金融创新的经济效应与最优衍生品设计.doc

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1、金融创新的经济效应与最优衍生品设计金融创新的经济效应与最优衍生品设计 内容摘要：本研究的目的是建立在低风险与不完备市场的假设下，探讨金融创新对于市场和社会福利的影响，而后从社会规划者的角度，设计一个最优衍生性资产。研究所得到的结论为：在低风险及无交易成本存在的假设下，最优的衍生性资产是其标的资产的报酬中风险项的二次式，如最简单的期权。然而，如果在模型中加入资产的交易成本后，上述关于创新的社会福利效应及最优衍生品的结论是否依然成立，则有待后续的研究。关键词：金融创新；社会福利；最优衍生品设计JEL Codes: C63, D52, G12作者简介：王艺明，1976，男，汉族，福建厦门人，厦门大学

2、经济学院博士、讲师。论文发表在经济研究、统计研究、数量经济技术经济研究和投资研究等期刊上。该论文研究领域为数理经济与计量经济学目录一、绪论二、文献探讨（一）资产市场均衡分析近似方法（二）金融创新的经济效应1、Detmeple and Selden（1991）2、Elul（1995）3、Cass and Citanna（1998）4、Schemedders（2001）5、小结（三）最优衍生品设计三、研究方法（一）非奇点时采用的局部近似方法1、泰勒级数近似2、解析函数的隐函数定理（二）分岔方法（三）Judd and Guu模型1、低风险（small risks）假定2、低风险条件下的资产组合需求3

3、、存在单一风险资产条件下的资产市场均衡4、存在单一衍生资产条件下的资产市场均衡四、模型I：存在有限类交易者（一）风险容忍度1、传统风险容忍度2、偏态容忍度（Skew tolerance）3、峰态容忍度（Kurtosis tolerance）（二）存在三类交易者1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计（三）存在M类交易者1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计五、模型II：存在有限类风险资产（一）存在两类风险资产1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计（二）存在N类风险资产1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计六、模型III：存在交易成本

4、的情况1、创新的金融市场效应2、社会福利效应3、一个数值例七、结论参考文献一、绪论 一般而言，金融创新包含两种含义，一种是交易系统的革新，另一种是将新的资产引进市场。而本文所研究的金融创新是指第二种解释，我们假设新引进的资产的报酬可以分解为两部分，一部分在已有资产的跨度空间（spanning）之内，另一部分则包含描述创新的随机项，由此我们可以应用定价公式如CAPM或CPF（Luenberger, 2002）来为其定价。现有文献的研究结论通常认为，金融创新的社会福利效应是不确定的（uncertain）。Hart（1975）对该问题的讨论指出，“如果一个经济体中包含超过一种产品，或持续超过两个阶段

5、，那么其均衡通常不是帕累托最优的，一般的连续性和凸性假设下的均衡可能不存在。不存在的原因是，当市场不完备（incomplete）时，消费者预算函数通常不是上半连续的（upper semi-continuous）（更进一步，该不连续导致消费者需求函数的不连续）。”他研究得到的结论是，“如果我们从市场不完备开始，开放新市场可能使情况恶化而不是好转。只有当所有的不完美（imperfection）消除后（即所有的市场均开放），我们才能确信可获得任何整体效用的提升。” Elul（1995）在其文献述评中指出，当市场不完备时，分析金融创新遇到的困难在于，“引进新资产通常对经济产生一个不连续的，而不是平滑（

6、smooth）和可微（infinitesimal）的变化。这是因为，不可能仅加入少量该资产，一旦引进某资产，经济主体即可任意买入或卖空该资产。”他提出一个可行方法以解决该问题，通过该方法，我们仅需要考察这么一些资产，当它们被引入均衡的经济体时，没有经济主体愿意买入或卖出该资产。Cass and Citanna（1998）提出分析不完备市场中金融创新的社会福利效应的另一种方法，所得到的结论是，新资产的引进可以使个体的福利增加或减少，而且给出了在一般均衡模型中，对金融结构的某些创新可以提高福利水平的条件。上述研究的结论似乎有悖于经济常理。因为不完备市场均衡通常是次优的（suboptimal），而金

