人教版高二数学课件7.6 直线、圆的位置关系(1).pptx

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1、要点梳理要点梳理1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 位置关系有三种：位置关系有三种：、.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1 1）代数法：）代数法：（2 2）几何法）几何法:利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d d和圆半径和圆半径 r r的大小关系的大小关系:d dr r 相交相交,d d=r r 相切相切,d dr r 相离相离.7.6 7.6 直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系 基础知识基础知识 自主学习自主学习相离相离相交相交相切相切 判别式判别式 =b b2 2-4-4acac2.2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法计算

2、直线被圆截得的弦长的常用方法 （1 1）几何方法）几何方法 运用弦心距运用弦心距(即圆心到直线的距离即圆心到直线的距离)、弦长的一、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算半及半径构成直角三角形计算.（2 2）代数方法）代数方法 运用韦达定理及弦长公式运用韦达定理及弦长公式|ABAB|=|=|x xA A-x xB B|=|=说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.3.3.求过点求过点P P（x x0 0,y y0 0）的圆）的圆x x2 2+y y2 2=r r2 2的切线方程的切线方程 （1 1）若）若P P（x x0 0，y y0 0）在圆）在圆x

3、x2 2+y y2 2=r r2 2上，上，则以则以P P为切点的圆的切线方程为：为切点的圆的切线方程为：.（2 2）若）若P P（x x0 0，y y0 0）在圆）在圆x x2 2+y y2 2=r r2 2外，则过外，则过P P的切的切 线方程可设为：线方程可设为：y y-y y0 0=k k（x x-x x0 0），利用待定系数），利用待定系数 法求解法求解.说明：说明：k k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的 情况情况.x x0 0 x x+y y0 0y y=r r2 24.4.圆与圆的位置关系的判定圆与圆的位置关系的判定 设设C C1 1：（：（x

4、 x-a a1 1）2 2+（y y-b b1 1）2 2=r r （r r1 10 0）,C C2 2:(:(x x-a a2 2)2 2+(+(y y-b b2 2)2 2=r r (r r2 20),0),则有则有:|C C1 1C C2 2|r r1 1+r r2 2 C C1 1与与C C2 ;2 ;|C C1 1C C2 2|=|=r r1 1+r r2 2 C C1 1与与C C2 2 ;|r r1 1-r r2 2|C C1 1C C2 2|r r1 1+r r2 2 C C1 1与与C C2 2 ；|C C1 1C C2 2|=|=|r r1 1-r r2 2|（r r1 1

5、r r2 2）C C1 1与与C C2 2 ；|C C1 1C C2 2|r r1 1-r r2 2|C C1 1与与C C2 2 .相离相离外切外切相交相交内切内切内含内含基础自测基础自测1.1.（20082008陕西）陕西）直线直线 x x-y y+m m=0=0与圆与圆x x2 2+y y2 2-2 2x x-2=0-2=0相切相切,则实数则实数m m等于等于 （）A.A.或或-B.-B.-或或3 3 C.-3 C.-3 或或 D.-3 D.-3 或或3 3 解析解析 将圆将圆x x2 2+y y2 2-2-2x x-2=0-2=0化为标准方程得化为标准方程得 +y y2 2=3,=3,

6、直线与圆相切说明圆心到直线的距离等直线与圆相切说明圆心到直线的距离等 于半径于半径,则有则有 m m=-3 =-3 或或 .C(x x-1)-1)2 22.2.圆圆x x2 2+y y2 2-4-4x x=0=0在点在点P P（1,1,）处的切线方程为（）处的切线方程为（）A.A.x x+y y-2=0 B.-2=0 B.x x+y y-4=0-4=0 C.C.x x-y y+4=0 D.+4=0 D.x x-y y+2=0+2=0 解析解析 圆方程为（圆方程为（x x-2-2）2 2+y y2 2=4=4，圆心（，圆心（2 2，0 0），），半径为半径为2 2，点，点P P在圆上，设切线方程

