外文翻译地球物理电磁理论与方法.doc

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1、文献名称（中文） 地球物理电磁理论与方法文献名称（外文） Geophysical Electromagnetic Theory and Methods 作者：迈克尔达诺夫起止页码： 67103出版日期： 2009-04-08出版单位： 艾斯维尔科学出版社外文翻译译文： 地球物理电磁理论与方法 第三章 电磁场的方程 目 录3.1麦克斯韦方程及边界条件 3.1.1 电磁场中的基本方程 3.1.2 麦克斯韦方程的物理解释3.1.3 矢量场的边界条件3.1.4 均匀介质中的场3.2 时谐电磁场3.3 电磁能及坡印廷定理 3.3.1 辐射条件 3.3.2 时域坡印廷定理3.3.3 时域能量不等式3.3.

2、4 频域坡印廷定理3.4 电磁场的格林张量 3.4.1 频域内的格林张量 3.4.2 时域内的格林张量3.5 互惠关系 3.5.1 洛伦磁引理 3.5.2 格林张量和电磁领域的互惠关系 3.5.3 电磁场的格林张量表示论参考阅读: 电磁场的基本原理始建于19世纪。在此，我不会讲那些已知的电磁学基本规律的的详细资料，也不会描述那些为建立电磁学基本原理而做出特殊贡献的伟大科学家们，比如伏特，库仑，奥斯特，高斯，安培，法拉第等。但是我会介绍一些令有许多有趣故事的令读者感兴趣的物理史学书（例如：惠特克，1960a，b）。 基于这些基本的发现，我们知道电流的变化伴随着一个可预测的磁场的产生是毫无疑问的，

3、当磁场随时间变化时，产生一个可预测的电场，并且其电通量（电流）和磁通量保持守恒。在19世纪下半期，麦克斯韦在他的首发于1873年的论电磁学中提出在电磁场的综合理论中，这些描述了电磁场的性能和相互作用的主要物理定律是统一的。自牛顿时代后，这个理论的形成在物理学史上是一个重要事件之一。事实上，麦克斯韦是第一个引进数学模型和物理定律结合解决电磁场问题，任何使用电磁场探索地球的努力都必须严格按照这些物理定律和数学结果。 电磁场方程的基本体系麦克斯韦方程是通过始建于19世纪上半期的电磁学基本规律的普及而发展起来的。在经典理论的框架内，电磁场用电场和磁场的矢量来描述，麦克斯韦方程代表一个微分方程系统方面的

4、矢量。 在19世纪的最后几十年里，发现了另一个麦克斯韦方程的制定方法。这种方法是基于代数理论的微分形式，制定于前面的章节中，推导出一个简单对称的微分方程。 微分几何最初引入微分形式是为了研究线，面在多维数学空间中的性能。然而。在其实现不久之后，人们发现这些微分形式可以提供一个研究物理领域的强大的空间。我们可以把这些微分形式看作另一种数学语言，就像矢量语言一样用来描述物理量。事实上，第二章已经指出，在一个连续的思维空间内，微分方程可以看作是矢量场的源，流量的差异和线性组合。因此，麦克斯韦方程的微分形式包含了电场和磁场的流量差异。微分形式的这个属性表明它比传统的矢量更适合表示电场的电流和磁场的磁通

5、的主要特征。从地球物理学角度看这个方法似乎也是十分合理的，因为在实验中，我们测量电场，磁场的流量（电压）是作为一个规则的。 在本章中，我提出一个基于传统Gibbsian矢量形式体系（用方向导数，散度，旋度）和微分形式方法的电磁场的平行发展。我相信这个新方法对电磁学定律基本性质的制定的理解将刺激地球物理电磁学的未来发展。这个方法在现代物理方法的主要组成部分之一电磁学计算中也具有巨大的优势。 此外，一个证明在第二章的显著事实，在基于四维空间的基本微分方程形式中，任意矢量场对H(r, t) 和D(r, t)满足微分方程组，类似于电磁场的经典麦克斯韦方程组。换句话说，在四维空间内，若一个二阶矢量场E4

6、是由任意两个矢量场H(r, t) 和D(r, t)组成，那么这个场内自动满足该系统的麦克斯韦方程组。 因此，从微分形式场论的基本形式中自然而然的可以推导出麦克斯韦方程。除了麦克斯韦方程，不存在任何其他方程是针对非平稳矢量场的。实际上，电磁学的基本规律是矢量场和微分形式之间的基本微分关系。 在本章中，我还将推出基于电法勘探的共同技巧的电磁理论的基本相位。这样做可以限制审查电磁理论的案例是适合这些领域的，就像它们与大地的相互作用一样。由于电磁波经历强烈的衰减后穿过导体，我们只能保证在这些场的静态和稳态状态下的利息，也就是说，电磁场分量在这种情况下随时间缓慢变化或不变。在详细的实验之后，我们排除电磁

