模拟竞赛数学建模队员选拔论文.doc

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1、数学建模队员选拔模型摘要1.问题的重述 一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拨出正真优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。 数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。 目前选拨队员主要考虑以下几个环节。 数学建模培训课程的签到

2、记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拨出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学，计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。 下表列出了15个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况。学生专业笔试班级排名听课次数其它情况思维敏捷机试知识面S1数学9622ABAS2电子信息936过计算机三级ABBS3机械924CDCS4机械82104上过建模选修课BBAS5数学823BCBS6

3、电子信息8236ABDS7化工与材料8075CBBS8数学794考过程序员ABAS9电子信息78124学过MATLABACCS10电子信息775学过MATLABABBS11化工与材料766CABS12化工与材料742ACAS13计算机782BADS14计算机765ABAS15计算机666CBB 现在需要解决以下问题： 根据我们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考查学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考查？ 根据上表信息，建立建模队员选拨的数学模型，从中选出9位同学，并组成3队，使得这三队具有良好的知识结构。 有的指导老师在对学生机试的时候法线一个计算机编程高手，然后直接

4、录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。 为数学建模教练组写一份1000-1500字的报告，提出建模队员选拨机制建议，帮助教练组提高建模队员选拨的效率和质量。2.问题的分析2.1问题的分析 根据经验，我们知道数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。这些都是选拔队员需要考虑的因素，但在实际问题中指标之间往往相互影响，指标数目繁多且各指标的重要程度不一样。为此我们采用主成分分析方法对指标进行简化，并根据主成分得到影响选拔的主要因素。2.2问题的

5、分析 在一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题，这是一个最实际的、而且是首先需要解决的数学模型问题。队员的选拔是一个综合的、多准则的决策，在这一过程中既要考察队员的学科成绩（平均成绩）、智力水平（思维能力、分析问题和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用和其他方面实际操作能力）、写作能力、协作能力（团结能力）和其他特长。层次分析法是一种定性和定量相结合的多目标系统决策方法，广泛应用于各个领域，但传统的层次分析法存在如下缺点：判别矩阵的一致性指标难以达到；判别矩阵的一致性与人们决策的一致性存在差异；调整一致性带有盲目性。因此，

6、我们利用模糊一致矩阵的模糊层次分析方法，它可以解决这些缺点。2.32.3问题的分析3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设假设问题中所提供队员的基本条件充分地反映了每个队员的真是能力和水平；假设每个队员的能力和水平在比赛中可以100%地发挥，不受外界因素和环境的影响；同一队三名队员的单项条件互不影响，而且具有互补性，即一个队的水平为最高者的水平；3.2符号说明 表示笔试成绩；表示听课次数的成绩；表示思维敏捷的成绩；表示机试的成绩；表示知识面的成绩；4.模型的建立与求解4.1主成分分析法 主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成份（即综合变量）的统计分析方法。这些能够反映原始变量的

7、绝大部分信息，它们通常表示为原始变量的某种线性组合。它能简化数据、揭示变量之间的内在关系，为进一步分析总体的性质和数据的统计特性提供重要的信息。主成分分析的一般目的是：（1）变量的降维；（2）主成分的解释。 设是来自总体的维随机向量，均值向量为，协方差为，的特征根为，为的单位特征向量。总体表示“取得竞赛较好成绩的参赛队员（用表示）”组成的全体，分别表示：写作能力，：机试成绩，：知识面，：计算机编程能力，：思维敏捷，：笔试成绩 设的线性函数，使得的方差尽可能地大，且，即由【1】可知的第主成分，且。其中 由此可以看出，主成分把个原始变量的总方差重新分解成了个不相关变量的方差之和。这种新分解最大限度

8、地使得在总方差的份额分配上越是靠前的主成分越能得到尽可能多的照顾，以致前面少数几个主成分往往在总方差中占有相当大的份额，从而有利于变量的降维。 总方差中属于第主成分（或被所解释）的比例为称为主成分的贡献率。前个主成分的贡献率之和称为主成分的累计贡献率，它表明解释的能力。通常取（相对与）较小的，使得累计贡献率达到一个较高的百分比（如80%-90%）。此时，可用来代替，从而达到降维的目的，而信息的损失却不多。4.2应用主成分分析法分析元素 我们收集了某校1994年至1997年数学建模竞赛取得较好成绩（一个全国一等奖、两个全国二等奖、两个区二等奖和两个区三等奖）的参赛队员的相应各方面的成绩（数据经过

9、标准化处理）表1学生成绩表xsx1x2x3x4x5x6s183 90 82 82 95 89 s281 90 90 72 80 81 s390 70 75 89 80 90 s486 80 90 87 95 89 s581 80 71 90 95 90 s686 90 87 84 95 85 s782 70 65 91 90 81 s884 90 67 90 90 85 s981 90 81 88 85 79 s1080 90 82 92 85 88 s1186 70 76 87 80 84 s1284 90 73 81 95 89 s1378 80 70 84 95 82 s1486 90

10、82 87 95 88 s1586 70 81 90 85 87 s1683 80 80 84 90 89 s1779 90 73 89 95 63 s1867 80 90 86 85 76 s1986 70 85 85 90 78 s2087 70 84 81 95 83 s2178 60 62 85 85 68 为了使数据具有可比性，我们将原始数据进行了标准化，利用sas软件包对已获得的21个样品经计算后得（具体操作步骤见附录）：4.2.1相关矩阵表2相关矩阵1-0.12380.0280.01640.08380.5101-0.123810.2999-0.15780.32080.17760.