7、为在圆上，设切线方程为y y-=-=k k(x x-1),-1),即即kxkx-y y-k k+=0,+=0,解得解得k k=切线方程为切线方程为y y-(-(x x-1),-1),即即x x-y y+2=0.+2=0.D3.3.（20092009陕西）陕西）过原点且倾斜角为过原点且倾斜角为6060的的 直线被圆直线被圆x x2 2+y y2 2-4-4y y=0=0所截得的弦长为所截得的弦长为 （）A.B.2 C.D.2 A.B.2 C.D.2 解析解析 过原点且倾斜角为过原点且倾斜角为6060的直线方程为的直线方程为 x x-y y=0,=0,圆圆x x2 2+(+(y y-2)-2)2

8、2=4=4的圆心（的圆心（0 0，2 2）到直线的距离为）到直线的距离为d d=因此弦长为因此弦长为D4.4.圆圆C C1 1：x x2 2+y y2 2+2+2x x+2+2y y-2=0-2=0与圆与圆C C2 2：x x2 2+y y2 2-4-4x x-2-2y y+1=0+1=0 的公切线有且仅有的公切线有且仅有 （）A.1A.1条条 B.2B.2条条 C.3C.3条条 D.4D.4条条 解析解析 C C1 1：（：（x x+1+1）2 2+（y y+1+1）2 2=4=4，圆心圆心C C1 1（-1-1，-1-1），半径），半径r r1 1=2.=2.C C2 2：（：（x x-2

9、-2）2 2+（y y-1-1）2 2=4=4，圆心，圆心C C2 2（2 2，1 1），），半径半径r r2 2=2.=2.|C C1 1C C2 2|=|=，00|C C1 1C C2 2|r r1 1+r r2 2=4,=4,两圆相交，有两条公切线两圆相交，有两条公切线.B5.5.若圆若圆x x2 2+y y2 2=4=4上仅有一个点到直线上仅有一个点到直线x x-y y-b b=0=0的距离的距离 为为1 1，则实数，则实数b b=.解析解析 由已知可得，圆心到直线由已知可得，圆心到直线x x-y y-b b=0=0的距离的距离 为为3 3，=3 =3，b b=3 .=3 .题型一题型

10、一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【例例1 1】已知圆已知圆x x2 2+y y2 2-6-6mxmx-2-2（m m-1-1）y y+10+10m m2 2-2-2m m-24=0 24=0（m mR R）.（1 1）求证：不论）求证：不论m m为何值，圆心在同一直线为何值，圆心在同一直线l l上；上；（2 2）与）与l l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；相离；（3 3）求证：任何一条平行于）求证：任何一条平行于l l且与圆相交的直线且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等被各圆截得的弦长相等.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 用配方法将圆的一

11、般方程配成标准方程，用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去求出圆心坐标，消去m m就得关于圆心的坐标间的关就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d d与圆半与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长算弦长.思维启迪思维启迪（1 1）证明证明 配方得：配方得：(x x-3-3m m)2 2+y y-（m m-1-1）2 2=25=25，设圆心为（设圆心为（x x，y y），），消去消去m

12、 m得得x x-3-3y y-3=0-3=0，则圆心恒在直线，则圆心恒在直线l l：x x-3-3y y-3=0-3=0上上.（2 2）解解 设与设与l l平行的直线是平行的直线是l l1 1：x x-3-3y y+b b=0=0，则圆心到直线则圆心到直线l l1 1的距离为的距离为圆的半径为圆的半径为r r=5=5，当当d dr r，即，即-5 -3-5 -3b b5 5 -3-3时，直线与圆相交；时，直线与圆相交；当当d d=r r,即即b b=5 -3=5 -3时，直线与圆相切；时，直线与圆相切；当当d dr r，即，即b b-5 -3-5 -3或或b b5 -35 -3时，直线与圆时，

13、直线与圆相离相离.（3 3）证明证明 对于任一条平行于对于任一条平行于l l且与圆相交的直且与圆相交的直 线线l l1 1：x x-3-3y y+b b=0=0，由于圆心到直线，由于圆心到直线l l1 1的距离的距离 d d=且且r r和和d d均为常量均为常量.任何一条平行于任何一条平行于l l且与圆相交的直线被各圆截且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等得的弦长相等.探究提高探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断的距离与半径长的关系进行

