蒙特卡罗方法在概率统计中的应用.doc

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1、摘 要摘要概率分布描述了随机变量的统计规律性,许多常见的概率分布在不同的理论和实际问题中扮演着极其重要的角色。然而这些概率分布彼此不是相互孤立的,他们之间都具有一定的联系。本文首先介绍统计学发展概况，然后给出几种常见统计分布的定义和性质，并详细阐述二项分布与泊松分布的关系，二项分布、泊松分布、分布、分布和分布与正态分布的关系，分布与分布的关系，分布与分布的关系,最后详细介绍蒙特卡罗方法在概率统计中的应用。 关键词：随机变量，统计分布，概率密度函数，蒙特卡罗方法ABSTRACTAbstract Probability distribution describes the statistical

2、regularity of random variable, and many common probability distribution play an extremely important role in different theoretical and practical issues. However, these probability distributions have a certain degree of contact rather than mutual isolation of each other. This paper first introduces th

3、e development of statistics, and then provides the definitions and properties of several kinds of common statistical distribution, and explains the relationship between the binomial distribution and the Poisson distribution, the relationship among binomial distribution, Poisson distribution, distrib

4、ution, distribution and distribution, the relationship between the distribution and distribution, the relationship between distribution and distribution, finally explains the application which the Monte Carlo method play in probability statistics. Key words: random variables, statistical distributio

5、n, density function of probability, the Monte Carlo method目录第一章 引言11.1 研究背景11.2 统计学的研究现状及发展11.3 本文研究的内容21.4 本文的结构2第二章 一些常见统计分布32.1 二项分布32.2 泊松分布42.3 正态分布52.4 分布82.5 分布102.6 分布10第三章 常见统计分布间的关系133.1 二项分布与泊松分布的关系133.2 二项分布与正态分布的关系133.3 泊松分布与正态分布之间的关系143.4 分布与正态分布的关系163.5 分布与正态分布的关系193.6 分布与正态分布的关系203.7

6、 分布与分布的关系213.8 分布与分布的关系26第四章 蒙特卡罗方法在概率统计中的应用284.1 蒙特卡罗方法概述284.2 蒙特卡罗模拟在概率统计中的应用294.3 用蒙特卡罗方法展示几种统计分布间的关系36第五章 结束语40参考文献41致谢42外文资料原文43外文资料译文47第一章 引言第一章 引言1.1 研究背景统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。统计学主要又分为描述统计学和推

7、断统计学。给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据，这个用法称作为描述统计学。另外，观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以被称作为应用统计学。另外也有一个叫做数理统计学的学科专门用来讨论这门科目背后的理论基础。要了解随机性或是机率必须具备基本的数学观念。数理统计是应用数学的分支，它使用机率论来分析并且验证统计的理论基础。概率分布描述了随机变量的统计规律性,许多常见的概率分布在不同的理论和实际问题中扮演着极其重要的角色。然而这些概率分布彼此不是相互孤立的,他们之间都具有一定的联系。探讨各个概率

8、分布间的逻辑关系,不仅在计算应用中非常重要,而且在理论研究上也很重要。1.2 统计学的研究现状及发展 在科学技术飞速发展的今天，统计学广泛吸收和融合相关学科的新理论，不断开发应用新技术和新方法，深化和丰富了统计学传统领域的理论与方法，并拓展了新的领域。今天的统计学已展现出强有力的生命力。在我国，社会主义市场经济体制的逐步建立，实践发展的需要对统计学提出了新的更多、更高的要求。随着我国社会主义市场经济的成长和不断完善，统计学的潜在功能将得到更充分更完满的开掘。第一，对系统性及系统复杂性的认识为统计学的未来发展增加了新的思路。由于社会实践广度和深度迅速发展，以及科学技术的高度发展，人们对客观世界的