7、融创新使金融资产的跨度空间（spanning）扩大了，使经济主体（agent）可获得更多的工具应用于风险管理，理应能够提高经济体中每个人的效用。该观点为一些证券监管部门所接受，如美国证券交易委员会（S.E.C.）允许任何公司发行股票，但前提是必须完全公开其财务状况。相反的，美国商品交易管理委员会（CFTC）则会考虑更多问题，除了信息披露的透明度外，还要考虑引进新的期货合约对现货价格的影响等。该问题的复杂性就在于，过去用于金融创新建模的单商品世界（one-commodity world）模型无法捕捉新资产与旧资产及其他商品间存在的间接效应。而且金融资产市场的精确均衡分析是学界没有完全解决的问题，

8、只有在少数情况下，我们才能求解出资产的均衡价格和交易量，这增加了该问题研究的难度。近期该领域研究的一个进展是Schemedders（2001），他给出了具有三种证券和交易成本的两阶段模型的计算方法，对于金融创新的福利效应，在一些数值的例子中得到与传统观点相悖的结论，即个体可能获利或损失，但整体福利效应为正向。然而，Schemedders（2001）模型有一定局限性，仅适用于特定问题。近期关于金融市场均衡分析的一个重要进展是Judd and Guu（2001）的研究。他们应用分岔（bifurcation）方法计算资产需求和资产市场均衡的泰勒级数近似（Taylor series approxima

9、tion），也即，得到低风险条件下完备和不完备资产市场均衡的近似解。Judd and Guu（2001）的方法较传统的或有状态方法（contingent state approach）更为实际和直观，特别是对不完备市场均衡的求解与完备市场相同，较为简单、迅速。关于金融创新的社会福利效应，Judd and Guu研究认为，在低风险假定下，如果金融系统中有两类经济主体和两种资产（债券和股票），引入新衍生品后个体可能获利或损失，但整体福利效应为正向。Judd and Guu的结论与Schemedders类似，都与传统观点相悖。本研究旨在对Jadd and Guu模型作更进一步的探讨与扩展，在模型中引

10、入更多金融资产和交易者，并将交易成本引入他们的模型中，研究金融创新对市场和社会福利的影响，而后从社会规划者（social planner）的角度，设计一个最优衍生性金融资产。 在本文的第二部分，我们讨论资产市场的均衡分析、金融创新的社会福利效应和最优衍生品设计的相关文献。在第三部分，介绍所采用的主要数学工具泰勒定理、隐函数定理和分岔方法，及Judd and Guu模型的基本数学思路。在第四、五部分，我们将Judd and Guu基准模型一般化，引入更多交易者和更多风险资产，得到一般化的公式，分析金融创新的市场效应和福利效应，并进行最优证券设计。在第六部分，我们考察包含资产交易成本的模型，分析其

11、如何影响交易者的投资决策。最后是结论。二、文献探讨 本文主要探讨与本研究相关的资产市场均衡分析、金融创新的经济效应和最优衍生品设计等三方面的文献。（一）资产市场均衡分析近似方法 金融资产市场的精确均衡分析是学界没有完全解决的问题，只有在少数情况下，我们才能求解出资产的均衡价格和交易量。许多研究假设市场是完备的（complete），也即均衡是有效率的，符合某些社会规划者（social planner）的规划。该方法的局限性在于，忽略了资产市场中存在的交易成本、税收和不完备性（incompleteness）。Judd and Guu（2001）的研究成果部分地解决了该问题，他们应用分岔（bifur

12、cation）方法计算金融资产均衡的近似值，且不需要假定资产市场是完备的。其模型应用泰勒（Taylor）级数近似地表达金融资产的均衡价格和持有量，自变量为交易者的偏好参数，如绝对风险厌恶系数等，和资产收益的统计量，如均值、方差和偏度等。应用这些变量可描绘低风险条件下均衡的特征。通过高强度代数运算，分岔方法可以告诉我们均衡的数量性质，以及得到某些问题的均衡解的数值近似。 所得到的结果实际上是均值方差偏度框架下的资产需求与均衡定价理论，类似于Samuelson（1970）的资产需求理论。与目前流行的或有状态方法（contingent state approach）相比，该方法更为直观。目前关于资产

13、市场不完备性的研究框架侧重于或有状态的数量和资产数量之差。如Hart（1975）、Cass and Citanna（1998）和Elul（1995）关于金融创新福利效应的结论就取决于资产缺失的数量和经济主体（agent）的数量。但要应用这种方式来说明现实金融市场的不完备程度很困难，因为我们无法确定或有状态的数量，以及存在多少类经济主体。而且，事实上，资产市场不完备对经济行为的影响更多取决于风险的统计特征和投资者偏好的分散化程度，而非状态和经济主体的数量。不同经济主体的数量并不能很好地说明其分散化的程度。如一经济体中存在100类投资者，但其风险厌恶系数均接近于平均水平；而另一经济体中存在10类投