14、判断.求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为出，即设直线的斜率为k k，直线与圆联立消去，直线与圆联立消去y y后所后所得方程两根为得方程两根为x x1 1、x x2 2,则弦长则弦长d d=|=|x x1 1-x x2 2|;|;三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求角形来求.对于圆中的弦长问

15、题，一般利用第三种方对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法本题所用方法就是第三种方法.知能迁移知能迁移1 1 m m为何值时，直线为何值时，直线2 2x x-y y+m m=0=0与圆与圆x x2 2+y y2 2=5.=5.（1 1）无公共点；）无公共点；（2 2）截得的弦长为）截得的弦长为2 2；（3 3）交点处两条半径互相垂直）交点处两条半径互相垂直.解解 （1 1）由已知，圆心为）由已知，圆心为O O（0 0，0 0），半径），半径r r=,=,圆心到直线圆心到直线2 2x x-y y+m m=0=0的距离的距离 直线与圆无公共点，直线与圆

16、无公共点，d dr r,即即 m m5 5或或m m-5.-5.故当故当m m5 5或或m m-5-5时，直线与圆无公共点时，直线与圆无公共点.（2 2）如图所示，由平面几何垂径定理知）如图所示，由平面几何垂径定理知r r2 2-d d2 2=1=12 2，即，即5-=1.5-=1.得得m m=2 ,=2 ,当当m m=2 =2 时，直线被圆截得的弦长为时，直线被圆截得的弦长为2.2.（3 3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，d d=，即，即解得解得m m=故当故当m m=

17、时，直线与圆在两交时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直点处的两条半径互相垂直.题型二题型二 圆的切线及弦长问题圆的切线及弦长问题【例例2 2】已知点已知点MM（3 3，1 1），直线），直线axax-y y+4=0+4=0及圆及圆 (x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=4.=4.（1 1）求过）求过MM点的圆的切线方程；点的圆的切线方程；（2 2）若直线）若直线axax-y y+4=0+4=0与圆相切，求与圆相切，求a a的值；的值；（3 3）若直线）若直线axax-y y+4=0+4=0与圆相交于与圆相交于A A，B B两点，且两点，且 弦弦ABAB的长为的长为2

18、2 ，求，求a a的值的值.思维启迪思维启迪解解 （1 1）圆心）圆心C C（1 1，2 2），半径为），半径为r r=2,=2,当直线的斜率不存在时，方程为当直线的斜率不存在时，方程为x x=3.=3.由圆心由圆心C C（1 1，2 2）到直线）到直线x x=3=3的距离的距离d d=3-1=2=3-1=2=r r知，知，此时，直线与圆相切此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为当直线的斜率存在时，设方程为y y-1=-1=k k(x x-3),-3),即即kxkx-y y+1-3+1-3k k=0.=0.由题意知由题意知 解得解得k k=.=.方程为方程为y y-1=(-1=(x

19、x-3),-3),即即3 3x x-4-4y y-5=0.-5=0.故过故过MM点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为x x=3=3或或3 3x x-4-4y y-5=0.-5=0.（2 2）由题意有）由题意有 解得解得a a=0=0或或a a=.=.（3 3）圆心到直线圆心到直线axax-y y+4=0+4=0的距离为的距离为 解得解得a a=-.=-.探究提高探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上点是否在圆上.若在圆上若在圆上,该点为切点；若不在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数切线应该有两条，

20、设切线的点斜式方程，用待定系数法求解法求解.注意，需考虑无斜率的情况注意，需考虑无斜率的情况.求弦长问题，要求弦长问题，要充分运用圆的几何性质充分运用圆的几何性质.知能迁移知能迁移2 2 已知点已知点A A（1 1，a a），圆），圆x x2 2+y y2 2=4.=4.（1 1）若过点）若过点A A的圆的切线只有一条，求的圆的切线只有一条，求a a的值及的值及 切线方程；切线方程；（2 2）若过点）若过点A A且在两坐标轴上截距相等的直线且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为被圆截得的弦长为2 2 ，求，求a a的值的值.解解（1 1）由于过点）由于过点A A的圆的切线只有一条，则点

