行列式的计算方法毕业论文 (1).doc

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1、 目 录中文摘要1关键词1英文翻译1前言 2一、 定义法计算行列式 2（1）、定义2（2）、行列式按一行（列）展开4二、主对角线法计算行列式5三、范德蒙行列式的计算方法8四、常用的一些其它方法 11（1）、降阶法 11（2）、分和法 13（3）、递推法 15（4）、加边法 18五、用拉普拉斯定理行列式的乘法规则19六、循环矩阵行列式的计算方法 24总结 28参考文献 29行列式的计算方法摘要：行列式的计算是行列式理论的最重要的方面,计算行列式常用的方法有:定义法,主对角线法,利用计算范德蒙行列式方法,拉普拉斯定理行列式的乘法规则以及常用的一些其它方法,像降阶法,分和法,递推法,加边法,等等。其

2、中，主对角线法主要介绍了，什么样的行列式可以利用主对角线法来计算，和怎样计算。利用计算范德蒙行列式的方法，主要介绍了，针对一些高阶的，特殊的行列式，利用怎样的方法可使行列式的计算更简便些。利用计算范德蒙行列式的方法还介绍了，怎样把非范德蒙的行列式，化为范德蒙行列式，再运用此方法进行计算，从而使运算简洁、方便。而行列式的拉普拉斯定理，则重点介绍了此定理，和利用定理来计算一些复杂的行列式，把一些高阶的复杂的行列式，转变成为几个低阶的便于计算的行列式的乘积，从而使计算更加简洁、方便。在文章的末尾，花大篇幅，重点介绍了，另一种特殊的复杂的行列式循环矩阵行列式的计算方法。首先，文章定义了，符合什么条件的

3、行列式，可称为循环矩阵行列式，接着，利用引理、公理、定理，研究了对它的计算方法，从而得出了计算这种特殊行列式的简便方法。实际上,在计算行列式时,上述几种方法可同时交叉使用,最终目的使行列式的运算简洁,方便,正确。关键词：行列式，主对角线法，范德蒙行列式，拉普拉斯定理行列式的乘法规则，循环矩阵行列式的计算方法。Computing Technology of the Determinant Dong Yingying (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: The de

4、terminant computation is the determinant theory most important side ，computation determinant commonly used method ：definition ，principal diagonal ，use calculates the Vandermonde determinant method, the Laplace theorem determinant product rule as well as commonly used some other methods,such as falls

5、 the step side, divides , the recursion and adds and so on. Among them, the principal diagonal law mainly introduced, any type determinant may calculate using the principal diagonal law, how with calculates. Using calculates the Vandermonde determinant method, mainly introduced, in view of some high

6、 order,the special determinant, how method uses to be possible to cause the determinant computation simpler.Using calculated the Vandermonde determinant method also to introduce, how the non-Vandermonde determinant changed into the Vandermonde determinant, again utilized this method to carry on the

7、computation, thus succinctly caused the operation, to be convenient .But determinant Laplace theorem, then introduced with emphasis this theorem, with calculates some complex determinants using the theorem, some high order complex determinant, transforms into several low steps to be advantageous for

8、 the computation determinant product, thus succinctly causes the computation, to be convenient .In article end, the flowered great length, introduced with emphasis, another special complex determinant ,circulation determinant of a matrix computational method. First, the article has defined, conforms

9、 to any condition determinant, may be called the circulation determinant of a matrix, in succession, the use directs the principle, the axiom, the theorem, has studied to its computational method; Thus obtained has calculated this kind of special determinant the simple method .In fact,in computation

10、 determinant,these methods may simultaneously alternately cause ,the final goal in the computation determinant,above several methods to cause the determinant to operate to be convenient,correct. Key word: The determinant, the computing technology of the triangular determinant, Vandermonde is indebte

11、d to the determinant , the multiplication rule of Laplace theorem determinant , the computing technology of the circulation matrix determinant.前言随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化进程的日益加快，高等代数中行列式的计算方法正获得了越来越大的发展动力和越来越广泛的应用。行列式的计算是行列式理论的最重要的方面，是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题。计算行列式的方法有很多，但我们主要研究的是一些常用的方法，通过对这些常用方法的交叉使用使行列式的

12、运算简洁、方便、正确。一、定义法计算行列式(1)、定义:n级行列式，等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即。这一定义又可写成:。例1 计算行列式。解 展开式中项的一般形式是。若4，则。故只考虑=4的项,同理只考虑这些项，故。例2 计算行列式。 解 。 定义法适合于计算所有的行列式，但仅在计算像二、三阶这样的低阶行列式时简单些，而对于高阶的行列式计算起来就比较复杂，因此，在计算行列式时一般不常用定义法计算行列式。(2)、行列式按一行(列)展开 定理 设d=，表示元素的代数余子式，则下列公式成立+=，+=，其中=。 例3 计算n阶行列式=。解 =1=n!。 如果行列式的某行或某列的零

