留数定理在计算积分中的应用.doc

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1、摘要 留数定理是柯西积分定理应用层次方面推广，是柯西积分公式的更一般的形式，柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的基本定理和公式，留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物.利用留数定理计算实变函数积分的方法与实函数积分方法的对照,具体地说就是把求实积分转化为复变函数沿围道的积分,再将积分计算转化为留数计算.关键词留数定理、积分、柯西积分Residue theorem in calculated integral applicationShikai-renTongren University and Mathematics and computer science Tongren,554300

2、AbstractResidue theorem and Cauchy integral theorem is extension application levels, is the more general integral formulas of Cauchy form of Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula is complex-variable function theory, the basic theorem and formula, residue theorem is complex integral and

3、 complex combination of progression theory. Use the residue theorem calculation realvariable funktion integral method and the real function integration method of control, specifically is realistic and integral into complex-variable function and integral along the circumference way and integral calcu

4、lation converted to keep count. Key wordsResidue theorem, integral, Cauchy points 引言在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。留数在复变函数论本身实际应用中都是很重要的，它和计算周线（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此外应用留数理论，我们有条件去解决“大范围”的积分计算问题，就是用微圆法求积分那样，还可以考察区域函数的零点分布的情况，将留数定理应用在计算积分中，将会使计算更加简便，尤其是对原函数不易直接求

5、得的定积分和反常积分，更是一个有效的方法，而其最关键的将它化归为复变函数的周线积分。应用留数计算定积分,在于选择一个适宜的辅佐函数和一条相应的积分途径(周线),从而把定积分的计算化成沿闭路的复积分的计算.但当被积函数或辅佐函数是多值解析的,则要适当割开平面,使其能分出单值解析分支,才干运用柯西积分定理或柯西留数定理来求出给定的积分的值. 一、留数的定义及留数定理柯西积分定理：设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则 柯西积分公式：若函数在闭围道的内部及其上是解析的，又若是内部的点，则：如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a，则根据柯西积分定理但是，如果

6、a是f(z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并且包围点a，则积分的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。定义1.1 设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域内解析，则积分为f(z)在点a的留数（residue）,记为Resf(z).定理1.1f(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分）证明：以为心，充分小的正数为半径画圆周线，使这些圆周及其内部均含于D，并且彼此互相隔离（如图1.1）。应用复周线的柯西积分定理得： 图1.1二、留数的求法定理2.设a为的n阶极点，其中在点a解析，则R

7、es这里符号代表，且有证明:推论2.设a为的一阶极点，则推论2.3设a为的二阶极点，定理2.4设a为的一阶极点（只要及在点a解析，且）则证明：因为a为的一阶极点，故三、函数在无穷远点的留数无穷远点是解析函数孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数”大范围”的积分计算的有力工具.定义3.1设为函数的一个孤立奇点，即在去心邻域N：内解析，则称为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是r绕无穷远点的正向）。设在内的洛朗展式为由逐项积分定理知也就是说，等于在点的洛朗展式中这一项的系数的反号。定理

8、3.1如果在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则在各点的留数总和为零。证明以原点为心作圆周的内部，则由留数定理得两边除以，并移项得亦即但是要注意：虽然的有限可去奇点a处，必有，但是，如果点的可去奇点（或解析点），则可以不是零。例如以为可去奇点，但我们引入计算留数的另一公式令于是且z平面上无穷远点的去心邻域被变成t平面上原点的心邻域（如r0,规定）;圆周被变成圆周：。从而易证所以四、用留数定理计算实积分利用留定理计算复变函数积分的方法称为围道积分法,具体的说就是把求实积分转化为复这函数沿围线的积分,再将积分计算转化为留数计算,但这类积分的计算需要满足两个条件(1)被积函数与

9、解析函数有关,(2)定积分可以转化为某个沿闭路的积分.作为留数理论的一种直接应用,我们可以利用留数来计算数学分析中的某些黎曼积分,尤其原函数不易直接求得的黎曼积分,这计算方法的基本思想是:通过适当的变量替换或者补充适当的积分路线,把实积分的计算转化为恰当的复变函数沿简单闭曲线的复积分计算,然后再利用留数定理来解决.4.1.计算型积分其中，是关于，的有理数，计算形如的积分，首先，将被积函数转化为复数形式，再将积分区间化为沿闭曲线上的积分，为此，我们令,则，即于是，当由0变到，z恰好沿圆周的正方向绕行一周，于是即转化为有理函数在上的积分.若在上无奇点，而在内有等中个孤立奇点，则由留数定理，有例题1

