时级数收敛的必要条件，但通项趋近于零级数未必收敛，如的一般项，但发散。1.4 条件性反例 数学命题的条件改变时，但结论不一定正确，条件变化包括条件减少，增加或改变等几种情况，考察条件变化所引起的结论的变化，对数学科学研究和教学均有益的。 例1.4 罗尔定理的三个条件分别为： 1) 在连续 2）在可导 3）结论为至少存在一点使=0.如：条件1不满足时，可举反例，此函数在除处均连续，在内可导且。但罗尔定理结论不成立。 条件2不满

11、足时，可举反例，上连续，除外均可导，且，但它在不可导，这时罗尔定理也不成立。 条件3不满足时，可举反例，此函数在上连续，在上可导，但，这时罗尔定理仍不成立。第二章 反例对加深概念的理解作用2.1 函数的连续性连续函数是数学分析中一类重要函数。学生对于函数连续的局部性（在一点的连续性）的概念，理解不清楚而造成一些概念的错误。任何一个函数以及自变量的一个完全确定的值，若函数反映的某一种连续过程的话，则对应于跟相差很小的值应该是跟函数在点的值相差很小的函数值。因此，若自变量的增量很小，则相应的函数增量也应该很小。也可以说，若自变量的增量趋于零，则函数增量也应该趋于零。即 亦即 （*）分析以上定义，在

12、点连续需要满足下列三个条件：（1）在点有定义（2）在点的极限存在（3）极限值等于函数值这三个条件是缺一不可的，下面分别用一反例说明条件的必要性。（1）若在点没定义，则在点不连续。 例2.1 =在处没定义，可知在处不连续。（2）在点的极限不存在，则在点不连续。例2.2 可知在处不连续。（3）若的极限值不等于函数值，则在点不连续。例2.3 可知在处不连续。为了加深对连续概念的理解，举了一下几个反例1 )仅在一点连续的函数例2.4 只在连续2) 仅在个点连续的函数例2.5 当时，在在右侧取有理数列及无理数列使 于是 不存在，因此是的不连续点。当时，当时，是的连续点。3） 在每个无理点连续而在每个有理

13、点间断的函数例2.6 在中的无理点处连续、有理点处不连续。注：不存在于每个有理点处连续而无理点处间隔的函数。4）是定义在上的函数，取遍与之间的任意值，是否必在上连续？有些学生的回答此题是肯定的，其实答案是否定的。例2.7 因为取之间的一切值，对任意，所以取与之间的一切值，但在处不连续。2.2导数在研究函数中的应用1）导数于某点大于零的可微函数，但在该点的任何邻域内都不是单调的。 例2.8 在点，但在原点的任意邻域内的值都时正时负。2） 若函数在点有极大值，在此点的邻域内不一定有在点的左侧上升右侧下降。例2.9 对于且，而 ，在的任意小的邻域内都时正时负，即在的左、右两侧的任意邻域内都是振荡的。

14、2.3 可积函数1）在上可积，但不存在原函数例2.10 只在间隔，其它点均连续，因此，在上可积，但上不存在原函数。2）任何可积函数都是有界的，但有界不一定可积。例2.11 在上有界，但不可积。3）若、可积，但不一定可积。例2.12 ，它们在任意有限闭区间上均可积，但在任意区间上不可积。第三章 反例对掌握定理的作用数学分析中一些定理的条件学生易忽略从而导致错误的结论，这是通过适当的反例可是学生加深对定理的理解。闭区间上连续函数的性质，要求函数必须在闭区间上连续，结论才成立。以最值定理为例，若闭区间为非闭区间，或在上不连续，则结论不一定成立。3.1 最值定理最值定理 ：若在区间上连续，则在上取得最