14、资者，但其风险厌恶系数均显著不同，显然后者的分散化程度高于前者。同样，或有状态的数量也不能很好地描绘风险的大小和特征。而Judd and Guu（2001）的框架及本文的进一步扩展，仅应用资产收益的矩（moment）和交易者的效用参数来刻画均衡的近似特性。由于资产收益的矩较或有状态的数量更易在现实市场中观察到，因此采用该方法更为实际和直观。 该方法类似于数理经济学中的标准线性化和比较静态方法（standard linearization and comparative static method）。基于隐函数定理（Implicit Function Theorem, IFT）的线性化方法是计算

15、非线性关系的线性近似的重要工具。在Judd and Guu（2001）的框架中，当风险消失时，所有资产均可完全替代，个体投资者的组合不能确定，即零风险情况下的均衡组合不能确定，因此不能应用IFT。而需要应用分岔理论，该方法是罗必塔（LHospital）法则的扩展。而且由于在零风险时偏导数矩阵退化（singularity），所以应用该方法需要计算高阶近似，而不仅仅包括常见的一阶项。 分岔方法的特点在于对完备和不完备资产市场均采用相同的处理方式。而采用传统方法时，不完备市场的情况要比完备市场复杂得多（参见Magill and Quinzii（1996）的详细讨论）。分岔方法侧重于考虑低风险（sma

16、ll risk）的情况，由于没有对资产的跨度（span）作假设，因此可应用于求解具有不完备资产市场的经济体的均衡。而这对于传统方法是很困难的，因为此时超额需求函数（excess demand function）不连续。Brown et al.（1996）和Schmedders（1998）给出了资产市场不完备时求解均衡的算法，和他们的方法相比，分岔方法更为简单、直接和迅速。 Judd and Guu（2001）的研究给出了该方法的基本数学思路。本研究旨在对Jadd and Guu模型作更进一步的扩展与应用，在模型中引入更多金融资产和交易者，并将交易成本引入他们的模型中，研究金融创新对市场和社会福

17、利的影响，而后从社会规划者（social planner）的角度，设计一个最优衍生性金融资产。（二）金融创新的经济效应前文的分析已经指出，传统观点通常认为，衍生资产的引入对其标的资产的价格会有影响，而金融创新的社会福利效应是不确定的。现将该领域近年来的重要文献介绍如下。1、Detmeple and Selden（1991）Detmeple and Selden考察了一个不完备金融市场的一般均衡模型，模型中存在一种股票和以该股票为标的资产的看涨期权，由分散的投资者交易，他们指出，“股票与期权市场存在互动关系”，因此，对新资产定价时不能把股票价值视为外生变量。在一个传统的均值方差分析框架中，他们研

18、究指出，“期权的引进提高了股票的均衡价格，进而降低了股票收益的波动”。传统的衍生资产评价模式采用套利方法。在完备市场假定下，衍生资产的回报（payoff）可用已有资产的组合复制。根据无套利假定，衍生资产的价值应该等于其复制组合的价值。也即，标的资产的价格是外生给定的，与其衍生资产合约无关。而Detmeple and Selden则证明，在不完备市场中，股票的价格会受到其期权的契约特征（执行价格）的影响。当新期权（以看涨期权为例）引入，具有高风险评估（high risk assessment）的投资者会卖出股票而买入期权，希望从股价的大幅变动中获利，也即，将期权视为股票的替代（substitut

19、e）。相反地，具有低风险评估（low risk assessment）的投资者则将期权视为股票的补充（complementary），会买入更多股票而卖出期权。而正由于其低风险评价，第二类投资者对市场结构变动的反应更为强烈。因此从整体上看，股票需求会增加，股票价格会上涨，股票收益的波动会降低。本研究应用资产市场均衡的近似方法，从投资者风险偏好的角度重新考察新衍生品的市场效应，得到不同的结论。2、Elul（1995） Elul的研究认为，在一个有超过一种消费商品（consumption good），且有足够多的未保险的自然状态（uninsured states of nature）的经济体中，通过