9、系统性及系统的复杂性认识也更加全面和深入。随着科学融合趋势的兴起，统计学的研究触角已经向新的领域延伸，新兴起了探索性数据的1电子科技大学学士学位论文统计方法的研究。研究的领域向复杂客观现象扩展。21世纪统计学研究的重点将由确定性现象和随机现象转移到对复杂现象的研究。如模糊现象、突变现象及混沌现象等新的领域。可以这样说，复杂现象的研究给统计开辟了新的研究领域。2第二章 一些常见统计分布第二，统计科学与其他科学渗透将为统计学的应用开辟新的领域。现代科学发展已经出现了整体化趋势，各门学科不断融合，已经形成一个相互联系的统一整体。由于事物之间具有的相互联系性，各学科之间研究方法的渗透和转移已成为现代科

10、学发展的一大趋势。许多学科取得的新的进展为其他学科发展提供了全新的发展机遇。模糊论、突变论及其他新的边缘学科的出现为统计学的进一步发展提供了新的科学方法和思想。将一些尖端科学成果引入统计学，使统计学与其交互发展将成为未来统计学发展的趋势。统计学也将会有一个令人振奋的前景。今天已经有一些先驱者开始将控制论、信息论、系统论以及图论、混沌理论、模糊理论等方法和理论引入统计学，这些新的理论和方法的渗透必将会给统计学的发展产生深远的影响。统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域、统计理论与分析方法也将不断发展，在所有领域

11、展现它的生命力和重要作用。1.3 本文研究的内容主要研究方向为一些常见统计分布。给出这几种统计分布的定义和性质。详细探究这几种常见统计分布间的内在联系简述MonteCarlo方法在概率统计中的应用。用蒙特卡罗方法展示几种统计分布间的关系。1.4 本文的结构第一章主要介绍本文的研究背景以及本文研究内容和结构。第二章分类介绍一些常见统计分布，给出它们的定义和性质。第三章探究这几种常见统计分布间的内在联系。第四章介绍MonteCarlo方法及其在概率统计中的应用，并用蒙特卡罗方法展示几种统计分布间的关系。第五章为结束语，主要是对本文的研究工作和成果进行总结，并探讨将来的研究内容和方向。第二章 一些常

12、见统计分布122.1 二项分布2.1.1 定义 一般地，若我们进行次独立试验，每次试验只有两个可能的结果，要么事件发生，要么不发生，且,，用表示这次事件中发生的次数，则 （2.1）这个分布叫做二项分布，这种类型的试验叫做重贝努利试验，并记作。2.1.2 性质 性质1： 。 性质2：若，则称二项分布是对称的；若，则分布是非对称的。但当越大时非对称性越不明显。性质3：如独立同分布，且分布为两点分布，参数为，则 服从二项分布。 性质5：二项分布的期望和方差分别为。性质6：二项分布的矩母函数和概率母函数分别为： 。性质7：二项分布的分布函数为：性质8：当和给定时，二项分布的分布函数是的单调下降函数。4

13、电子科技大学学士学位论文性质9：若独立，且，则，其中。2.2 泊松分布2.2.1 定义设随机变量的分布律为， （2.2）则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作.2.2.2 性质性质1：泊松分布的分布律； 性质2：当时，；当时，。如不是整数，则在处达到极大值；如是整数，则在和处同时达到极大值。 性质3：泊松分布的分布函数。当固定时，是的非增函数。性质4：泊松分布是非对称的，但当越大是非对称性越不明显。 性质5：泊松分布的期望和方差分别为。 性质6：泊松分布的矩母函数和概率母函数分别为 。性质7：若是独立同分布的随机变量，则 等价于。性质8：设随机变量相互独立，且，则4第二章 一些常见统计分布，其

14、中。性质9：设随机变量和设随机变量独立，则给定的值时，的条件分布为二项分布，即，其中。2.3 正态分布2.3.1 定义在实际生活中，许多随机变量如成年男(女)子的高度、重量；加工零件的尺寸，每包大米(同一规格)的重量；钢的含碳量；胶片的粒数；测量的误差，射击目标的水平或垂直偏差等都服从同一类分布，叫正态分布。在连续型随机变量的分布中，正态分布占有特殊的地位，因为正态分布为总体分布的统计理论内容已十分丰富，应用极为广泛，并派生出许多重要的分布，如t分布、分布、F分布等，讨论这些分布的性质构成了本章的内容。连续型随机变量的性质可通过分布密度来描述，所以在介绍每一个具体分布时，我们首先用分布密度来定

