极限理论和极限计算方法初探.doc

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1、贵阳学院毕业论文 本科毕业论文 题 目: 极限理论和极限计算方法初探 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 严 青 海 学 号： 090501401023 指导教师： 王 琪 教师职称： 副 教 授 填写日期： 2013年5月2日 摘 要极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础,极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.所谓极限的思想,是指极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.本文归纳、总结了利用函数极限的四则运算法则、两个重要极限、无穷小量代换、迫敛性来求极限、同时讨论用洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法,并结合具体的例子,讨论了

2、在解题过程中常遇见的一些计算极限的问题.关键词：极限；计算方法；类型；洛比达法则；定积分 IAbstractThe limit is an important ideology of modern, mathematical analysis is based on the concept of limit as the basis, subject to the limit theory as the main tool to study the function. The so-called limit thought, refers to the concept of limit ana

3、lysis of a mathematical thinking and problem solving.This paper systematically conclude, summarize the use of function limit of four algorithms, two important limit, dimensionless substitution, the forced gathered sex to me to limit, and use first exploration los than to rule, Taylor formula, the in

4、tegral and the limit for method, and combining with specific examples, it was pointed out that in the process of solving some problems often met. Keyword: Limit；Calculate Methods；Types；Los Than To Rule；The Definite Integral II贵阳学院毕业论文目 录 摘 要IAbstractII第一章 前言1第二章 极限的概念及定义2第一节 极限思想2第二节 极限的定义2第三章 极限的计算

5、方法4第一节 利用函数极限的四则运算法则求函数的极限4第二节 用两个重要的已知极限求函数的极限5第三节 利用等价无穷小量代换求函数的极限6第四节 利用迫敛性求函数的极限7第五节 利用洛比达法则求函数的极限7第六节 利用泰勒公式求函数的极限11第七节 利用定积分求函数的极限11第四章 极限理论在数学分析中的地位和作用13第一节 极限理论在数学分析中的地位13第二节 极限理论在数学分析中的作用13第五章 小结15致 谢16参考文献17 III第一章 前言经典数学分析是以函数为研究对象,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.数学分析许多深层次的理论及其应用

6、都是极限的延拓和深化,如函数的连续性、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想数学分析就失去了基础,因此极限运算是数学分析的基本运算.极限是数学分析中的一个非常重要的概念,是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在一起,所以,求极限的方法尤为重要.我们知道,函数是数学分析研究的对象,而极限方法则是在数学分析中研究函数的重要方法,因此,怎样求极限就非常重要. 本文主要论述了极限理论以及极限的定义 ,讨论了求函数极限的几种不同的方法,求函数极限的方法有很多种:其中有利用定义、函数极限的四则运算法则、迫敛性、等价无穷小量代换求函数的极限、利用洛必达法则、利用泰勒公式求函数的极限

7、、利用定积分、两个重要的已知极限方法求函数的极限.在此基础上探究了极限理论在数学分析中的地位和作用.第二章 极限的概念及定义第一节 极限思想极限思想起源类似于圆周长的计算一些古老的问题.我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年创立的“割圆术”,就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长.刘徽说：“割之弥细，所失弥少.割之又割,以至于不能割,则与圆合体而无所失矣”.具体的作法是：先作圆的内接正六边形,然后平分每组对边所对的弧,作出圆的内接正十二边形,再用同样的方法作圆的内接正二十四边形、四十八边形、九十六边形,等等.不论正多边形的边数怎样多,每个圆的内接正多边形的周长都是

8、可直接度量的,算是已知的.于是,得到一串圆的内接正多边形的周长数列： 这个数列的通项是，是正边形的周长.当边数不断增大,使之趋于无穷大时,无限地趋于一个常数,这个常数就是圆周数列的极限,也是该圆的周长.圆是曲线型,它的内接正多边形是直线型,二者有着本质的区别,但这个区别又不是绝对的,在一定的条件下正多边形可以转变为圆.这个条件就是,在正多边形的边数不断的增多时，每条边长却在不断的缩短,当边数无限的增大,乃至趋于无穷大时,每条边长趋近于零，这时的正边形就变成了圆.因此，极限方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学方法,极限方法是极限思想的体现,也是辨证思想的体现.