20、引入适当的新资产，可以实现对任何一般均衡点的效用水平的任意影响，甚至可以使得所有经济主体的效用均恶化。应用该模型可以解释Hart（1975）所举的关于垃圾债券（junk bonds）的例子。其结论与关于创新的经济直觉相悖，即创新使经济主体获得更多的财务机会，理应提高其效用水平。 已有研究发现，衍生资产会影响其标的资产的价格，这是美国禁止洋葱（onions）期货合约交易的原因。而Elul更进一步指出，在一般均衡模型中，金融创新的效应会溢至看似与新资产无关的市场，一个典型的例子就是垃圾债券。从一些经济现象中可以发现，这种债券的引入在某些方面对经济似乎是有害的，它使就业和劳动力价格的波动增大，甚至是

21、与发行者不直接相关的行业。对于无法分散化的经济主体，其人力资本（human capital）相关风险会增大。然而垃圾债券并非全无经济功能。Elul则证明，几乎对于任何经济，只要其满足资产、经济主体（agents）、消费商品和状态（states）数量的一定条件，就可以找到一种证券，引入后会使的新均衡帕累托劣于（Pareto-inferior）旧均衡；也可以找到一种证券，引入后会使所有经济主体的效用均提高。 将Elul模型与Judd and Guu模型相比较，我们可以发现，在分析创新的福利效应时，前者必须考虑或有状态数量与资产、经济主体、消费商品数量间的关系，而正如前文所指出的，要用这些变量来说明

22、现实金融市场的不完备程度很困难。因为我们无法确定或有状态的数量，以及存在多少类经济主体。而后者仅应用资产收益的矩和交易者的效用参数来刻画均衡的近似特性，因此更为实际和直观。另一方面，Elul证明，创新的福利效应与资产、经济主体数量相关，特别是金融创新效应会从资产市场外溢至其他市场，而Judd and Guu模型仅考虑资产市场的均衡，因此对Judd and Guu模型作进一步扩展，考虑多类交易者、风险资产的情况，特别是资产市场和其他市场的同时均衡很有必要。3、Cass and Citanna（1998） Cass and Citanna提出分析不完备市场中，金融创新的社会福利效应的另一种方法。其

23、模型建立了以下金融市场环境，用表示状态的数量，表示资产的数量，表示家庭（households）的数量，而市场不完备的程度显著大于家庭部门的异质（heterogeneity）化程度，即。他们证明，存在一个资产的集合，将其引入后会使每个家庭的福利水平均提高；同时存在另一个资产集合，将其引入后会使每个家庭的福利水平均降低。 他们的模型需要对市场不完备的程度做假设，因为独立政策工具（independent policy instruments）的数量应该至少等于规划者要实现的目标的数量。同时，如果要改变资产市场的配置（configuration），所需要的独立工具的数量至少应该等于状态数和现存资产数之

24、差。因为新资产的选择对资产市场配置的改变，满足套利定价和市场出清条件，同时扩大了由现有资产所构成的跨度空间。而该空间的维度（dimension）由状态数和现存资产数之差决定。Cass and Citanna模型限定市场不完备的程度主要基于技术方面的考虑，使问题更易于处理。他们的研究结论是，任何能够实现帕累托改进的创新的先决条件是市场不完备程度与经济的内在异质化程度（degree of inherent heterogeneity）间的关系，而后者用存在的多少类家庭（types of households）来表示。 Cass and Citanna指出，衡量经济的异质化程度应该是经济体中存在多少

25、类（types）家庭，而不是家庭的数量。可能存在大量的家庭，但是属于同一类或接近同一类的。Cass and Citanna模型和其他或有状态模型的缺陷就在于，其金融创新福利效应的结论取决于资产缺失的数量和经济主体（agent）的数量。但要应用这种方式来说明现实金融市场的不完备程度很困难。事实上，资产市场不完备对经济行为的影响更多取决于风险的统计特征和投资者偏好的分散化程度，而这正是本文所采用方法的优势。4、Schemedders（2001） Schemedders的研究应用存在交易费用的不完备证券市场一般均衡模型，分析交易所（entrepreneurial exchange owner）的内生

26、资产创新行为。假设一个垄断性的造市商能够在市场中引入新期权，并向交易该期权的投资者按比例收取交易费用。造市商的目标是选择该证券及其交易费用，以使其收入最大化。应用Duffie and Rahi（1995）证券创新的两阶段模型，Schemedders的研究分为两步，第一步，计算具有三种证券和交易成本的两阶段模型的均衡；第二步，引入垄断性的造市商。造市商选择期权的执行价和交易费用，以使其收入最大化。通过求解模型，可以得到做市商的期权回报（payoffs，由其执行价决定）和交易费用收入的最优组合。Schemedders考察了经济主体的两种交易动机，一是经济主体间有相同的判断（homogeneous