15、义它们，然后讨论它们的性质。定义：若随机变量X的概率密度函数是 （2.3）则称X服从正态分布，并记作N(,)。当=0，=1时，相应的分布N(0,1)叫做标准正态分布。首先我们需要验证的确是一个分布密度。（1）0对一切成立。（2） 5电子科技大学学士学位论文2.3.2 性质正态分布的性质是相当丰富的，这里仅仅列出一些最基本的。性质1：的图形如图2.1所示，这个图形有如下性质：a. 只有一个蜂，峰值在处，且图形关于直线对称。b. 图形无论向左或向右延伸，都愈来愈接近横轴，但不会与横轴相交，即以横轴为浙近线。c.参数决定了图形的形状，越大，图形越胖；越小，图形越廋。图2.1 正态分布性质2：若，则;

16、反之，若，则。这个性质在应用中非常重要，它告诉我们总可以把一般的正态分布通过线性变换化成标淮正态分布。在实用中经常需要正态分布的分布函数表，如果对不同的，都列表的话，这个表将是厚厚的一本书，使用也不方便，有了这个性质，我们只要将标准正态分布的分布函数列表就够了。性质3：正态分布N(,)的分布函数是 （令）6第二章 一些常见统计分布 （2.4）用记，（2.2）式告诉我们只要研究就够了。有如下性质：a. =，有两条渐近线和，从而的中位数是。b. c. ，。故的解是，即是的拐点。性质4：若，则。性质5：正态分布N(,)的矩母函数和特征函数为 , 性质6： 若,则的中心矩就是它的原点矩，且有 =0，

17、=0，1，2，. =， =1，2，.性质7：若，则 =68.3% =95.4% =99.7%这个性质在标准制定、质量管理等许多方面有广泛的应用。性质8：若，a，b为任意实数，则 证明： 因为的矩母函数是，从而7电子科技大学学士学位论文的矩母函数是=即。性质9：若与独立，则 证明：和的矩母函数分别为和。由和独立知的矩母函数为=即。这个性质可以推广至多个随机变量的情形。性质10：若随机变量，.，独立同分布，且，则性质11：若，.，是从总体中抽出来的随机样本，欲通过样本来估计和，则估计公式是 。2.4 分布2.4.1 定义分布是从正态分布派生出来的一个分布。尽管它是由正态分布产生，仍它在数理统计中却

18、一直占有重要的地位。此外，许多分布可以用分布来近似，甚至在多元统计中也常需要用到分布。8第二章 一些常见统计分布定义1：设随机变量的概率密度函数为 （2.5）则称随机变量服从自由度为n的分布，记为。其中为函数，定义为 （s0） 。定义2：设n个相互独立并且都服从标准正态分布（0，1）的随机变量，记 ，则称随机变量服从自由度为n的分布。2.4.2 性质性质1：若与独立，则。这个性质称为开方分布的可加性。这个性质可以推广至多个随机变量的情形，若，.，相互独立，=1，.，则，其中 。利用这个性质我们可知，若，则，其中独立同分布于。性质2：若，则，。性质3：分布的矩母函数和特征函数分别为, ; 。性质

19、4：当足够大时，有。式中为分布的上侧临界值或上侧分位数，即满足9电子科技大学学士学位论文 的数。是标准正态分布的上侧分位数，即是满足等式的数。2.5 分布2.5.1 定义定义1：若随机变量的概率密度函数为 （2.6）则称服从自由度为的分布，记为。定义2：设随机变量，相互独立，,，记 ，则随机变量服从自由度为的分布，记为。2.5.2 性质性质1： 。性质2：设，若，则存在；若，则不存在。此点由微积分中判别积分收敛的法则很容易看出。性质3：分布由于只有阶矩存在，故没有矩母函数存在。的特征函数可以求出，但表达式不是很简洁，也没有太大的实用价值，这里就不列出了性质4：和独立同分布于，则随机变量 。2.