7、场随时间快速变化的情况。在这种情况下，辐射能量的传输是至关重要的。如果电磁波在电介质中传播的话，波的能量将会迅速衰减，并且不适用于地球物理勘探。如果介质是绝缘体，电磁波就可以远距离传播，电磁辐射理论在很多领域中是完全覆盖无线电波和雷达的。3.1麦克斯韦方程及边界条件 3.1.1 电磁场中的基本方程电法勘探源于非均匀导体中的电磁场的行为规范。用数学公式来描述电磁场性质的麦克斯韦方程就是这个理论的基础。 构成麦克斯韦方程组的两个矢量方程和两个标量方程如下所示： (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) 式中，H是磁场强度，B是磁感应强度（见附录C和D中电磁场分量的命名）；E是电场强度，D是电

8、位移矢量；q是电荷密度；j是传导电流密度；c是总的电流密度（传导电流和位移电流的总和）。这俩个场中，E和D，B和H分别有如下的本构关系： (3.5) (3.6)式中，是介质常数（介电常数），是磁导率。 19世纪上半叶建立的电磁学基本规律概括介绍了麦克斯韦方程。值得注意的是在第2章中这些所有的方程都可以由场论的微分方程直接推到得到。因此，吗介绍两个电磁场的二阶微分矢量M和F，由公式可知： (3.7) (3.8) 式中，D = Dd, H = Hdr, B = Bd, E = Edr。由米斯纳（1973）和德尚（1981）我们可以分别称这些形式为麦克斯韦场M-关系；麦克斯韦场与电位移矢量D和磁场倍

9、增时间微分H dt具有线性关系。磁通量，电位仪通量，电压和磁工作这些物理量代表电磁场。利用第2章中讨论过的二阶微分形式的基本性质可以写出麦克斯韦场和力场的微分关系： (3.9) (3.10) 式中，电的e和磁的m相当与： (3.11) (3.12)式中，函数qm和jm分别是电荷密度和磁通密度。根据公式（2.122）和（2.123）,从麦克斯韦场M的微分方程（3.9）可直接得到麦克斯韦方程的第一个和第四个方程（3.1）和（3.4）： , (3.13) 由式（3.9）中的四位电流密度e的外部微分等于零， 以及公式（2.99），得出电流密度j和电荷密度q的连续方程： (3.14) 同理，由力场F的微

10、分方程（3.10）直接得出一般的麦克斯韦方程组的第二个和第三个方程（3.2）和（3.3）： , (3.15) 由此磁场的四电流m同电场的四电流一样满足微分方程： 因此，磁场的电荷和电流通常与连续方程有关： (3.16) 介绍磁荷使麦克斯韦方程对称。然而，我们无法观察到磁荷，从而导致力场法拉第型的方程的产生。 (3.17) 这个方程用矢量描述，代入到原始的麦克斯韦方程组的第二个和第三个方程（3.2）和（3.3）中： , 因此，麦克斯韦方程组的整个系统自然而然地产生于非平稳领域的一般理论中。这个显著的事实证明数学理论的力量。电磁学的基本规律实际上是隐藏在矢量场和微分形式时间的根本差异关系。 总之，

11、完整的麦克斯韦方程组系统可以描述的十分简洁： (3.18) (3.19) 这里， (3.20) (3.21) 第2章中表明任何法拉第式的形式，都可以通过相应的四个电势表示。考虑到力场F是法拉第式形式，可以用式（2.199），根据 , (3.22)从最后的公式中我们得出用电磁位来描述磁场和电场的经典代表式，A和U： , 麦克斯韦方程组(3.18)和(3.19)的微分形式的另一个重要特征是他们不仅描述基本通量在不同电磁场元件的工作之间的关系，同时原始麦克斯韦方程组(3.1)(3.4)处理电磁场自身的向量。因此，麦克斯韦方程组的新的数学形式强调通量和电磁场工作的重要性。我们会在本章及本书以后的章节中

12、发现，电磁场的通量是在一个已知的表面上通过给定的路径的领域内工作，它代表着地球物理实验研究和测量的最重要的物理实体。这就是为什么新形式的麦克斯韦方程组(3.18)和(3.19)是非常适合地球物理电场现象的描述。有兴趣的读者可以在林德尔（2004）的专著中的电磁问题的微分形式的应用程序的更多细节。3.1.2 麦克斯韦方程的物理解释 让我们来看看麦克斯韦方程的四个物理意义。第二个向量方程（3.2）表示由法拉第发现的电磁感应定律。假设一个光滑的面S，由曲线S围成，求穿过该面的通量（图3.1） （3.24）式中，n 是面S的法向单位向量。 应用斯托克定理，积分方程（3.24）的左边可以转化为： （3.