27、belief）和不同的风险偏好（heterogeneous levels of risk aversion）而产生的风险分担（risk sharing）动机，即较为厌恶风险的投资者会同时卖出股票和（看涨）期权，而买入债券；二是主体间有相同的风险偏好（identical levels of risk aversion）和不同的判断（heterogeneous belief）而产生的投资组合再调整（re-balancing）动机，即高风险评估（high risk assessment）的投资者会卖出股票，而同时买入债券和期权。研究发现，收入最大化的期权总是会使标的证券的价格下跌；与风险偏好的差异想

28、比，投资者不同的判断会显著增大期权的交易量。 Schemedders模型只给出数值例，而无法得到解析解。其出发点与传统的或有状态模型和Judd and Guu模型均显著不同，是从期权交易所（或做市商）的角度分析确定收入最大化期权及其交易费用，进而分析期权引入的价格和福利效应。其方法的缺点是难以得到模型的解析解，而只能应用于分析数值例。5、小结关于金融创新的经济效应，我们重点讨论了四篇文献。其中Elul（1995）和Cass and Citanna（1998）主要应用或有状态方法讨论金融创新的社会福利效应。他们研究认为，金融创新的社会福利效应与或有状态数量、资产数量和经济主体数量相关，特别是会从

29、资产市场外溢至其他市场，可能使每个主体的效用均提高，也可能使每个主体的效用均降低。因此设计合适的衍生证券是监管机构应着重关注的问题。Detmeple and Selden（1991）研究了金融创新的市场效应，发现在不完备市场中，股票的价格会受到其期权的契约特征（执行价格）的影响。Schemedders（2001）是从期权交易所（或做市商）的角度分析确定收入最大化期权及其交易费用，进而分析期权引入的价格和福利效应，其结论与前面的文献有较大分歧。通过与上述研究的比较，我们可以发现Judd and Guu（2001）模型的优劣势，及进一步扩展的方向。（三）最优衍生品设计关于最优证券设计侧重于解决以下

30、问题，如何在不同的自然状态（states of nature）间配置证券的回报（payoff），以使发行者的收入最大化。传统研究较少涉及该问题，资本结构和一般均衡理论的文献通常将公司证券发行视为外生的。只有少数从不对称信息角度出发的文献，如Duffie and Jackson（1980）和Silber（1981）关于期货合约设计的研究，及Williams（1986）关于公司证券最优合约的研究。而Allen and Gale（1988）和上文介绍的Schemedders（2001）的研究则采用新的方法，通过引入证券发行的交易费用，建立不完备市场模型，证券发行者通过证券设计和选择交易费用使其收入最

31、大化。在该模型中，市场结构是内生的。Allen and Gale（1988）提出关于最优证券设计的理论，目的是使发行者的利润最大化。他们引入证券发行的交易成本，发展了一个证券发行由外生决定的模型。最终结论为：证明了均衡的存在性和相对有效性（constrained efficiency）；若均衡时证券数量超过状态（states）的数量，即市场是不完备的，无法实现完美风险分担（first-best risk sharing），均衡时证券数量的上界是，其中是不同类公司的数量，是不同类消费者的数量；得到与Modigliani and Miller（1958）不同的结论，存在交易费用情况下，公司的价值与

32、其财务结构相关；“在相对一般的条件下，债券和股票不是最优证券”；“交易动机来源于赋禀和风险偏好的差别”；若卖空无成本，则不存在均衡；若卖空的成本较低，则均衡存在与否取决于证券的发行成本。Schemedders（2001）的研究在上一部分已有论述，这里不再赘述。Judd and Guu（2001）及本文的扩展从另一角度研究最优证券设计的问题。如果金融创新的社会福利效应为正，那么从社会规划者的角度，就可以找到一种新衍生品，引入该证券后，将使社会福利的提高最大化。与Allen and Gale（1988）和Schemedders（2001）的假设相比，Judd and Guu（2001）及本文所做的