15、大、最小值。（1）若改为无界区间。例3.1 =，显然在上连续，但在上没有最大、最小值。（2）若改为有界非闭区间。例3.2 = 显然，=在上连续，但上没有最大、最小值。（3）在上不连续例3.3 在点处处连续，而在处，所以在=0点不连续，显然，在上无最大值。3.2 拉格朗日中值定理若闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一使得 （1）（1） 若在开区间上连续，不一定有，使得（1）是成立。例3.4 在间断，在开区间内连续，但不存在，使得=1（2）若在开区间内部可导，结论不一定成立。例3.5 =在闭区间上连续，在开区间内吃不可导，显然这是（1）不成立。第四章 数列中的反例 定义1 设为数列，为定

16、数，若对任何的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限。若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。例4.1 判断以下两个论断是否与极限的定义等价。1. 有无穷多个，对于每个，存在当时，有。2. 对任意正数，无限多个，使。事实上，1和2两个论断都与数列极限的定义不等价。论断1忽视了的最基本属性“任意小正数”，例如数列：尽管有无穷多个（如=3, 4, 5，），可以使（这里可以是0或1）小于每一个（如=3, 4, 5，），但不能使比任意小的正数还要小。论断2对任意，虽然有无穷多个，使得，但它忽视了对每一个，都必须满足，例如数列=。对任意正数，有无限多个（只要），在0的邻域内

17、；但在中无论从那一项开始，其后总有不含在内的项。 例：收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能不成立。例4.2 数列和，通项分别为=，（则数列收敛，发散， = 故其积发散。然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的。数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充要条件，即数列有界但不一定收敛。 反例 数列有界，但它发散。例4.3 数列与均为发散数列，通项分别为 ，（ ）但（），因而数列收敛于零。例4.4 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列。取数列 及数列 显然，这两个数列都发散，但其对应相加所组成的数列是它是一个收敛数列。 第五章 函数中的反例定义2

18、 ：设为定义在上的函数，若对任何正数,都存在,使,则称为上的无界函数。无界函数的定义与函数趋于无穷的的定义有些相似。然而，这两个概念有本质上的差别。若时，则在点的每个邻域内必定无界。反之，函数在点的任何邻域内都是无界的，但当时，并不趋于无穷大。设=，则对无论多大的正数,总有充分接近于的点，使 例5.1 取，则，故当时，就有。因此，函数在的任何邻域内都是无界的。然而，若取，则当时，此时，即并不趋于无穷大。在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，有时又用集合表示，此时我们易产生这样一种误解，即数集的区间与集合表示是等同的。其实不然，此时可用如下反例加以澄清。例5.2 设 我们知道：，当

19、时是严格单调函数，但若，则就不是严格单调函数了。事实上：当,则，而，究其原因是由于集合表示k取遍所有整数的符合条件的x的全体，而间则表示k没取一确定的区间。因而数集的区间表示与集合表示并不完全等同。例5.3 在学习无穷大量和无界量概念时。我们对：任意的,存在，时和在的某邻域内无界：对任意的,存在，使得，这两个概念理解不清，对于定义的理解，我们可以得出：无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量，下面举例说明。例5.4 在的任何邻域都是无穷的，但当时，却不是无穷大量。例5.5 在处连续，是否存在的某邻域，使得在该邻域内连续，我们构建= ，易知函数只在处连续，在其他任何地方都不连续。数学分析中的很

20、多定理是充分而非必要条件。在说明其命题是否成立时，如果考虑一般情况很难说明，如果能举一些反例，则既简单又明了，这样我们很容易掌握。例5.6 定理 若函数在a点出连续，则在a点出也连续。要说明其逆命题是否成立，可以设函数为例。 因为在处连续，而在处不续。 第六章 级数中的反例定义3有实数项组成的无穷级数，对于数项级数 ，令称为级数的n项和。若存在，则称级数为收敛的，并称s为级数的和，记作=s在相反的情形，就称级数为发散的。级数收敛的必要条件是。例6.1 如果级数收敛，那么其部分和数列有界且。这个命题显然是成立的，而他的逆命题却不成立，一个发散数列，其部分和数列有界且。设为 ，则，且对每一个n，都