9、第二节 极限的定义在数学分析中极限有两个定义,一个是数列极限的定义,另一个是函数极限的定义.(1)数列极限的定义：设有数列,是常数.若对任意,总存在正数,对任意正整数，有，则称数列的极限是.用逻辑符号可表示如下： 有.函数极限的定义（1）当自变量时,函数极限的定义为：设函数在区间有定义，是常数.若，有，则称函数（当时）的极限为.（2）当自变量时,函数极限的定义为：设函数在邻域有定义,是常数,若： ,，则称函数当时的极限是.第三章 极限的计算方法第一节 利用函数极限的四则运算法则求函数的极限定理1：若极限和都存在,则函数, 当时极限也存在且 又若，则有例1. 求分析：，常称分子极限与分母极限都为

10、零的极限为型.将所给变量进行恒等变形，即故 原式.第二节 用两个重要的已知极限求函数的极限1利用来求极限的扩展形为：令,当或时,则有或2 利用来求极限例2求 ()解：极限过程为，式中为参数，的值不仅与有关，且与有关，因此应该对加以讨论.当时，有，由于为有界变量，利用有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量可知 当时， 原式当时， ，利用重要极限公式可知原式 注：求极限的函数中如果含有参变量，应该对其加以分析.例3求解：=由于 =所以,原式 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式,只有形式符合或经过变化后符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配

11、指数法.第三节 利用等价无穷小量代换求函数的极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理2：设函数在内有定义,且有1. 若则2. 若则证明：1. 2可类似证明.由该定理,就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限.例4求解：由 而；，（）.故有= .注：由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,如：由于,故有又由故有，.注：在利用等价无穷小量代换求函数的极限时,应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换.如上式中，若因有，而推出 = 则得到的结果是错误的.第四节 利用迫敛性求函数的

12、极限定理3：,且有,则例5:求极限解：由放缩法得化简得 因为 由迫敛性定理得在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等，本题就是用放缩法使得 且满足函数极限的迫敛性，由此可求出函数极限.做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限.第五节 利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中,我们已经提到了利用等价无穷小量代换来求函数的极限,在此再叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求函数的极限的方法.我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限,分别记作型或型的不定式极限.现在我们将以

13、导数为工具研究不定式极限,这个方法通常称为洛比达法则.下面就给出不定式极限的求法.一、对于型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限定理4：若函数f(x)和函数g(x)满足：1.2.在点的某空心邻域内两者都可导,且3.（可为实数，也可为或）则 例6确定常数,c的值，使 解：通过讨论用洛比达法则,不论常数是什么值，由于当时，如果，则，原题左边极限应为0，与矛盾.所以，且.对原式左边用罗比达法则： 分母极限为0，分子极限为，若，则该分式趋于，原式也应趋于，与为常数矛盾，所以.于是 所以 .在此类题目中,如果仍是型的不定式极限,只要有可能,我们可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在.当然,这是和

14、在的某邻域内必须满足上述定理的条件.例7求解：利用（），则得原式=在利用洛比达法则求极限时,为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便,可用适当的代换.例8求解：这是型不定式极限,可直接运用洛比达法则求解,但是比较麻烦.如作适当的变换,计算上就会更方便些,故令当时有,于是有二、型不定式极限若满足如下定理的条件,即可由如下定理计算出其极限.定理5：若函数和函数满足：1.2.在点的某空心邻域内两者都可导,且3. （可为实数,也可为或）则.例9求解：由定理4得注1：若不存在,并不能说明不存在.注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解.首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它