21、的圆的切线只有一条，则点 A A在圆上，故在圆上，故1 12 2+a a2 2=4=4，a a=.=.当当a a=时时,A A（1 1，）,切线方程为切线方程为x x+y y-4=0-4=0；当当a a=-=-时时,A A（1,-1,-）,切线方程为切线方程为x x-y y-4=0-4=0，a a=时，切线方程为时，切线方程为x x+y y-4=0,-4=0,a a=-=-时，切线方程为时，切线方程为x x-y y-4=0.-4=0.(2)(2)设直线方程为设直线方程为x x+y y=b b,由于过点由于过点A A，1+1+a a=b b，a a=b b-1.-1.又圆心到直线的距离又圆心到直

22、线的距离d d=+3=4 +3=4，b b=,=,a a=-1.=-1.题型三题型三 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【例例3 3】已知两圆已知两圆x x2 2+y y2 2-2-2x x-6-6y y-1=0-1=0和和x x2 2+y y2 2-10-10 x x-12 12y y+m m=0.=0.（1 1）m m取何值时两圆外切？取何值时两圆外切？（2 2）m m取何值时两圆内切？取何值时两圆内切？（3 3）求）求m m=45=45时两圆的公共弦所在直线的方程和时两圆的公共弦所在直线的方程和 公共弦的长公共弦的长.利用两圆的连心线的长与两圆半径之利用两圆的连心线的长与两圆半径之 间的关

23、系判断两圆的位置关系间的关系判断两圆的位置关系.思维启迪思维启迪解解 两圆的标准方程为（两圆的标准方程为（x x-1-1）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=11,=11,(x x-5)-5)2 2+(+(y y-6)-6)2 2=61-=61-m m,圆心分别为圆心分别为MM（1 1，3 3），），N N（5 5，6 6），），半径分别为半径分别为 和和 .（1 1）当两圆外切时，）当两圆外切时，解得解得m m=25+10 .=25+10 .（2 2）当两圆内切时，因定圆的半径）当两圆内切时，因定圆的半径 小于两小于两圆圆心间距离圆圆心间距离5 5，故只有故只有 -=5-=5，解得，解得

24、m m=25-10 .=25-10 .（3 3）两圆的公共弦所在直线方程为）两圆的公共弦所在直线方程为(x x2 2+y y2 2-2-2x x-6-6y y-1)-(-1)-(x x2 2+y y2 2-10-10 x x-12-12y y+45)=0,+45)=0,即即4 4x x+3+3y y-23=0,-23=0,公共弦长为公共弦长为应注意两圆位置由圆心距和两半径的应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定，从而确定切线的条数和与差来确定，从而确定切线的条数.求公共弦方求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可程时，只需将两圆方程相减即可.探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 圆圆O

25、O1 1的方程为的方程为x x2 2+(+(y y+1)+1)2 2=4,=4,圆圆O O2 2的圆的圆 心心O O2 2（2 2，1 1）.（1 1）若圆）若圆O O2 2与圆与圆O O1 1外切外切,求圆求圆O O2 2的方程的方程,并求内并求内 公切线方程；公切线方程；（2 2）若圆）若圆O O2 2与圆与圆O O1 1交于交于A A、B B两点，且两点，且|ABAB|=2|=2 ，求圆求圆O O2 2的方程的方程.解解 （1 1）两圆外切，两圆外切，|O O1 1O O2 2|=|=r r1 1+r r2 2，r r2 2=|=|O O1 1O O2 2|-|-r r1 1=2=2（-