11、0280.29991-0.385-0.04880.22690.0164-0.1578-0.3851-0.00190.02620.08380.3208-0.0488-0.001910.09820.51010.17760.22690.02620.098214.2.2主成分特征值及贡献率表3前4个主成分及贡献率主成分特征值贡献率累计贡献率1.742794330.29050.29051.446212940.24100.53151.182467590.19710.72860.765058080.12750.85614.2.3主成分的载荷表4前4个主成分载荷矩阵0.3090270.634298-0.171

12、318-0.3112480.460012-0.3189560.4262440.3762090.507315-0.2998899-0.359490.245018-0.336830.4226890.3572150.6414560.267220.025650.726211-0.4622450.500660.476105-0.0689050.276444模型结果分析：1、主成分及其变量的关系2、主成分载荷分析： （1）在第一主成分中变量，都有较高的正载荷，这说明在竞赛中取得好成绩的队员的数学建模的理论知识较深厚，所以可以看成是“数学建模知识”指标。 （2）在第二主成分中变量具有较高的正载荷，这说明竞赛

13、成绩与参赛队员的动手能力有关，所以可以看成“写作能力”指标。 （3）在第三主成分中变量具有较高的正载荷，这说明竞赛成绩与参赛队员的思维敏捷能力有关，而往往思维敏捷能力能反映一个人应用数学的能力，所以可以看成“应用数学能力”指标。 （4）在第四主成分中变量具有较高的正载荷，这说明竞赛成绩与参赛队员的机试成绩和计算机编程能力有关，即队员的动手能力，所以可以看成“动手能力”指标。 经以上分析可知，“数学建模知识”、“写作能力”、“应用数学能力”和“动手能力”是影响数学建模队员选拔的主要因素。这与我们以往初选队员时的想法及实践经验是吻合的。还可以看出，平时的数学成绩对数学建模的影响不是最重要的。4.3

14、模糊层次分析法 模糊层次分析法的关键是模糊一致矩阵，我们先定义模糊一致矩阵，然后给出模糊层次分析发进行的一般步骤。1.1模糊一致矩阵的概念 定义1若矩阵满足，则称是模糊矩阵。 定义2若模糊矩阵满足，则称模糊矩阵是模糊互补矩阵。 定义3若模糊矩阵对任意，满足，则称模糊矩阵是模糊一致矩阵。1.2.模糊一致矩阵的性质 定理1若模糊互补矩阵为模糊一致矩阵，则有 ，有，有； 的第行和第列元素之和为，从中划掉任意一行及其对应列所得的子矩阵任然是模糊一致矩阵； 满足中分传递性，既当时，若，则有；当时，若，则有。 定理2若对模糊互补矩阵按行求和，并记，做变换，则由此建立的矩阵是模糊一致矩阵。1.3模糊一致矩阵

15、中元素的意义 模糊一致矩阵中，当，表示元素与元素同样重要；当，表示元素比元素重要，并且越小，元素比元素越重要；当，表示元素比元素重要，并且越大，元素比元素越重要。1.4模糊层次分析法进行决策的一般步骤 建立层次结构模型。首先确定所要解决问题的目标、影响因素及各因素间的关系，然后根据目标将涉及的各影响因素结构层次化。 构造优先关系矩阵，其中和分别表示因素与因素的相对重要程度，而且由此构成的矩阵是模糊互补矩阵。 运用定理2中的变换关系，将优先关系矩阵变为模糊一致矩阵。 确定各层相对上层的权值，通过相应的模糊一致矩阵，使用方根法，确定下一层各因素对上一层的某一因素的权值，并对权值进行归一化处理。例第

16、层因素在第层因素下的权值为,其中对应于在下第层的模糊一致矩阵，为层因素的个数，。 确定综合权值。综合各层的权值矩阵，可得到递阶结构的方案层对目标曾的综合价值，例对于有3个层次的递阶结构，若第1层只有1个因素，第2，3层分别有个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为；，以为列向量构成矩阵，则第3层对第1层的综合权值向量为。4.4应用模糊层次分析法选择队员 现有15名队员准备参加竞争，根据队员的能力和水平选出9名优秀队员并组成3个队，每个队3名队员去参加比赛，选择队员主要考虑的条件依次为专业、笔试、听课次数、思维敏捷、机试、知识面。 按照步骤1，建立层次结构，如下表所示：表1队员选拔层次结构