20、6 分布2.6.1 定义若有两个正态分布的总体和,我们欲检验和是否11第二章 一些常见统计分布有显著性差异，解决这个问题所用统计量的分布就是本节欲介绍的分布。在方差分析中，经常需要检验某个因素是否对指标有显著地作用，这个问题也导致分布。在多元统计中有许多复杂的分布，它们可以用分布来近似不难看出，分布在统计中的地位是相当重要的。定义1：若随机变量的概率密度函数为 （2.7）则称服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记为。定义2：若随机变量和独立，且，则 服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记为。2.6.2 性质 性质1：当，的众数为；当或2时，始终单调下降。当时，曲线从单调下降趋于0；当时，曲

21、线从1单调下降趋于0。性质2：若，,则。证明：由假设，存在,且与独立，使得 ,从而这个性质在实际中非常有用，因为通常在教科书中列出的是分布的右分位点，如用表示，即。但有时需要用到左分位点，即找使得。这个值在通常的表上查不到，利用性质2可知=，利用这个关系就可获得 。11电子科技大学学士学位论文性质3：若，则.在应用中，利用这一关系有时将检验化成检验。性质4：若，则 ，； ， 。性质5：分布的矩母函数并不存在。 性质6：可用正态分布来近似，其关系是其中，当充分大，时。 性质7：,若令，则当和都较大时，的分布近似于。12第三章 常见统计分布间的关系第三章 常见统计分布间的关系3.1 二项分布与泊松

22、分布的关系 定理一：在重伯努利试验中，事件在每次试验中发生的概率为，它与试验次数有关，如果，则对任意给定的，有 由该定理可知，当二项分布的参数很大，很小，而大小适中时，二项分布可用参数为的泊松分布来近似，即 这就是二项分布的泊松逼近。当然应尽可能的大，否则近似效果往往不佳。二项分布的泊松逼近常常被应用于研究稀有事件（即每次试验中事件出现的概率很小），当伯努利试验次数很大时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当时，这种近似是很好的，甚至不必很大都可以，这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，当时，甚至时，这种近似程度已经很好了。表3-1说明了这一情况，其中。表3-1

23、 二项分布与泊松分布的比较K 0120.98010.01980.00010.98020.01960.00023.2 二项分布与正态分布的关系 定理二：设随机变量，则对于任意，有13电子科技大学学士学位论文 该定理表明，当充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如，和在充分大时计算是十分困难的。根据该定理，由于近似服从或等价地近似服从，于是可以近似地用正态分布来计算上述概率，即 （3.1）= (3.2)只要查一查标准正态分布函数表就很容易得到的相当精确的值。原则上(2.8)式和（2.9）式适用于任何给定的和充分大的。不过，当较大或较小时近似效果较差，应用时最好满足。此外，由

24、于我们用一个连续分布来近似离散分布，在实际应用中，为了减少近似误差，常用 来代替（3.2）式。3.3 泊松分布与正态分布之间的关系 由前两节可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态逼近。14第三章 常见统计分布间的关系定理三：对任意的，有，其中 如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。当很小时，即使不是很大，用泊松分布近似二项分布，已经相当吻合。但是在这种情形下，用正态分布去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得到，很小时，又不大，则一定不会太大。有定理可知，正

25、态分布就不能很好地近似泊松分布，因此也就不能被泊松分布十分逼近的二项分布。 在充分大，既不接近于0也不接近1时,用正态分布去近似二项分布，效果就较好。 表3-2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布的比较，其中。可见，在数值上三者是大致相等的。15电子科技大学学士学位论文表3-2 泊松分布、正态分布、二项分布的比较kB(2500,0.02)(50,7)(50)25303540455055606570750.00000.00060.00520.02120.04600.05690.04240.01990.00610.00130.00020.00010.00100.00570.02050.04420.

26、05700.04420.02050.00570.00100.00010.00000.00070.00540.02150.04580.05630.04220.02010.00630.00140.0002由定理三易知，泊松分布当时的极限分布 是正态分布。进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近似关系。定理四：分布函数和恒等的充分必要条件是它们的特征函数和恒等。 命题 设，泊松分布的分布函数 与正态分布的分布函数 是近似相等的。 证明：的特征函数是，而的特征函数是。对任意的的幂级数展开为忽略以后各项，则有，于是， 。根据定理四可知，泊松分布的分布函数 与正态分布的分布函数 近似相等，证毕。3.