26、1-1），），故圆故圆O O2 2的方程是的方程是(x x-2)-2)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4(-1)=4(-1)2 2.两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x x+y y+1-2 =0.+1-2 =0.（2 2）设圆）设圆O O2 2的方程为（的方程为（x x-2-2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=r r ,圆圆O O1 1的方程为：的方程为：x x2 2+(+(y y+1)+1)2 2=4,=4,此两圆的方程相此两圆的方程相减，即得两圆公共弦减，即得两圆公共弦ABAB所在直线的方程：所在直线的方程：4 4x x+4+4y

27、 y+r r -8=0.-8=0.作作O O1 1H HABAB，则，则|AHAH|=|=|ABAB|=|=，O O1 1H H=，由圆心（由圆心（0 0，-1-1）到直线）到直线的距离得的距离得得得r r =4=4或或r r =20,=20,故圆故圆O O2 2的方程为的方程为（x x-2-2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4=4或或(x x-2)-2)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=20.=20.题型四题型四 直线与圆的综合应用直线与圆的综合应用【例例4 4】（1212分）已知过点分）已知过点A A（0 0，1 1）且斜率为）且斜率为k k 的直线的直线l l与圆与圆C

28、C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1相交于相交于MM、N N 两点两点.（1 1）求实数）求实数k k的取值范围；的取值范围；（2 2）求证：）求证：为定值；为定值；（3 3）若）若O O为坐标原点，且为坐标原点，且 =12,=12,求求k k的值的值.（1 1）由于直线与圆）由于直线与圆C C相交于相交于MM、N N两点，两点，故利用直线与圆相交的条件即可求得故利用直线与圆相交的条件即可求得k k的范围的范围.（2 2）=|cos =|cos 00=|=|，故而想到切割线定理即可证得，故而想到切割线定理即可证得结论结论.（3 3）=x x1 1x x2 2

29、+y y1 1y y2 2，联想根与系数的关系即，联想根与系数的关系即可解决可解决.思维启迪思维启迪（1 1）解解 方法一方法一 直线直线l l过点过点A A（0 0，1 1）且斜率）且斜率为为k k，直线直线l l的方程为的方程为y y=kxkx+1.+1.2 2分分 将其代入圆将其代入圆C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1,=1,得（得（1+1+k k2 2）x x2 2-4(1+-4(1+k k)x x+7=0.+7=0.由题意：由题意：=-4-4（1+1+k k）2 2-4-4（1+1+k k2 2）770 0，得得 44分分 解题示范解题示范方法二

30、方法二 同方法一得直线方程为同方法一得直线方程为y y=kxkx+1,+1,即即kxkx-y y+1=0.+1=0.2 2分分 又圆心到直线距离又圆心到直线距离d=d=4 4分分（2 2）证明证明 设过设过A A点的圆的切线为点的圆的切线为ATAT，T T为切点，为切点，则则|ATAT|2 2=|=|AMAM|ANAN|，|ATAT|2 2=（0-20-2）2 2+（1-31-3）2 2-1=7-1=7，|=7.|=7.6 6分分 根据向量的运算：根据向量的运算：=|cos 0=7 =|cos 0=7为定值为定值.8.8分分（3 3）解解 设设MM（x x1 1，y y1 1），），N N（x

31、 x2 2，y y2 2），则由），则由得得 =x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+k k（x x1 1+x x2 2）+1+1=k k=1=1（代入（代入检验符合题意）检验符合题意）.12 12分分 1010分分 探究提高探究提高 本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后但只是用到了平面向量最基本的知识，最后还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的关系等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键关系等方法，能否将问题合

32、理地转换是解题的关键.已知圆已知圆C C：x x2 2+y y2 2+2+2x x-4-4y y+3=0.+3=0.（1 1）若圆）若圆C C的切线在的切线在x x轴和轴和y y轴上的截距相等，求轴上的截距相等，求此切线的方程；此切线的方程；（2 2）从圆）从圆C C外一点外一点P P（x x1 1,y y1 1）向该圆引一条切线，）向该圆引一条切线，切点为切点为MM，O O为坐标原点，且有为坐标原点，且有|PMPM|=|=|POPO|，求，求使得使得|PMPM|取得最小值的点取得最小值的点P P的坐标的坐标.知能迁移知能迁移4 4解解（1 1）将圆）将圆C C配方得（配方得（x x+1+1）