33、假设，更符合证券监管部门所面对的情况，即是以社会福利水平的提升为目标，而不是以交易所的收入最大化为目标。三、研究方法（一）非奇点时采用的局部近似方法局部近似方法（local approximation method）的基础是微积分中的一些基本定理，通常包括泰勒定理和隐函数定理。1、泰勒级数近似最基本的局部近似方法就是应用泰勒定理（Taylors theorem）。多元函数的泰勒定理（Taylors Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），参见文末数学附录。：且是的内点，假设在的某开领域内连续，且有直至阶的连续偏导数。那么对于所有的基于点的泰勒级数近似，是应用点导数

34、构造的多项式。该近似在点附近表现良好。当偏离时，近似的准确性衰减。在点的较大领域内，我们可应用有限阶泰勒级数得到很好的近似。当时，“是的阶近似”可表示为：该式说明，逼近的误差的上界是，其中是任意大于0的常数。因此对于任何接近的，近似函数很接近。上述的泰勒级数即为原函数在点（非奇异）的阶近似，因为其误差项为。2、解析函数的隐函数定理我们分析所采用的另一个工具是解析函数（analytic function）的隐函数定理（Implicit Function Theorem, IFT）。隐函数定理（IFT） 引自Judd and Guu（2001），参见文末数学附录。：假设在有无穷阶偏导，且。若非奇异

35、（nonsingular），则存在唯一的函数，在有无穷阶偏导，且对于某开领域中的，有。在的偏导可以通过的隐微分（implicit differentiation）计算得到。IFT说明，如果非奇异，我们可以通过计算在的偏导数。如在的梯度（gradient）为结合泰勒定理和隐函数定理（IFT），我们可以得到由隐函数定义的在附近的局部多项式近似。（二）分岔方法应用上文的隐函数定理，前提条件是非奇异，而Judd and Guu（2001）的资产市场分析方法需要计算的隐函数近似，并不满足该条件。解决的办法是应用分岔方法。我们首先给出一般定理，然后再应用于解决一些资产市场问题。假设有二阶偏导，且由隐函数定

36、义。显然，对于不同的，我们可以通过求解得到对应的值。接着我们定义分岔点（bifurcation point）。分岔点（bifurcation point） 引自Judd and Guu（2001），参见文末数学附录。：是的分岔点当且仅当，经过时，的解的数量会发生变化，并存在两条不同的参数路径，有且，。分岔点的一个简单例子是，函数上的点。若，则有唯一解；若，则任意均为的解。因此当经过时，“的解的数量会发生变化”，是一个分岔点，的两个解是和。在点上，不能对直接应用隐函数定理，因为此时的雅可比行列式（Jacobian）是奇异的。假设我们侧重考察的情况，而不是、取任意值的情况，因为我们希望了解如何随变

37、动而变动。此时可应用分岔方法，一元函数的情况如下：一元函数的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），参见文末数学附录。：假设函数在的某领域内有无穷阶偏导，且对于所有的有。假设, 则是一个分岔点，且存在的某个开领域和函数，有无穷阶偏导，时，当时。根据Zeidler（1986）的方法，如果假设则和可以定义为应用上述定理就可以解决的问题。对所有的有，而。通过上述公式可以计算得到，而更高阶导数为0。尽管该例看似简单，但实际上Judd and Guu（2001）和本文所要解决的问题与此类似。该框架还可以扩展到多元函数的情况。多元函数的分岔定

38、理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），参见文末数学附录。：假设在附近有无穷阶偏导，且对于所有的有。假设 那么存在的某个开领域和函数，有无穷阶偏导，时，当时。分岔定理说明函数有无穷阶偏导，可以应用多元泰勒级数逼近。其一阶导数定义为上文给出的分岔定理假设为0矩阵，实际上有的扩展定理假设是奇异的。在本文的研究中，仅需要应用上文给出的基本定理，而不必考虑更复杂的情况。（三）Judd and Guu模型为便于后文的进一步分析，我们首先简要介绍Judd and Guu模型的基本框架和结论，包括模型的低风险假定、低风险条件下的资产组合需求、存在单一

39、风险资产条件下的资产市场均衡、存在单一衍生资产条件下的资产市场均衡等几个部分。1、低风险（small risks）假定Judd and Guu模型的最关键假定就是低风险假定，这并不是指资产市场中的实际风险很小，而是基于以下三方面的理由：首先，Judd and Guu两阶段模型中的时间段是指两次交易之间的时间段。由于目前的资产市场通常流动性好而且交易成本低，因此可以合理地假定交易之间所产生的风险较小。其次，低风险假定下的结论可能具有一般意义。例如，近似结果可以为某些理论假说提供反例；模型的一般结论在低风险条件下成立。最后，采用低风险假设可以避免对投资者偏好和证券收益作假设。Judd and Gu