13、25） 代入到式（3.24）中得到： （3.26） 其中，是曲线L的切向单位向量。注意，最后一个方程的左边的工作是电场E，右边的工作是磁场B。下面介绍L是导电长丝（例如。L是一根细铁丝）范围内的特殊情况。电场E下沿曲线L的线积分是该电路中测到的电动势： （3.27）而且， （3.28） 其中，是该电路中的磁通量。 将最后的俩个定义代入式（3.26）中，我们发现在一个封闭的电路中测得的电动势等于（负数）电路的磁通量随时间的变化率： (3.29) 因此，我们得到了法拉第电磁感应定律。 返回到麦克斯韦方程组的第一个方程（方程3.1），应该注意，这个公式的最初目的是反映电流和磁场之间的关系，由奥斯特发

14、现，以安培定律的形式制定。根据这个规则，磁场的旋量应该等于电流密度。然而麦克斯韦发现仅仅在这一种形势下满足整个系统的四个方程，在其他的传导电流情况下市欠缺考虑的。为了避免这种困难他增加了另一个术语，由电荷运动引起的传导电流的电流密度与电位移随时间变化的速率成正比，用D表示。所以，计算在曲面S的通量矢量旋度（见图3.1）： = （3.30） 根据斯托克斯定理，在这个方程的左边是向量H沿电路L的循环。此外，方程的右边是曲面S的总电流密度的矢量通量；也就是说，通过电路L的总电流 I total： （3.31） 图3.1 S面的H通量的计算 最后的这个公式代表安培定律的数学表达式：任何闭路循环磁场H等

15、于通过这个电路的总电流。 与方程（3.30）一致： （3.32） 这个公式的第一项是通过电路L的传导电流的幅度I，第二项是位移电流的幅度I dis。位移电流的概念由麦克斯韦首次引入。这个概念使我们能够考虑电路，包括可以储存电的电容器（图3.2）。电容器不包括交流电流的电路中断。让我们围绕L这个路径来计算磁场向量H的循环量。由安培定律知，这个值等于通过能够消减载流导体的表面S1或者通过表明S2的电流的流动，或者通过电容的传递： (3.33) 一个普通的传导电流流经表面S1，同时，这个电流不流过S2面，实际上，该电路是连续的交流电流（符合方程3.33），那是位移电流在电容版之间的流动为了提供传导电

16、流的连续性： 图3.2 麦克斯韦引入位移电流插图 因此，总的电流密度C，是传导电流和位移电流的组合： (3.34) 麦克斯韦方程组的第一个方程（方程（3.30）表明位移电流和传导电流在磁场中以同样的方式工作。需要注意的是，电荷运动产生的传导电流，在D场中速度变化产生的位移电流，这些过程都能产生一个磁场。 位移电流的概念反映了麦克斯韦的科学天才。基于这个概念，不仅发现了无线电波，还促使广播技术的现代发展。根据公式（3.2）可知随时间变化的磁场会产生一个相关的电场，同样的，根据公式（3.1）可知随时间变化的电场会产生一个相关的磁场。电场和磁场这两个场不断互动，彼此加强，因此它们在真空中可以传播的很

17、远。这是我们当代电动力学中电磁波及其相关现象的理解的基础上总结出来的。 在麦克斯韦方程组的前两个方程（方程（3.1）和（3.2）的基础上，得出：磁场H产生于传导电流和位移电流，电场产生于一个随时间变化的感应电磁场B。 麦克斯韦方程组的第四个方程反映了一个事实，即电荷的电位移场的源，D。也就是说，库伦定律的数学表达式的这种关系与由均匀各向同性介质中的电荷产生的电场E一样，与电荷Q的大小成正比，与距离的平方成反比： (3.35) 其中，dr是沿半径向量的单位向量。 最后，麦克斯韦方程组的第三个方程是高斯定律中不存在磁荷。这是在实验中观察到的事实，在现实世界中没有磁荷这个物质，磁感应场B是涡旋场，它