33、2 2+（y y-2-2）2 2=2.=2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为程为y y=kxkx,由直线与圆相切得由直线与圆相切得 即即k k=2 =2 ，从而切线方程为，从而切线方程为y y=（2 2 ）x x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为设直线方程为x x+y y-a a=0,=0,由直线与圆相切得由直线与圆相切得x x+y y+1=0+1=0或或x x+y y-3=0.-3=0.（2 2）由）由|POPO|=|=|PMPM|得得x x +y y =(=(x x1 1+1)+1)2 2+

34、(+(y y1 1-2)-2)2 2-2 2-2 2x x1 1-4-4y y1 1+3=0.+3=0.即点即点P P在直线在直线l l:2:2x x-4-4y y+3=0+3=0上，当上，当|PMPM|取最小值时取最小值时即即|OPOP|取得最小值，直线取得最小值，直线OPOPl l，直线直线OPOP的方程为的方程为2 2x x+y y=0.=0.解方程组解方程组得得P P点坐标为点坐标为方法与技巧方法与技巧1.1.过圆外一点过圆外一点MM可以作两条直线与圆相切，其直线可以作两条直线与圆相切，其直线 方程的求法有两种：方程的求法有两种：（1 1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到）用待定

35、系数法设出直线方程，再利用圆心到 切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程进而求得直线方程.（2 2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与 圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程进而求得直线方程.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x x2 2和和y y2 2就就 得到两圆的公共弦所在的直线方程得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.3.求弦长时，常利用圆心到

36、弦所在的直线的距离求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离 求弦心距，再结合勾股定理求弦长求弦心距，再结合勾股定理求弦长.4.4.求圆外一点求圆外一点P P到圆到圆O O上任意一点距离的最小值为上任意一点距离的最小值为|POPO|-|-r r,最大值为最大值为|POPO|+|+r r（其中（其中r r为圆为圆O O的半径）的半径）.失误与防范失误与防范1.1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用 圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股 定理或斜率之积为定理或斜率之积为-1-1列方程来简化运算列方程来简

37、化运算.2.2.注意利用圆的性质解题，可以简化计算注意利用圆的性质解题，可以简化计算.例如，例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大 距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便.一、选择题一、选择题1.1.（20092009重庆）重庆）直线直线y y=x x+1+1与圆与圆x x2 2+y y2 2=1=1的的 位置关系是位置关系是 （）A.A.相切相切 B.B.相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心 C.C.直线过圆心直线过圆心 D.D.相离相离 解析解析 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d=d dr r且

38、且d d0,0,直线与圆相交但不过圆心直线与圆相交但不过圆心.定时检测定时检测B2.2.（20082008辽宁）辽宁）圆圆x x2 2+y y2 2=1=1与直线与直线y y=kxkx+2+2 没有公共点的充要条件是没有公共点的充要条件是 （）A.A.k k(-,)(-,)B.B.k k(-,-)(,+)(-,-)(,+)C.C.k k(-,)(-,)D.D.k k(-,-)(,+)(-,-)(,+)解析解析 圆圆x x2 2+y y2 2=1=1的圆心为的圆心为O O（0 0，0 0），则），则O O到到 直线直线y y-kxkx-2=0-2=0的距离为的距离为 由于直线和圆没有公共点，因此

39、由于直线和圆没有公共点，因此 1+1+k k2 24,4,k k .C3.3.设设O O为坐标原点，为坐标原点，C C为圆（为圆（x x-2-2）2 2+y y2 2=3=3的圆心，的圆心，且圆上有一点且圆上有一点MM（x x,y y）满足）满足 =0 =0，则则 等于等于 （）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析 =0 =0，OMOMCMCM，OMOM是圆的切线是圆的切线.设设OMOM的方程为的方程为y y=kxkx,由由 得得k k=，即，即 =.=.D4.4.已知点已知点P P（x x，y y）是直线）是直线kxkx+y y+4=0(+4=0(k k0)0)上一动上一动 点，点，PA

