行列式计算方法研究.doc

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1、毕业论文（设计）论文题目：行列式计算方法研究学生姓名：兰晨晨学 号：0905020124所在院系：数学与计算科学系专业名称：信息与计算科学届 次：2013届指导教师：季全宝目 录1 引言21.1 研究背景21.2 研究目的22 行列式的定义及性质22.1 行列式的定义22.1.1 二级行列式22.1.2 三级行列式32.1.3 n级行列式42.2 行列式的性质53 行列式的计算方法53.1 化三角形法53.2 提取公因式法73.3 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法83.4 利用递推关系法114 总结概述14参考文献：15淮南师范学院2013届本科毕业论文行列式计算方法研究学生：兰晨

2、晨（指导教师：季全宝）（淮南师范学院数学与计算科学系）摘 要：行列式的计算具有很强的技巧性，从理论上来说，所有的行列式都可以按照其基本定义直接进行计算，但是按照其定义直接去计算而不依靠计算机的帮助，很多时候是不可能的。本论文在总结了现有的常规型行列式的计算方法的基础上，对行列式的一些计算方法和技巧进行了更加深入的研究和探讨。总结出了“化三角形法”、“提取公因式法”、“利用范德蒙(Vandermonde)行列式法”和“利用递推关系法”4种具有很强代表性的计算技巧和途径。关键词：行列式；计算方法；三角形行列式；递推关系式Research on the Method of Determinantal

3、 CalculationStudent: Lan Chenchen (Faculty Adviser: Ji Quanbao)(Department of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University)Abstract: The computing methods of determinant rely much on techniques. Theoretically, all the determinants can be computed by the definition of determinant

4、directly. However, it is sometimes impossible to indirectly compute by the definition, rather than by computer. In this paper, based on the computing methods of the conventional determinant, I further study and discuss some computing methods and skills of the determinant. Then I summarize four repre

5、sentative method stand skills as following: transforming triangular determinant, Extract the common factor of the determinant, use the method of the Vandermonde determinant, the method of recursive relational formula.Keywords: Determinant; calculation method; triangle determinant; recursive relation

6、al formula1 引言1.1 研究背景 行列式是高等数学中一个十分重要的课题，在数学理论的研究中起到了相当重要的作用。早在十七世纪末和十八世纪初，日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨在解线性方程组的过程中，就各自提出了行列式的概念；到了1772年的时候，法国数学家范德蒙(Vandermonde)最早把行列式独立于线性方程之外，将其作为专门的理论来进行研究；而十九世纪又是行列式理论的形成和发展的重要时期，尤其在十九世纪中叶出现了行列式的大量定理。因此，在十九世纪末的时候，数学家们已经清楚的描述出了行列式的基本形式。 行列式最早产生于解线性方程组的过程中，而其初步的应用也是服务于解

7、线性方程组，不过它现在的应用范围不仅仅局限于解线性方程组的过程中，而且已经成为许多学科十分重要的计算工具。所以，对于我们来说掌握行列式的计算方法是非常重要的。1.2 研究目的 行列式的计算是数学研究中的一个十分重要的问题，也是一个相当复杂的问题。当行列式的阶数相对较低（不超过3）时，通常可以按照行列式的定义和性质直接进行计算得出结果，而行列式出现很多的零元素时（如三角形行列式）也可以按行列式的定义直接进行求值。但是对于阶数比较大的n阶行列式，按照其定义和性质直接去计算行列式，这几乎是不可能的事，因此，对于研究一般的n阶行列式的计算方法，是十分必要的。2 行列式的定义及性质2.1 行列式的定义2

8、.1.1 二级行列式定义：由4个数组成的记号：, (1)我们称(1)为二级行列式,它的值等于, 即, 数我们称为行列式(1)的元素，元素的两个下标i和j, 我们称其为行标和列标，分别表示该元素处于行列式的第i行和第j列。对于二元线性方程组,当时，此方程组有唯一解，即：.我们就称为二级行列式，用符号表示为. 于是，上述解可以用二级行列式的形式叙述为：当二级行列式时，此方程组有唯一解，即：.若记：,则：.2.1.2 三级行列式 定义：假设由9个数组成的一个3行3列的数表：, (2)记：, (3)我们就可以称(3)式称为数表(2)所确定的三级行列式，所以，对于三元线性方程组,我们有：当三级行列式：时