17、表目标层选拔队员准则层选择条件笔试听课次数思维敏捷机试知识面方案层队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员11队员12队员13队员14队员15 其中括号内的数字为单项排名。 按照步骤2，建立优先关系矩阵。有选择条件的相对重要性，得出矩阵。由队员单项选择条件的排名，得到相应的优先关系矩阵。例表2优先关系矩阵，其他的优先关系矩阵见附录。表2优先关系矩阵0.50.51110.50.5000010.5110100.5101000.5 按照步骤3，将优先矩阵转化为模糊一致矩阵。表8模糊一致矩阵0.60.60.60.60.60.50.50.50.50.50.60.60.60.60

18、.60.60.60.60.60.60.60.50.60.60.5表9模糊一致矩阵队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员11队员12队员13队员14队员15队员1111111111111111队员210.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员30.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员40.90.90.90.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8队员50.90.90.90.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8队

19、员60.90.90.90.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8队员70.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8队员80.80.80.80.80.80.80.80.70.70.70.70.70.70.70.7队员90.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员100.70.70.70.70.70.70.70.70.70.60.60.60.70.60.6队员110.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员120.60.60

20、.60.60.60.60.60.60.60.60.60.50.60.60.5队员130.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员140.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员150.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5表10模糊一致矩阵队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员11队员12队员13队员14队员15队员10.50.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.50.50.60.6队员20.90

21、.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员30.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员40.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员50.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员60.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员70.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8队员80.70.70.70.70.70

22、.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员90.60.70.70.70.60.70.70.70.70.70.70.70.70.60.7队员100.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.8队员110.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员120.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员130.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员140.80.80.80.80.80.80.80.

23、80.80.80.80.80.80.80.8队员150.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9表11模糊一致矩阵队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员11队员12队员13队员14队员15队员10.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员20.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员30.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员40.70.70.70.70.70.70.70

24、.70.70.70.70.70.70.70.7队员50.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员60.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员70.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员80.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员90.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员100.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.8

25、0.90.80.90.8队员110.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员120.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员130.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员140.90.90.80.80.80.90.80.90.90.90.80.90.80.90.8队员150.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6表12模糊一致矩阵队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员1

26、1队员12队员13队员14队员15队员10.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员20.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员30.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5队员40.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员50.60.60.50.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员60.70.80.70.70.70.70.70.70.70.70.80.70.80

27、.70.7队员70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员80.70.80.70.70.70.70.70.70.70.70.80.70.80.70.7队员90.60.60.50.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员100.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员110.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员120.60.60.50.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员13

28、0.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员140.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员150.70.80.70.70.70.70.70.70.70.70.80.70.80.70.7表13模糊一致矩阵队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员11队员12队员13队员14队员15队员10.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员20.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队

29、员30.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员40.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员50.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员60.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5队员70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员80.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员90.60.60.60

30、.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.6队员100.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员110.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7队员120.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员130.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5队员140.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9队员150.70.70.70.70.70

31、.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7 按照步骤4算出各模糊一直矩阵中各因素的权值。 层相对于层，各选择条件的权值为 层相对于选择条件,各队员权值为 类似可求出层相对于其他选择条件的各队员权值为 从而，各队员的综合权值为 从权值来看，队员3的得分最低，应该被淘汰，接着被淘汰的是队员7、队员9、队员10、队员13、队员15，然后对剩下的9个队员重新编号，依次记为1到9，然后确定组队。最佳组队原则： 设表示队员的第项水平指标，表示由队员组队的第项水平指标，则令，于是用表示队的整体技术水平指标。最佳组队是从9名队员中选出使最高。组队方案： 根据组队原则，最佳组队中的队员一定是第一

32、、三、四项指标的最高者。由原始数据可知，为最高，于是，则队员是首先入选的队员。 其次，再比较其他方面可知综合成绩最优，故，所以是第二个入选的队员。 另外，为最高，故。所以是第三个入选的队员。 ,也都是较高的值，即因此，由组成队的技术水平指标为是最高的，且三个队员来自不同的院系，所以最佳组队为。在此基础上选择另外两个队，即对进行配对。根据排队组合原理，共考虑种配对情况，每一个组合的技术水平指标值如下表所示：M1M2M3M4M5v(x,y,z)s2s4s5939090809088.642s2s4s6939090809088.642s2s4s8939090809088.642s2s4s1293909

33、0809088.642s2s5s6939090808086.732s2s5s8939090809088.642s2s5s12939090809088.642s2s6s8939090809088.642s2s6s12939090809088.642s2s8s12939090809088.642s4s5s6829090809086.288s4s5s8827090809082.568s4s5s12827090809082.568s4s6s8829090809086.288s4s6s12829090809086.288s4s8s12827090809082.568s5s6s8829090809086.

34、288s5s6s12829090809086.288s5s8s12827090809082.568 由上表可以明显看出，要使整体水平达到最大，另外两组为,其技术水平指标值分别为88.642、86.2885.模型的结果分析6.模型的优缺点与改进方向参考文献附录表3优先关系矩阵队员1队员2队员3队员4队员5队员6队员7队员8队员9队员10队员11队员12队员13队员14队员15队员10.511111111111111队员200.51111111111111队员3000.5111111111111队员40000.50.50.5111111111队员50000.50.50.5111111111队员60000.50.50.5111111111队员700000