15、条件.下面这个简单的极限 虽然是型的,但若不顾条件随便使用洛比达法则：就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论.三、其它类型不定式极限不定式极限还有，等类型.这些类型经过简单的变换,都可以化为型和型的不定式极限.例10已知曲线在处的切线方程为，求分析：由已知，有.当时，.令，有 ，式中含有变限积分，应考虑用洛必达法则.解： （提出） .0评注：，型未定式是利用洛必达法则求极限的基本题型，但在求此类极限时，应注意下面几点：1、含有典型极限不存在因子的一般不先用洛必达法则.2、每用一次洛必达法则，应整理极限不为零的因子，将其值先求出.3、优先考虑等价无穷小代换，以简化运算.4、含

16、有变限积分的求极值问题，一般利用洛必达法则和积分中值定理，去掉积分号.第六节 利用泰勒公式求函数的极限由于泰勒公式的特殊形式,对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用. 例11求解：本题可用洛比达法则来求解,但是运算过程比较繁琐,在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为,我们用麦克劳林公式表示极限的分子取4因而求得 .第七节 利用定积分求函数的极限例12求解：把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算计算定积分,为此作如下变形：不难看出,其中的和式是函数在区间上的一个积分和.（这里所取的是等分分割, （），所以当然,也可把J看作 在上的定积分,同样有.第四章 极限理论在数学分析中的地

17、位和作用极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终.可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限.在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算,主要内容是微积分.在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的.可以说,没有极限理论就没有微积分.第一节 极限理论在数学分析中的地位 极限理论是数学分析中最为基

18、础，但却最重要的内容，它以各种各样的形式出现，并贯穿于数学分析的全部内容.在整个现代数学中，极限是最重要的概念之一，其是解决与处理数学问题的一种重要的数学方法.因为极限理论在一般的拓扑空间内建立也可以建立，而且是将有限过度到无限的一种数学分析工具，因此其在数学分析占着非常重要的地位，并有着极其重要的作用.而极限理论在数学分析中的应用主要是利用极限的思想进行极限求解.利用极限思想处理问题的一般步骤为：想办法构思一个和被考察的未知量相关的变量，并确认所构思的变量在经过无限过程的结果就是我们所求的未知量，再利用极限计算的方法得到要求的结果.本文主要探讨的求解极限的方法包括：利用四则运算法求极限、利用

19、两个重要极限求极限、采用等价代换求极限以及利用洛必达法则求极限.一、极限理论在数学分析中的地位和作用极限思想贯穿于数学分析课程的始末，在数学分析中很多的概念都离不开极限.在大部分的数学分析著作中，首先介绍的都是函数理论u极限思想，然后利用极限思想给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、重积分、曲线积分、曲面积分等概念.极限理论是数学分析以及高等数学中必不可少的一种数学分析方法，也是区分初等数学与数学分析的一个重要概念.数学分析之所以能够解决初等数学不能解决的很多问题，例如瞬时速度、曲边形面积、曲面体体积等问题，最主要的原因就是利用了极限理论进行数学分析.由此可见，极限理论在数学分析中所占有的

20、重要地位，而且发挥着重要的作用.极限理论将变量与常量、无限与有限之间的统一关系表现了出来，是唯物辩证法的对立统一规律在数学分析中的应用.由于极限法拥有从有限认识无限、从“不变”认识“变”、从量变认识质变、从近似认识准确等特性，因此，其在数学分析甚至是物理领域都得到了广泛的应用.第二节 极限理论在数学分析中的作用极限方法是用来研究变量问题的基本方法,是人们从有限认识无限的一种数学思想.极限概念体现了变量和常量的对立统一,本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映.极限是高等数学的理论基础,用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的组成部分进行统一处理.本文以正项级数与积分关系来论