9、，该方程组有唯一解，即：,其中：.2.1.3 n级行列式定义：设有个数，排列成一个n行n列的数表：, 记：, (4)它的值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 (5)的代数和，这里的是的一个排列，每一项(5)都按下面的规则带有符号：当为偶排列时，(5)式带有正号；当为奇排列时，(5)式带有负号，我们可以将这个定义写成：,这里表示对所有的n级排列求和。2.2 行列式的性质 性质1: 行列互换，行列式不变15，即：.注：行列式称为行列式的转置行列式。 性质2: ,这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式15。 性质3: ,这就是说，如果某一行是两组

10、数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样15。 性质4: 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零15。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。 性质5: 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零15。 性质6: 把一行的倍数加到另一行，行列式不变15。 性质7: 对换行列式中两行的位置，行列式反号15。3 行列式的计算方法3.1 化三角形法 化三角形法的原理是将普通形式的行列式转化为上(下)三角形形式的行列式或对角形形式的行列式，然后在进行计算，这是行列式的基本计算方法中重要的方法之一，对于上(下)三角形行列式或者对角形行列式的值，因为利

11、用行列式的定义求较为容易，所以原则上来说,每个行列式都可以利用其性质将行列式一般形式转化为三角形形式来进行计算。但是对于阶数较高的行列式,在通常情况下,计算往往比较繁琐。因此,在很多情况下,我们都是先利用行列式的基本性质，把一行（列）的适当倍数加到另一行（列），这样就可以把一个n级行列式转化为三角形行列式，然后再利用三角形行列式的性质来进行计算。 例1: 计算级行列式的值。解：=. 例2: 计算级行列式的值。解：=. 注意：可以采用化三角形法来进行计算的行列式，它们都有一个共同特征：行列式每行（列）的相同元素要尽可能多。利用行列式的性质，我们可以将某行（列）的适当倍数加到其它行（列），这样行列

12、式就会出现更多的零，可以进一步转化为三角形行列式。类似这样的行列式还有：等等。3.2 提取公因式法行列式如果满足下面几个条件之一，那么就可以用这种方法：(1) 有一行（列）的元素相同，我们称之为“”型；(2) 有两行（列）相对应元素之间的和或者差相等，我们称这种形式的行列式为“邻和型”；(3) 各行（列）元素之和都相等，我们称之为“全和型”。对于满足条件(1)的行列式，我们可以按照行列式的性质直接提取出公因式a化为型，然后按照行列式展开原理，使行列式降一级；而满足条件(2) (3)的行列式都可以依据行列式的基本性质转化为满足条件(1)的行列式，从而间接利用提取公因式法。 例3: 计算行列式的值

13、。 解：观察行列式的结构可知，此行列式的各行元素之和都等于, 属于“全和型”行列式，所以：. 例4: 计算行列式的值。 解：观察行列式可知，此行列式的各行元素之和都等于, 则：.3.3 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法范德蒙行列式的结构为：. 有些情况下的行列式构造结构与范德蒙行列式很相似,这种情况下，我们可以将行列式化为范德蒙行列式的形式并计算结果。 例5: 计算行列式的值。 解：从题中我们可以看出，行列式并不是范德蒙行列式,但与范德蒙行列式的结构很相似，所以我们可以考虑构造阶的范德蒙行列式来间接求出的值。将其构造为阶的范德蒙行列式形式,得：,将按第列展开得：,其中,的系数为：,

14、又根据范德蒙行列式的结果知：,由上式可求得的系数为：,所以有：. 例6: 计算级行列式的值。 解：加边构为造范德蒙行列式得：,将第一列的(-1)倍加到其他各列得：,将该行列式拆分为两项得：=. 例7: 计算级行列式的值。 解：可以将第一行视为, 再按照行列式的性质，按第一行将行列式拆分为两项得：把第一个行列式从第一行开始将第行依次加到第行；从第二个行列式的第列提取出项，得：=.3.4 利用递推关系法 对于有很多元素重复出现的行列式，我们可以利用其按行（列）展开的性质，能够得到原行列式和与其类型相同的低阶行列式它们之间的递推关系式。这种方法有的时候需用到, 有的时候要用到, 如果出现的是的关系，