18、是由电流产生的。 现在，介绍电流的连续性方程（3.14）的物理意义。对于这一点，对方程（3.14）关于由面S围成的体积为D做积分，并用高斯定理： （3.36） 穿过曲面S的电流密度矢量的标量通量称为电流： (3.37) 此外，方程（3.36）的右边描述电荷Q在体积为D的空间内单位时间内的变化： （3.38） 将这两个方程代入（3.36）中： （3.39） 麦克斯韦方程组的最后一个方程是电荷守恒的数学表达式：电荷既不会增加也不会减少。若电流流出封闭的表面，则内表面的电荷数量单位时间内的减少量与电流向外的流量相等。这种守恒定律可能会被视为一个例外，就像光电效应中电荷的产生一样。然而在这种情况下，总

19、是有等量的正负电荷产生，使总电荷保持不变。 此外，实验观察到在传播介质中的电流密度（特别是稀土材料）与电场矢量E成正比。这通常称为欧姆定律： (3.40) 其中为介质的电导率。通常我们讲的电导性用电阻系数来表示：。 欧姆定律通常用于电气技术可以写成： （3.41）其中U是沿导体截面的压降（电动势），I是电流，R为电阻，计算公式为： (3.42) 这里，和S分别是长度和横截面的电流流动方向，是电阻系数。 在特殊情况下，均匀电场E中沿圆柱形导体的轴向体积V对方程（3.40）做积分： （3.43）其中j和E分别是矢量j和E的幅度。由于在导体内j和E是常量，所以方程（3.43）可以写成： j和E是导体

20、中电流的产物： （3.44） 而E和是导体的压降： (3.45) 将公式（3.45）和（3.44）代入到（3.43）中，结合式（3.42）可以验证欧姆定律（式（3.41）。应当指出，在方程（3.1）和（3.4）中不考虑场的源。电流和电荷不仅产生于电力方面，还产生于机械，化学及其他方面。由电磁力以外的力产生的电流和电荷称为外在电流和电荷。麦克斯韦方程组为了包括这些外在的电流和电荷，可以将其写成： (3.46) (3.47) (3.48) (3.49)其中je和qe分别是外在电流密度和电荷。它们必须同时满足守恒条件： (3.50) 值得注意的是方程（3.48）和（3.49）由方程（3.46）和（3

21、.47）与连续方程（3.14）和（3.50）推导得到的。 当然，必须承认的是麦克斯韦方程在这里组写成微分形式只在一种介质中有效，这些介质的参数，和在一定空间内缓慢的变化导致这些场E,D,B,H在空间坐标内可以被区分开来。若这些变化较快，则麦克斯韦方程组在适当的边界条件下可以扩增。3.1.3 矢量场的边界条件 在不同区域的分界面上，和这些参数可能发生突变。由方程（3.5）和（3.6）可以得到几个领域内不连续变化的结果。因此，在分界面上解决电磁感应的问题考虑边界条件是必须的。场强在点上与分界面的两侧的条件在任一参数发生突变的一侧通过麦克斯韦方程除外。 边界条件是具体到每一个需要解决的问题。然而，我

22、们可以制定在一个重要和满足的情况下，在表面S分离指数（i）和（i+1）确定了两个媒质的边界条件。对这种表面的两侧，两个媒质的性质是不变的，或者在空间里变化很慢，所以在一些小的区域内任意点的属性可以认为是恒定的。令n为媒介（i）到媒介（i+1）的有向面S内的一点的单位向量，如图3.3所示。假设表面上没有外在的电流或者电荷，面S上的电磁场的条件共轭向量是存在的。面S将媒介从媒介（i）到媒介（i+1）用一个非常薄的厚度为的过渡层分隔开来，这些参数，和连续不断快速变化，如图3.3b所示。在这种情况下，麦克斯韦方程仍然成立。 利用麦克斯韦方程组可以限定场分量在过渡层内边缘和外边缘的关系，然后取限制条件

23、0。这样就可以得到连续性条件。 （a） （b）图3.3 制定电磁场的边界条件：面S分离介质从介质（i）到介质（i+1）被替换与厚度非常薄的过渡层这些参数，和连续不断快速变化 在过渡层的一个长方形柱体V上取小截面S（图3.3a），并测矢量场B吓死柱体的表面的磁通量。由高斯定理和公式（3.3）可知，通量为： （3.51）式中V是柱体的体积，n是正常曲面单位向量。 因为S很小，可以假定B是固定在柱体内，所以方程（3.51）可以写成一个近似式： （侧面部分）= 0 （3.52）其中ni+1和ni分别是柱体指向外侧的上下两端（如图3.3a）。 假定面S的感应场B的垂直分量，介质（i）和介质（i+1）分别