40、PA、PBPB是圆是圆C C：x x2 2+y y2 2-2-2y y=0=0的两条切线，的两条切线，A A、B B是切点，若四边形是切点，若四边形PACBPACB的最小面积是的最小面积是2 2，则，则k k的的 值为值为 （）A.B.C.2 D.2A.B.C.2 D.2 解析解析 圆圆C C的标准方程为的标准方程为x x2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1,圆心圆心C C（0 0，1 1），半径为），半径为1 1，|PCPC|2 2=|=|PAPA|2 2+1.+1.又又S S四边形四边形PACBPACB=2|=2|PAPA|1=|1=|PAPA|，当当|PAPA|最小时，面积最

41、小，而此时最小时，面积最小，而此时|PCPC|最小最小.又又|PCPC|最小为最小为C C到直线到直线kxkx+y y+4=0+4=0的距离的距离面积最小为面积最小为2 2时，有时，有2 22 2=解得解得k k=2=2（k k0 0）.答案答案 D5.5.过点（过点（0 0，-1-1）作直线）作直线l l与圆与圆x x2 2+y y2 2-2-2x x-4-4y y-20=0-20=0交于交于 A A、B B两点，如果两点，如果|ABAB|=8|=8，则直线，则直线l l的方程为（的方程为（）A.3A.3x x+4+4y y+4=0+4=0 B.3 B.3x x-4-4y y-4=0-4=0

42、 C.3 C.3x x+4+4y y+4=0+4=0或或y y+1=0+1=0 D.3 D.3x x-4-4y y-4=0-4=0或或y y+1=0+1=0解析解析 圆：圆：(x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=25,=25,易知直线斜率存在，易知直线斜率存在，设设l l:y y+1=+1=k k(x x-0)-0)，即，即kxkx-y y-1=0-1=0，圆心（圆心（1 1，2 2）到）到l l的距离的距离d d=由由 +4+42 2=5=52 2,得得4 4k k2 2+3+3k k=0,=0,k k=0=0或或k k=-=-，当，当k k=0=0时，时，l l:y

43、y=-1;=-1;当当k k=-=-时，时，l l:3:3x x+4+4y y+4=0.+4=0.答案答案 C6.6.已知直线已知直线x x+y y=a a与圆与圆x x2 2+y y2 2=4=4交于交于A A、B B两点两点,且且|+|+|=|=|-|,|,其中其中O O为坐标原点，为坐标原点，则实数则实数a a的值为的值为 （）A.2 B.2 C.-2 D.A.2 B.2 C.-2 D.解析解析 如图，作平行四边形如图，作平行四边形OADBOADB，则则 +=，-=-=，|=|.|=|.又又|=|=|，四边形四边形OADBOADB为正方形，为正方形，易知易知|为直线在为直线在y y轴上的

44、截距的绝对值，轴上的截距的绝对值，a a=2.=2.B二、填空题二、填空题7.7.若直线若直线axax+byby=1=1与圆与圆x x2 2+y y2 2=1=1相切，则实数相切，则实数abab的取的取 值范围是值范围是 .解析解析 圆心（圆心（0,00,0）到直线的距离）到直线的距离 a a2 2+b b2 2=1.|=1.|abab|8.8.（20092009四川）四川）若若O O：x x2 2+y y2 2=5=5与与O O1 1:(x x-m m)2 2+y y2 2=20(=20(m mR R)相交于相交于A A、B B两点，且两圆两点，且两圆 在点在点A A处的切线互相垂直，则线段

45、处的切线互相垂直，则线段ABAB的长度是的长度是 .解析解析 如图所示，在如图所示，在R RttOOOO1 1A A中，中，OAOA=，O O1 1A A=2 =2 ，OOOO1 1=5=5，ACAC=ABAB=4.=4.4 49.9.（20092009天津）天津）若圆若圆x x2 2+y y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+y y2 2+2 2ayay-6=0(-6=0(a a0)0)的公共弦的长为的公共弦的长为2 ,2 ,则则a a=.解析解析 x x2 2+y y2 2+2+2ayay=6,=6,x x2 2+y y2 2=4=4，两式相减得，两式相减得y y=.=.联立联立 消去消去