15、那么可以直接来进行递推；如果出现的是的关系，那么通常就要写成的形式来进行递推，这里的和能够用待定系数法去求，也能够利用方程的根与系数的关系求出。(1) 利用进行递推 例8: 计算行列式的值。 解：=,而：,假设：, 代入到上面的递推关系式得到：+=. 例9: 计算行列式的值。 解：=,同理有：,若, 解得：,若, 解得：.(2) 利用,进行递推 例10: 计算行列式的值。 解：=,所以有：,从而：, 而：,所以：, (1)同理可得：. (2) 若, 又(1) (2)两式消去, 得：， 若, 得：. 注意：像这种类型的行列式，它们的特征是：行列式按其中某行（列）展开后可以得到与原行列式结构类型相

16、同的低阶行列式，由此我们可以得到类型相同的高阶行列式和低阶行列式它们之间的递推关系。 除此以外，对于各行（列）元素的和都相等的行列式，我们通常先将各列（行）进行相加，然后提取公因式，再按照行列式的性质来进行计算。除了上述几种方法之外，还有的行列式可利用行列式的基本性质来进行计算，这类题目的计算较为容易，在此不另再详细介绍。4 总结概述 对于行列式的计算，不同类型的行列式在计算过程中可能需要用到不同的计算方法，但是至于利用哪一种方法进行计算比较简单合适，要视其具体的结构形式而定。而且同样的题目有的时候也可以用不同的方法来计算，行列式的计算虽说并不是非常的简单，但是其计算方法和技巧却也不是想象中的

17、那么复杂，只要我们多多观察行列式的特点，就能够找到适合的计算方法。在计算行列式的过程中，需要特别注意的一点是，有些行列式的计算并不是仅仅靠一种方法就可以完成，更多的时候可能要用到两种或者两种以上的计算方法。参考文献：1 樊正华, 徐新萍. 浅谈行列式的计算方法J. 江苏教育学院学报(自然科学版), 2011, 27(1): 61-64.2 倪淑琪. 论行列式的计算方法J. 安庆师范学院学报(自然科学版), 2001, 7(4): 31-34.3 史昱. 关于行列式计算方法的探讨J. 山东电力高等专科学校学报, 2006, 9(2): 25-34.4 张新功. 行列式的计算方法探讨J. 重庆师范

18、大学学报(自然科学版), 2011, 28(4): 88-92.5 段向阳. 浅谈行列式的几种计算方法J. 湖南冶金职业技术学院学报, 2008, 8(4): 42-45.6 贾冠军. 行列式计算方法研究J. 菏泽师专学报, 1999, 21(2): 61-65.7 王娟. 行列式的计算方法J. 高等函授学报(自然科学版), 2002, 15(3): 11-14.8 古家虹. 关于行列式的计算方法J. 广西大学学报(自然学科版), 2005, 30: 174-176.9 李庆娟. 浅谈行列式的计算方法J. 科技信息, 2011, 33: 259-260.10 肖艾平. 行列式的计算方法J. 科

19、技信息(科学教研), 2007, 16: 422-423.11 刘家堡, 陈中华, 陆一南. 若干类型行列式计算方法J. 佛山科学技术学院学报(自然科学版), 2012, 30(2): 8-10.12 王丽霞. N阶行列式的几种常见的计算方法J. 山西大同大学学报(自然科学版), 2008, 24(2): 11-14.13 杨立英, 李成群. n阶行列式的计算方法与技巧J. 广西师范学院学报(自然科学版), 2006, 23(1): 98-105.14 同济大学数学系. 线性代数(第五版)M. 高等教育出版社, 2007, 5: 1-21.15 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等

20、代数(第三版)M. 高等教育出版社, 2003, 3: 50-89.16 吴中林, 吴常群. 行列式的几种计算方法J. 天中学刊, 2007, 22(5): 83-84.17 赵宝江, 许宏文. 高等数学(下)M. 清华大学出版社, 北京交通大学出版社, 2011, 2: 1-23.18 孙信秀. 一个n阶行列式的若干种计算方法J. 科技信息, 2009(3): 233-234.19 唐仙芝, 刘新春. n阶行列式计算方法探讨J. 天中学刊, 2010, 25(5): 4-6.20 金圣才. 线性代数(理工类)考研真题与典型题详解M. 中国石化出版社, 2005.15致谢在此论文完成之际，首先感谢我的导师季全宝老师对我的悉心指导，季老师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益匪浅！然后感谢09数学与计算科学系信息与计算科学(1)班班主任荣介伟老师以及所有同学在精神上对我的支持，在他们的监督与指导下，本论文才能顺利完成。最后，我还要感谢各位专家评委在百忙之中审阅此文，希望批评指正并期望得到更多的指导！