24、用符号和 表示。当减小表面的厚度或者 0时，由图3.3a可以得出：ni+1 n 和ni n,所以Bni+1 和 Bni 成立。因此，将限制条件 0代入方程（3.52），并假定柱体的侧面效果趋于0和柱体的高度趋于0，则得到： 由S的划分可以得到最终方程显示磁场向量的垂直分量在穿过边界后是连续的： (3.54) 考虑到总电流密度c的向量，与公式（3.1）一致： 意味着c着像B一样是一个纯粹的涡旋场。同理，得到总电流的垂直向量穿过界面是连续的： （3.55）现在讨论位移场D。计算图3.3a中柱体V的表面向量通量，对麦克斯韦方程组的第四个方程（3.4）用高斯定理： （3.56） 其中Q是柱体内总的电荷

25、量，。 限制条件 0，式（3.56）的左边是： 当点接近柱体结束，总电荷Q出现一个无限大的电荷密度q，在这个极限条件下，产物q可以看作是面电荷密度： 面电荷密度定义为单位面积内的电荷量. 因而，由方程（3.56）中的限制条件 0： 所以， （3.57） 曲面S上存在的电荷创建一个向量D常规部分的连续性！ 现在研究电磁场切向分量的性质。利用一个直角柱体在平面上定义面S的法向向量n和场H的切向分量的正常方向，如图3.4所示。 图3.4 电磁场在过渡层厚度为切向分量的性质其中参数，和连续快速变化 符合麦克斯韦方程组的第一个方程，。 假定平面上的一部分的周长L为P，P的正向垂直单位向量为n0，计算矢量

26、c穿过平面P的通量： 由斯托克斯定理可知： （3.58） 若假定路径L的直径足够小，则可以假定在由L围成的域内从上表面到下表面H是常数。则积分方程（3.58）近似为： （侧面部分） 假设S面上的场H的切向分量在媒介（i）或者媒介（i+1）中分别为和，很明显（图3.4中），当 0时， ，外侧表面趋于0.因此 （3.59）此外，基于L范围的小面积，假设c沿着L是恒定的，所以 （3.60） 由于向量E和D/t通常是有界的，任意有限值使得方程（3.60）的右端趋于0，与 0一致。对比方程（3.58）和（3.59）， 所以，若和都是有限值，则 同理，利用麦克斯韦方程组的第二个方程，可得 总结出矢量电磁场

27、的边界条件： 在场的垂直方向： （3.61） （3.62）其中是在边界面S的面电荷密度，定义为单位面积内的面电荷量。磁感应B的垂直分量穿过两个介质的边界是连续的，但是电位移矢量D是不连续的，间断的间隔大小为电荷密度。 场在两个有限导体介质间的边界上的切向方向： （3.63） （3.64）电场E的切向分量和磁场H的切向分量在穿过两个有限导体介质间的边界后是连续的。 利用方程（3.61）（3.64）（3.5）（3.6）和（3.40）可以完整地表示矢量H，B，D和E的切向分量和垂直分量。3.1.4 均匀介质中的场 讨论在均匀介质和各向同性介质的简化的有效麦克斯韦方程组，也就是说参数，和在时间和空间内

28、均为恒定的。所以 (3.65) (3.66) (3.67) (3.68)在最后的这四个方程中，电荷密度q为零，因为电荷密度在电磁理论中通常以初级课程的形式出现，没有电荷能够收集在均匀导体介质中。因此在这种介质内不存在自由电荷。 对于许多电法探测的有用的问题，把麦克斯韦方程分离成别的变量是可取的，也就是说把方程分别写成电场和磁场。因此，首先对方程（3.66）的两边分别进行卷积，然后代入方程（3.65）得到 (3.69)同样的，对方程（3.65）的两边分别进行卷积，然后代入方程（3.66）得到 (3.70)矢量标识 其中2为拉普拉斯算子的矢量，考虑到方程（3.68）的发散状态，可以将方程（3.69