46、y y得得x x2 2=(=(a a0).0).解得解得a a=1.=1.1 1三、解答题三、解答题10.10.自点自点A A（-3-3，3 3）发出的光线）发出的光线l l射到射到x x轴上，被轴上，被x x轴轴 反射，其反射光线所在直线与圆反射，其反射光线所在直线与圆x x2 2+y y2 2-4-4x x-4-4y y+7=0+7=0 相切，求光线相切，求光线l l所在直线的方程所在直线的方程.解解 已知圆（已知圆（x x-2-2）2 2+(+(y y-2)-2)2 2=1=1关关 于于x x轴的对称圆轴的对称圆C C的方程为的方程为 （x x-2-2）2 2+(+(y y+2)+2)2

47、 2=1,=1,如图所示如图所示.可设光线可设光线l l所在直线方程为所在直线方程为 y y-3=-3=k k(x x+3)+3)，直线直线l l与圆与圆C C相切，相切，圆心圆心C C（2 2，-2-2）到直线）到直线l l的距离的距离解得解得k k=-=-或或k k=-.=-.光线光线l l所在直线的方程为所在直线的方程为3 3x x+4+4y y-3=0-3=0或或4 4x x+3+3y y+3=0.+3=0.11.11.设圆上的点设圆上的点A A（2 2，3 3）关于直线）关于直线x x+2+2y y=0=0的对称的对称点点 仍在圆上仍在圆上,且与直线且与直线x x-y y+1=0+1

48、=0相交的弦长为相交的弦长为2 2 ，求圆的方程求圆的方程.解解 用待定系数法求圆的方程，用待定系数法求圆的方程，设圆的方程为（设圆的方程为（x x-a a）2 2+（y y-b b）2 2=r r2 2.则所求圆的圆心为（则所求圆的圆心为（a a，b b），半径为），半径为r r.点点A A（2 2，3 3）关于直线）关于直线x x+2+2y y=0=0的对称点的对称点A A仍仍 在这个圆上，在这个圆上，圆心（圆心（a a,b b）在直线）在直线x x+2+2y y=0=0上，上，a a+2+2b b=0=0，（2-2-a a）2 2+(3-+(3-b b)2 2=r r2 2.又直线又直线

49、x x-y y+1=0+1=0截圆所得的弦长为截圆所得的弦长为2 2 ，r r2 2-解由方程解由方程、组成的方程组得：组成的方程组得：所求圆的方程为所求圆的方程为（x x-6)-6)2 2+(+(y y+3)+3)2 2=52=52或（或（x x-14-14）2 2+(+(y y+7)+7)2 2=244.=244.12.12.如右图所示，已知圆如右图所示，已知圆 C C1 1:x x2 2+y y2 2-2-2mxmx-2-2nyny+m m2 2-1-1 =0 =0和圆和圆C C2 2：x x2 2+y y2 2+2+2x x+2+2y y -2=0-2=0交于交于A A、B B两点且这

50、两点且这 两点平分圆两点平分圆C C2 2的圆周的圆周.求圆求圆C C1 1的圆心的圆心C C1 1的轨迹方程，并求出当圆的轨迹方程，并求出当圆C C1 1的的 半径最小时圆半径最小时圆C C1 1的方程的方程.解解 圆圆C C1 1：（：（x x-m m）2 2+（y y-n n）2 2=n n2 2+1+1，圆圆C C2 2：（：（x x+1+1）2 2+（y y+1+1）2 2=4=4，而而C C1 1C C2 2ABAB且且ABAB为圆为圆C C2 2直径直径.|ACAC2 2|=2|=2，又，又|ACAC1 1|2 2=1+=1+n n2 2，|ACAC2 2|2 2=4=4，|C