10、：求解：当时，;当时，令当时，在内，仅以为一级极点，在上无奇点，故由留数定理当时，在内仅以为一级极点，在上无奇点4.2计算型积分为了计算这种反常积分，首先得引入一个引理引引理4.21设沿圆弧（充公大）上连续，如图4.21,且于一致成立（即与），则证明因为图4.21于是有（1）对于任给，则已知条件，存在，使当时，有不等式于是（1）式不超过（其中）为的长度，即 定理4.22设为有理公式，其中与为互质多项式，且符合：（1）;(2)在实轴上于是有证明：由条件（1），（2及数学分析的结论，知存在，且等于它的值记为图4.22取上半圆周作为辅助曲线（图4.22）.于是.由线段及合成一周线，先取R充分大，使内

11、部包含在上半平面内的一切孤立奇点（实际上只有有限个极点）.而由条件（2）, 在上没有奇点.按留数定理或写成 因为 由假设条件（1）知，故沿上就有在等式中命名，并且根据前面学的定理，知中第二项的积分之极限为零，这就证明了定理例题2：计算解 满足有理函数积分条件在实数轴是有单极点,在上平面上无奇点,因此4.3计算型积分引理4.22（若尔当引理）设函数沿半圆周（充公大）上连续，且 在上一致成立.则证对于任给的，存在，使当时，有于是，就有而这里利用了以及于是由则上式可化为定理4.23 设,其中及是互质多项式,且符合条件:(1) 的次数比的数高,(2)在实轴上(3)则有特别的,上式分开实虚部,就可以得到

12、形如及的积分例题3:求积分解 如图作辅加曲线,辅助函数 ， 由引理知: 在实轴上无奇点,为在上半平面的单极点比较其实,虚部,有: (奇函数在对称区间积分必为零)4.4 计算积分路径上有奇点的积分在数学分析中,对于瑕积分,也可以类似定义它的柯西主值.又在定理4.23中假定无零点,现在我们可以把条件放宽一点,容许有有限多个一阶零点,即允许在实轴上有有限个一阶极点.为了估计挖去这种极点后沿辅助路径和积分,除了上面两个引理外,再引入一个引理引理 4.23 设沿圆(r充分小)上连续,且 于上一致成立,则有 证明 因为,于是例4: 计算积分 解辅助函数: 在上平面上无奇点,在实轴上有单极点,故作绕过点;且

13、 因此,令,根据引理: ，把在的领域内展成罗朗级数:其中为领域内的泰勒级数,故在在解析,则:对积分对积分的值进行估计: 由于在解析,则在连续, 在上必在界,因此，复变函数是一门工程数学，在工程技术上有许多应用, 复变函数在稳定平面流场和静电场以及在工程技术上都有许多用, 由于涉及到许多专业知识, 因此我们在此只简述一点留数在定积分计算上的应用。在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分的值, 而这些定积分中, 被积函数的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来; 有时即便可求出原函数, 计算也往往比较复杂。利用留数定理来计算这些类型的定积分, 只需计算这些解析函数在孤立奇点处的留数，这样一来就把问题大大简化了。参考文献1 钟玉泉复。变函数论M，高等教育出版社（第三版）2 马立新。复变函数学习指导M，山东大学出版社3 任福尧。应用复分析M，高等教育出版社4 E.B.Saff(范德比尔特大学) ，A.D.Snider(南佛罗里达大学)等著。复分析基础及工程应用M高宗升等译机械工业出版社5 赵建丛，黄文亮。复变函数与积分变换M，华东理工大学出版社6 张毅。应用留数定理计算一类实积分J，河池学院学报 2009（10）7 林金火。留数定理在广义积分中的应用J，九江职业技术学院学报2007（13）8 张昆实。留数定理与复这函数的积分J，高等函授学报（自然科学版）2003-0225