29、）的关系写成 (3.71) 同样的，对方程（3.65）的两边分别进行卷积，然后代入方程（3.70）得到 (3.72）方程（3.71）和（3.72）完整地描述了均匀介质中的电场和磁场，称为电学记录仪方程。3.2 时谐电磁场电法探测中出现的许多问题的解决方案，将考虑作为一个调和函数（正余弦，不管是正选函数或者是余弦函数，或两者的结合）在一些具体的任意角频率，这种场称为单色场。 任意时间函数可以用正余玄函数的结合来总结任何一个场是极少的，从所周知，适当的乖函数可以用傅里叶级数傅里叶积分的谱分量来代替。电法探测中遇到的许多问题的数学分析的简化，可以考虑在一段时间内同一频率的性能；也就单色场。 例如磁场

30、H的三个组件在笛卡尔坐标系中沿着方向向量, 和随时间变化： (3.73)其中和分别是磁场的振幅和相位。 通过用欧拉公式将方程（3.73）写成 (3.74) 其中 (3.75) Re是复数的实数部分的运算符。由方程（3.75），方程（3.73）可以写成 (3.76)因此， 复数向量场不是通常意义上的向量，因为单位方向向量的系数是复数。将方程（3.76）重新写成： (3.77)同样的，定义复数向量的磁感应场，复数电场，复数位移场，复数电荷密度： 其中, , , , , , q,分别是与向量B，D，E和标量q相对应的振幅和相位。即 , , , (3.78)将方程（3.77）和（3.78）代入到麦克斯

31、韦方程组中，（3.1）到（3.4），同时考虑卷积和散度的线性关系，得到: (3.79)在实现方程组（3.79）微分的过程中，唯一的时间函数是指数函数： 展开微分形式意味着不用再写运算符Re， (3.80) 方程组（3.79）是方程组（3.80）的子集，所以若复数向量，满足方程组（3.80），则实数向量H,B,E,D自动满足麦克斯韦方程组。方程组（4.203）的系数除以系数eit，最终可以得到频域中的麦克斯韦方程组： (3.81) 在这里，用简单的符号来代替H,E和q适于将复数向量场简化为矢量场。检测领域满足包括复数参数的方程，像方程（3.81）中i的例子一样，不仅是实部矢量场，还是虚部矢量场。

32、为了得到物理意义，必须注意这些是带乘数eit 的复数向量，利用方程(3.77)(3.78)得到实数部分的结果。 最后需要指出的是复数向量场的边界条件与实数向量场的边界条件一致。 3.3 电磁能及坡印廷定理 本节内容研究了电磁场能量的分布特性的基本理论。电磁场的产生源（外部电流je），集中在一些领域内Q和一个已知电磁参数,分布的介质中传播。简单起见，域Q看作是局部的（有界的）。即一个范围CR 其球心在笛卡尔坐标的原点，半径为R（图3.5），这个球体足够大使得域Q完全包含于边界为范围CR的球体OR ：Q OR 。用另一个完全包含于域Q的域V1围绕域Q（图3.5）。体积V1内的场能变化必须与穿过V1

33、表面S1的能量流一致。坡印廷定理给出了电磁场的能量存储变化速率和能量流变化速率之间的关系（斯特拉顿，1941）。 图3.5 坡印廷定理，能量不平等，洛伦兹引理3.3.1 辐射条件 在研究坡印廷定理之前首先得分析当范围CR的半径R趋向无穷大时场的性能。基于物理知识，任意源产生的，处于空间中的球体Q边界内的场近似接近从源出发的远距离球面波，应该仅包含发散电磁波（或称为“外向”）。球状发散波内的横向场应该从坐标的原点出发，在距离r = |r|上以1/r衰减，所以场的产物f(r)和r是有界的： r f(r) 有界 (3.82)其中f可以是电磁场横向矢径r的任意方向；发散球面波的另一个性能是像平面波一样

34、局部表现为趋向无穷大，每个场的横向分量r像指数(ikr)。最后的必要条件可以用下面的公式来表达数学关系： （3.83）被索姆菲尔德（1912,1952）引进的条件称为“索末菲条件”。在后面将会看到辐射条件确保了物理需求，电磁场的能量从源域发出，也就是说电磁场的源从这些源向外辐射能量。3.3.2 时域坡印廷定理 坡印廷定理可以由麦克斯韦方程组的前两个方程（3.46）和（3.47）推导： （3.84） （3.85）点积在单位时间单位体积内的能量是有大小的，用E标量乘以麦克斯韦方程组的第一方程（3.84）得到 （3.86）同样的可以从麦克斯韦方程组的第二个方程（3.85）得到一个包含单位时间单位体积内的能量的条款的符号，用H标量乘以这个方程的每一项