27、4 分布与正态分布的关系16第三章 常见统计分布间的关系定义：设是一个密度函数序列，是正态分布的密度函数。若时，则称分布密度函数一致渐近正态分布，记作： 。引理1：（1）； （2）。其中， ；而。此引理可见文献。众所周知, 自由度为n 的分布的密度函数是 由于它是通过个独立同分布的正态变量的平方和来定义的, 所以根据中心极限定理, 它一定是渐近正态的。但是, 从一致渐近正态分布的定义可以看出，如能证明分布的一致渐近正态性，那么当自由度很大时，常常因没有分布表可查而用正态分布的分位点代替分布的分位点，会令人更觉方便可信。下面就来证明这一结果。 定理1：若是自由度为的分布的密度函数，则 。 证明

28、记随机变量服从自由度为的分布，那么 。如果用表示的密度函数，只需证明当时，即可。事实上17电子科技大学学士学位论文 。 （3.3） 为了估计（3.3）式的上界，现在计算。由于所讨论的是状况，所以不妨设。对等式 （3.4）两边关于求导，可得 。 这里要指出：由于，所以式中右边的被积函数是连续的，从而可以在积分号下求导。这样一来， 。把它代入（3.3）式，可得 = 18第三章 常见统计分布间的关系 。从上式可知，结论显然正确，证毕。 证明完本定理之后还要解释几句：在以上证明过程中对分布的自由度曾求过导数，通常求导的变量应该是连续的，而此处的是正整数。在本文中这并不矛盾，因为（3.4）式对是大于0的

29、实数也成立，此时它就是分布的形式。事实上，分布和分布的密度函数中自由度都可以变成大于0的实数，因为只要将它们的定义稍稍修改一下，用分布的形式定义即可，自由度便可以变成实数。3.5 分布与正态分布的关系 用表示随机变量服从自由度为的分布，其密度函数是 显然，当时，有 为了证明分布的一致渐近正态性，还需如下引理：引理2 设,当时，有。 证明 由两边关于求导数，注意被积函数是处处连续的，所以可以在积分号下求导。经过一些计算，不难得到我们的如果，证毕。定理2：若是自由度为的分布的密度函数，则19电子科技大学学士学位论文证明 记随机变量，用表示的密度函数。现在证明当时，。首先本证明总假设（因为讨论的是的

30、情形，可以这样假设）。不难算出： （3.5）将引理1，引理2代入式（3.5）并化简，可得 进一步引用引理1中关于，的不等式且注意到可得：所以，当时，。证毕。3.6 分布与正态分布的关系由于分布在正态母体的方差检验和方差分析中极为重要，所以有必要讨论其一致渐进正态性。众所周知，自由度为和的分布的密度函数是20第三章 常见统计分布间的关系如果随机变量服从自由度为和的分布，就用表示。和前面的分布一样，仍需要有关引理：引理3 设，当，有 定理3 若是自由度为的分布的密度函数，则 有了以上定理，当自由度都很大时，便可以利用正态分布表来查处相应的概率值，所以这些结论是有实际意义的。3.7 分布与分布的关系

31、以下的命题1阐述了分布与分布间的关系，即变量实际上可由两个相互独立变量之商导出，同时命题1的证明也阐明了分布具有可加性。命题1 若相互独立。，则（1）（2）相互独立。证明 由，知由相互独立的随机向量（）概率元21电子科技大学学士学位论文做变换 （3.6）为方便起见，记，则（3.6）式简化为此变换的雅可比行列式为22第三章 常见统计分布间的关系再记 于是，随机变量的概率元=23电子科技大学学士学位论文 。 （3.7）（3.7）式中，第一个因子就是的概率元；第二个因子就是的概率元；第三个因子就是的概率元。由此完成了命题一的证明。 命题二（命题一的逆） 若随机变量相互独立，且 ， ，,并且相互独立，