21、证这一问题.对于正项级数,由于部分和序列单增,根据单调有界数列必有极限,因而通过正项级数部分和有界与否易于讨论级数收敛性.因此,在讨论任意项级数时,利用取绝对值,都可转化为正项级数(或非负项级数),再根据正项级数的收敛性,将收敛级数分为绝对收敛与条件收敛.对于绝对收敛级数,根据定义,在任意更换其顺序后,其绝对值不变.因此级数不改变收敛性,而且值相同.而对于条件收敛级数,由于添加绝对值后可能发散,故在更换顺序后,级数可以收敛于不同的值.例如,级数满足莱布尼兹收敛条件,因此该级数收敛,但该级数取绝对值后变为调和级数,却是发散的,故是条件收敛级数.若更换S的顺序变为即是一个新的级数,易证，其收敛于一

22、个新的值.事实上,若适当更换S的顺序,可以让它收敛于事先给定的任一个值.因此,对任一个级数都可通过与正项级数比较来判定收敛与否.同理,我们也可以得到出其它数理分析组成部分在极限上的相关性和统一性.可见,这数量分析各部分都是在极限的定义、性质基础上得到的新的一种概念和数学方法,都是在极限的本质/其差值为无穷小量0基础上,通过某种转换而定义的.因此在一定条件下,它们之间可以相互转换.它们的性质与运算在很大程度上取决于极限的性质和运算,而极限最终归结为无穷小量上.在数学分析中很多概念都是利用极限来定义的，如导数就是利用极限来定义的. 定义:设函数在有定义,在自变数的改变量是,相应函数的改变量是.若极

23、限存在，称函数在处可导,此极限称为函数在的导数,若此极限不存在则称函数在不可导.从定义看出,有了极限才有导数,没有极限就没有导数. 第五章 小结本文主要讨论了极限理论和极限计算方法初探,通过对实践教学效果的分析和反思,总结出极限理论及其求解的几种方法,这都对以后作进一步的研究指明了方向,给出了指导意义，数学分析里计算极限的一些重要方法.在做计算极限的题目时,仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各种方法所需的条件也是不够的,必须要细心分析、仔细甄选,选择出适当的方法.这样不仅准确率更高,而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求学习者要吃透其精髓,明了其道理,体会出做题的窍门

24、.达到这样的境界非一日之功,必须要多做题,善于总结,日积月累,定会熟能生巧,在做题时得心应手.致 谢光阴似箭，岁月如梭，大学四年学习生活一晃而过，回望这大学四年的岁月思绪万千.我将踏入社会的大门，在如此漫长的求学过程中，大学阶段我对数学有了更高、更深和更广的认识，进一步扎实了我的数学理论基础知识，能够取得这些成绩并坚持着一路走来是因为有许多的人帮助我、鼓励我和支持我，任何语言都无法表达我对他们的感 激之情. 在论文设计过程中,我遇到了许多困难,最深的感触是时间紧张,专业知识的欠缺,在此感谢帮助过我的人.如果没有你们的帮助我是不可能顺利完成论文的.特别是感谢我的指导老师王琪老师,在完成整个毕业论

25、文的过程中王老师给予我悉心的指导和帮助.王老师多次询问我论文进程,并为我指点迷津,帮助我开拓研究思路,给我精心点拔,热忱鼓励.王老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度,踏踏实实的的精神,不仅授我以文,而且教会我做人的道理.论文完成之际,特向王老师致以衷心的感谢！最后，感谢四年中陪伴在我身边的良师益友，感谢他们给我提出的意见和建议；同时还要深深的感谢我的家人，是他们的爱使我顺利的完成了我的学业.但我在教育上的感悟才刚刚起步，还希望各位恩师继续指引我前进，有了你们的支持，鼓励，帮助我才能够继续前进，谢谢你们！ 参考文献1刘玉琏.数学分析(第四版)M.高等教育出版社,20022郭豫敏.高等数学复习指导(第一版)M.河北教育出版社,19853宋国柱.分析中的基本定理和典型方法M.北京：科学出版社出版,20044数学分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001 5杨丽星.试论数学分析中极限的划归转化思想方法J.科技信息，2010.12 16