21、有，其中 然而，由于中有无穷多个取值为0，又有无穷多个取值为1，因而并不存在，即级数发散。例6.2 如果，试问级数是否一定收敛？答：不一定，例如级数，虽然对任意的, ，但发散。例6.3 证明：任意的（当），有收敛，则绝对收敛。分析：问题等价于：若发散，则至少存在一个序列（当），使得级数发散。如此，问题归结为条件出发，构造所需的序列的问题。证明：（反证法）若，则，,()，使得如此，对，,使得。对，使得， 由此我们可以得到使得，取（当时，），则不论怎么大，只要时，恒有,“片段” 此即说明（当），使得发散，与已知条件矛盾。第七章 反例的构造方法7.1特例构造法特例构造法是利用一些典型的反例来科学的凑

22、合，就可提出所需反例。例7.1 在处连续，是否存在的邻域，使在该邻域内连续。分析：回答是否定的，如何反例。我们知道Dirichlet函数， 处处不连续。 例7.2 ，易知只在连续， 在其他任何地方均不连续。 7.2 .性质构造法性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征，用一定的技巧构造反例的方法。例7.3 Schwardz不等式：与在可积，则 （1）事实上与线性相关仅是（1）成立的充分条件。可举反例找两个线性无关的函数，但满足Schwardz不等式。例7.4 上的函数，当，（互质的正整数，）时，；当时；当x为无理数时，=0。用积分上和和和下和容易证明在可积，且，于是有。取（c为常数）。则=0

23、。即（1）式等号成立。但与在上线性无关，因为不为常数。7.3 类比构造法:根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构造出类似的反例的方法。例7.5 第一个无处可微粉的连续函数的例子是由Weierstrass用振动曲线 构造提出的：Van der Waerden 将振动曲线改进为折线，构造出又一个无处可微但处处连续的例子：。后来又许多数学家在上述两个例子的基础上又造了一系列无处可微但处处连续的例子。从而解决了数学界困惑多年的问题。 第八章 反例在数学分析教学中的作用 反例能发现原有理论的局限性，培养学生的创造性思维，推动数学向前发展。举反例可以直接促进数学概念，新定理与新了理论的形成和发展。在

24、数学分析发展的历史上有很多例子可以说明，如：对连续函数项级数的和函数，Cauchy还认为其和函数必连续，但人们举出了很多反例，引出了一致收敛的概念。再如：Dirichlet函数在Riemann意义下不可积启发了异于Riemann积分的新积分理论的产生。可见，反例的构造在数学理论的发展中起着举足轻重的作用。正如奥姆斯特德所指出的“数学有两大类证明和反例组成，而数学发展也是朝着两个主要目标提出证明和构造反例前进。”首先 反例能帮助人们澄清数学概念和定理。数学分析中的概念和定理有许多结构复杂，条件结构使人不易理解，反例则可以使概念更加明确和清晰，使理的条件，结论之间的充分性，必要性指示得一清二楚。其

25、次，反例能帮助学生学习基础知识，提高数学修养，培养学生的创造性思维。数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维特点和逻辑推理体系，既有严密的逻辑思维方法，也有非逻辑思维方法，以及两者综合的创造性思维方法。引导学生在深厚基础知识上科学的构造反例，从而培养他们数学发现的能力和床在性思维的能力。总之，从数学发展和数学教学的实践来看，构造反例和给出证明起着同等重要要的作用，构造反例是深化理解知识，辨析错解，培养创造性性思维的有力工具。它在发现和认识数学真理，强化基础知识的理解和掌握以及培养学生的创造性思维能力等方面的意义和作用是不容低估的。在数学分析的教学中，恰当的开发和利用反例辅助教学，引导学生合理构造反例，长期训练学生构造反例的能力，通过反例培养学生的创造性思维的能力，将能有效的提高教学质量。 文档来源网络，版权归原作者。如有侵权，请告知，我看到会立刻处理。