32、则 。 证明 有命题2的条件，知随机变量的概率元=25第三章 常见统计分布间的关系 。 （3.8） 为方便起见，记，则（3.8）式简化为=做变换可得（3.6）式，为方便起见，记，则（3.6）式简化为此变换的雅可比行列式为于是，随机变量的概率元26电子科技大学学士学位论文= ，证毕。3.8 分布与分布的关系 定理 若随机变量服从自由度为的分布，则变量服从第一自由度为1，第二自由度为的分布，即 。 证明 ，的分布密度函数为27第三章 常见统计分布间的关系的分布函数 。 当时，；当时，的分布密度函数 ，与第一自由度为1，第二自由度为的分布的分布密度函数相同，因此 ，证毕。27电子科技大学学士学位论文

33、第四章 蒙特卡罗方法在概率统计中的应用4.1 蒙特卡罗方法概述4.1.1 蒙特卡罗方法 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。1

34、9世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生

35、产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法“拟蒙29第四章 蒙特卡罗方法在概率统计中的应用特卡罗方法”(Quasi-M

36、onte Carlo方法)近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。4.1.2 蒙特卡罗方法的基本原理 由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件

37、的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量(=1，2，3，k)，它们对应的概率密度函数分别为，功能函数式为Z=g(，)。 首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数，值，计算功能函数值=g(，) (=1，2，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值0，则当N时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否

38、非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。4.1.3 蒙特卡罗方法的工作过程 在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。4.2 蒙特卡罗模拟在概率统计中的应用30电子科技大学学士学位论文4.2.1 蒙特卡罗模拟在估计事件概率中的应用 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation,以下简称

39、MCS）是一种重要的实验手段，从其诞生以来，一直受到科学研究者的欢迎和关注，特别是随着计算机性能的提高和普及，一般的工作人员也可以使用MCS。由于MCS总是和抽取一定数目随机样本结合在一起，因而在概率论与数理统计中有着广泛的应用前景。30第四章 蒙特卡罗方法在概率统计中的应用事件发生的频率与概率有着密切的联系，这就是大数定理所阐述的内容，正是基于这点可以使用MCS来研究事件发生的频率，并依此来估计事件发生的概率。MCS在概率论中最早的应用是关于蒲丰的针问题，MCS还可以用于模拟抛硬币、掷骰子等实验中，例如通过模拟可以将抛硬币实验进行上百万次乃至上亿来考察实验次数的增多，出现正面频率与0.5越来

40、越接近的事实。这里考察掷骰子实验，假如连续三次掷一枚质地均匀的骰子，分析三次得到点数和的概率分布。显然这个问题可以通过枚举法来解决，但计算量较大，如果掷更多的次数，将更加麻烦，如果使用MCS可在数秒中解决。首先利用随机数发生器产生均匀分布，然后取随机数整数部分，得到一次实验的点数。通过连续产生三个这样的随机数，取整处理加总得到一次模拟的点数和，将这个实验进行任意多次，表4-1列出点数和的可能取值和真实概率以及通过不同模拟得到的频率，不难看出每种情况下的频率都可以作为概率的近似估计，而且随着试验次数的增大，频率与概率的差距越来越小，这间接证明了大数定理的正确性。其它诸如见面问题、生日相同、随机取

41、数等问题也可以使用MCS来研究。表4-1 三枚骰子点数和的理论概率和实际模拟频率 单位：%点数和345678910概率0.461.392.784.636.949.7211.5712.501万次频率0.421.362.694.566.5310.2511.9712.031百万次频率0.461.382.784.566.539.7411.5812.581千万次频率0.461.392.804.626.959.7211.5512.51点数和1112131415161718概率12.5011.579.726.944.632.781.390.461万次频率12.2111.549.777.354.572.931.430.391百万次频率12.4911.589.696.924.632.771.400.461百万次频率12.5111.559.746.954.632.771.390.464.2.2 蒙特卡罗模拟在研究随机变量分布之间关系中的应用 在概率论中，三个离散型随机变量的分布具有一定得内在联系，它们分别是二项分布、泊松分