13、元素较多，则此行列式就可选择用按行或列展开来计算。在计算时就从这一行着手开始计算。此方法比定义法要简单，但更适合计算较低阶的行列式，对于高阶行列式的计算也较为复杂。 二、主对角线法计算行列式 我们知道上三角形行列式就等于主对角线上元素的乘积。同理,下三角形行列式:=，对角形行列式:=。例4计算n+1阶行列式=，其中(i=1,2,n)。 解 =。 例53 求 D=。 解 D=(n-1)。 以上我们得出，类似于上或下三角形和对角形的行列式都可用主对角线法来计算行列式。这种方法较上两种方法简单。 三、范德蒙行列式的计算方法 行列式d=(1)称为n级的范德蒙(Vandermonde)行列式。对任意的n

14、(n2),n级范德蒙行列式等于这几个数的所有可能的差的乘积。证明 (数学归纳法)当n=2时，结果是对的,设对于n-1级的范德蒙行列式结论成立,现在来看n级的情形。在(1)中,第n行减去第n-1行的倍,第n-1行减去第n-2行的倍。也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍,有,=，后面这行列式是一个n-1级的范德蒙行列式,根据归纳法假设,它等于所有可能差的乘积;而包含的差全在前面出现了。因此,结论对n级范德蒙行列式也成立。故结果可写作:，证毕。例6 计算行列式=。解 作如下行列式使之配成范德蒙行列式:=，此处y是变数,由此可知是p(y)的元素的余子式。，另一方面将按它的第n+1列展开即得:，

15、比较中关于的系数即得:。例7 计算下面n-1阶行列式。解 将行列式化成范德蒙行列式: 。 范德蒙行列式的计算方法比较简单，但仅限于是范德蒙行列式，对于不是范德蒙行列式，但结构类似于范德蒙行列式（如例6，例7）的完全可以转化为范德蒙行列式来计算。 四、常用的一些其它方法 （1）、降阶法 例8 计算行列式。 解 设原行列式为，按第五行展开得: 。 例9 计算。 解 先将第i行减去第i+1行（i=1，2，3，n-1），然后再将第n列分别加到第1列，第2列，第n-1列有，=。 降阶法与行列式按行（列）展开类似，使高阶行列式用低阶行列式来表示，逐步简化行列式的计算。 （2）、分和法例104 求 。 解=

16、+= 。 利用分和法计算行列式时与行列式的结构有关，通过把复杂的行列式拆成若干个简单的便于计算的行列式之和，可使行列式的运算更加简便。 （3）、递推法利用数学归纳法的基本思想方法，建立递推关系，即：找出与（jn）的递推关系，再求出低阶之间的相应递推关系，最后求出，也可进一步用数学归纳法证明此递推关系的正确性。 例11 计算2n阶行列式。 解 ，故 。 例12 计算行列式。 解 按第一列展开得： ，即有递推关系式： ，为了得到的一般表达式，可先设，采用以下归纳法：，由此可以猜想：。事实上，当n=1时上式显然成立，假设对阶数小于n时公式成立，下证其等于n时也成立。,故,在时，有=。 （4）、加边法

17、 例13 计算n阶行列式。 解 原式可变为： 。显然当x=2a时上式成立且。加边法的一般做法是：，或，特殊情况取或。五、用拉普拉斯定理行列式的乘法规则为了便于介绍这一部分，首先我们将余子式和代数余子式的概念加以推广。 定义1 在一个n级行列式D中任意选定k行k列（kn）。位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式。在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级行列式称为k级子式M的余子式。 从定义立刻看出，M也是的余子式。所以M和可以称为D的一对互余的子式。定义2 设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是： ；。则M的余子式前

18、面加上符号后称做M的代数余子式。 引理2 行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致。证明 我们首先讨论M位于行列式D的左上方的情形： D=，此时M的代数余子式A为：A=。M的每一项都可写作：，其中是1，2，k的一个排列，所以这一项前面所带的符号为： 中每一项都可写作： ，其中是k+1，k+2，n的一个排列，这一项在中前面所带的符号是： 。这二项的乘积是：，前面的符号是：，因为每个比每个都大，所以上述符号等于：。因此这个乘积是行列式D中的一项而且符号相同。 下面来证明一般情形。设子式M位于D的第行；第列，这里；。变动D中行列的次序使M位

19、于D的左上角。为此，先把第行依次与第行对换，这样经过了次对换而将第行换到第一行，再将行依次与第行对换而换到第二行，一共经过了次对换。如此继续进行，一共经过了次行对换而把第 行依次换到第1，2，3，k行利用类似的列变换，可以将M的列换到第1，2,k列，一共作了： 次列变换。 我们用表示这样变换后所得的新行列式，那么：由此看出，和D的展开式中出现的项是一样的，只是每一项都差符号：。现在M位于的左上角，所以M中每一项都是中的一项而且符号一致。但是，MA= M所以MA中每一项都与D中一项相等而且符号一致。证毕。 下面我们就来介绍拉普拉斯定理。 定理 设在行列式D中任意取定了k（1kn-1）个行，由这k

20、行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 证明 设D中取定k行后得到的子式为,，它们的代数余子式分别为定理要求证明D=。根据引理，中每一项都是D中一项而且符号相同。而且和无公共项。因此为了证明定理只要证明等式两边项数相等就可以了。显然等式左边共有n！项，为了计算右边的项数，首先来求出t，根据子式的取法知道t=因为中共有k！项，中共有（n-k）！项。所以右边共有tk！（n-k）！=n！项。证毕。 例14 计算n阶行列式。 解 。 例151 计算n级行列式。 解 将第n行依次与第n-1行，n-2行，2行对换，经过n-2次行的对换成为第2行，再将第n列依次与第n-1，n-

21、2，2列交换，经过n-2次列交换成为第2列，于是第1，2行按拉普拉斯定理展开：。 行列式的拉普拉斯定理也适用于计算所有的行列式，不同的是它不仅可以计算低阶的行列式，还可以计算高阶的行列式，使它们计算起来更加方便。六、循环矩阵的行列式的计算方法 在介绍此方法之前，我们首先来看看几个重要的概念。 定义1 n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使AB=BA=E这里E是n级单位矩阵，即：E=那么B就称为A的逆矩阵，记为。 定义2 记A是数域p上一n级矩阵，是一个文字，矩阵的行列式，称为A的特征值多项式，矩阵A的特征多项式的根称为A的特征值。 因此，如果只写出特征多项式的前两项与常数项，就有：由根与系

22、数的关系可知，A的全体特征值的和为称为A的迹，而A的全体特征值的积为。 下面我们就来介绍有关循环矩阵的行列式计算。 定义 1 设是n个复数，称矩阵A=，是以为元素的n阶循环矩阵。 引理15 设A是复数域上的n阶矩阵，是A的特征值， 是复数域上的m次多项式，则矩阵A的多项式的特征值是。 定理1 设A是以为元素的n阶循环矩阵，则矩阵A的行列式其中是n次单位根。 证明 取，因为,所以的特征值为的根，设为。 令则A=由引理1知A的特征值为，故而证毕。 推论1 设A是以为元素的n阶循环矩阵，则A可逆的充分与必要条件是与互素，即=1。 证明 由 A可逆的充分与必要条件是，即与没有公共根，从而=1，证毕。推

23、论2 若与互素， 则,都与互素。 证明 因为分别以的系数为元素的循环矩阵和以的系数为元素循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由此推论1便可推出此推论。证毕。 推论3 ,是的根则是整数且可被n整除。 证明 由定理1, 是元素为整数的矩阵的特征值，从而是迹，且等于，故推论成立。证毕。 定义2 设是n个确定复数，Y是任意确定的非零的复数，称矩阵A=为n阶Y-循环矩阵，也称广义循环矩阵，简记为。注：定义2中的Y=1就是定义1。定理2 设n阶Y-循环矩阵A=,则矩阵A的行列式其中是多项式的n个不同的根。证明 令是多项式的n个不同的根，则，令由 两边取行列式，再由行列式的性质及，得证毕。例16 =,其中是的

24、根，而，通过计算得：。例17 已知A=，求矩阵A的行列式：。 解 设，且令的根为，则由定理1知通过计算得。综上所述，我们知道n阶循环矩阵是n阶Y-循环矩阵的特例，故只要矩阵的结构如Y-循环矩阵的均可用此种方法进行计算。 总结以上主要介绍了计算行列式的几种常用的方法，通过对这几种方法的熟练掌握和灵活运用，最终会使行列式的运算简洁、方便、准确，使我们得到所需要的结果。因此，行列式的计算方法是人类社会和经济生活中一种不可或缺的工具。参考文献：1 武汉教育学院编：高等代数，武汉，高等教育出版社，1988。2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编：高等代数，北京，高等教育出版社，1988。3 王品超编：高等代数新方法（下），北京，中国矿业大学出版社，2003。4 李师正，张玉芬等编：高等代数解题方法与技巧，北京，高等教育出版社，2004。5 贾璐，姚光同编：有关循环矩阵的行列式计算及其应用，信阳师范学院学报（自然科学版），2005（18）（3）。忽略此处. 29