40、u研究中所得到的关于资产配置和福利效应的一般化公式，仅依赖于资产收益的矩（moments）和投资者的效用函数。该假定也给出了进一步研究的方向，如发展动态模型，以检验低风险条件下静态分析所得到的结论的可靠性；考察高风险假定下的情况，以检验所得到的结论的稳健性（robust）。2、低风险条件下的资产组合需求假设投资者的总财富为。而市场上存在两种金融资产，无风险资产债券和风险资产股票。1单位货币的债券投资的回报是1单位货币，即假定无风险收益为市场的基准收益。1单位货币的股票投资的回报是。若投资者持有的股票份额为，则其期终财富为。假设投资者选择以使其效用最大化，其中为凹效用函数。Judd and Gu

41、u证明，时为风险容忍度（risk tolerance）和单位方差的风险溢酬（risk premium）的乘积。关于风险容忍度、偏态容忍度（Skew tolerance）和峰态容忍度（Kurtosis tolerance）的详细定义在后文给出。还可以进一步计算低风险条件下，即接近0时值的泰勒序列近似其中是时的值。通过计算、和更高阶的导数，可以得到的近似值。若市场中存在多种风险资产，求解风险资产需求的近似值时需要应用多元函数的分岔定理。3、存在单一风险资产条件下的资产市场均衡接着Judd and Guu将低风险条件下资产组合需求的结论应用于均衡分析。其模型为两阶段的纯交换模型，经济主体在0期交易资

42、产，而在1期消费资产。市场中存在两种金融资产，无风险资产债券和风险资产股票。Judd and Guu称该经济系统为经济系统。与前一部分不同的是，还需加入交易者的预算约束条件和市场出清（market clearing）条件。根据交易者目标函数（效用函数）最优化的一阶条件，可以得到一组方程，对其应用多元函数的分岔定理，可以求解均衡时的股票投资份额和股票交易价格的近似值。实际要得到的是风险的价格而不是股票的价格，因此模型将股票价格定义为，其中为经济系统中的风险溢酬。应用分岔方法得到和，进而可以计算和的一阶近似，即和当足够小时，上式可以告诉我们和的基本特征。4、存在单一衍生资产条件下的资产市场均衡在上

43、述模型中进一步引入新衍生性资产，扩大资产市场的跨度空间。假设经济系统中衍生品的回报为，价格为。可分解为两部分，一部分在股票和债券的跨度空间内，另一部分与股票和债券正交，即，其中是的均值，是与的协方差，是股票回报中的风险项，而非零随机变量代表中的创新部分。用表示交易后衍生品的持有量。对股票价格的假设与上一部分相同，而衍生品的价格假设为。与上一部分类似，应用多元函数的分岔定理，可以求解均衡时的、和值及更高阶的导数，进而得到、和的泰勒级数近似。Judd and Guu（2001）的研究给出了低风险假定下求解资产市场均衡的近似方法。本研究将其模型一般化，考察市场中存在有限类风险资产和交易者，和存在交易

44、费用时的情况，并进一步探讨金融创新的市场和社会福利效应，及最优衍生品设计。四、模型I：存在有限类交易者 Elul（1995）和Cass and Citanna（1998）的研究认为，金融创新的福利效应受市场中交易者（家庭）的数量的影响。因此我们首先考察交易者数量对金融创新的经济效应的影响，通过在Judd and Guu模型中引入更多的（有限类，或M类）交易者，而不仅是两类交易者，进行金融创新的市场效应和社会福利效应的分析，并进行最优证券设计。为便于分析，先介绍由Judd and Guu所定义的一些代表交易者偏好的效用参数。（一）风险容忍度（Risk tolerance）1、传统风险容忍度 （1

45、） 传统风险容忍度通常被经济学家应用于描述交易者的风险厌恶程度。2、偏态容忍度（Skew tolerance） （2）偏态容忍度包含传统风险容忍度和谨慎度（prudence）以衡量预防性储蓄动机（precautionary saving motive）的强度。在Judd and Guu及本文的研究中，偏态容忍度被应用于描述一些重要结论。由于传统经济理论中没有对的正负性做假设，所以偏态容忍度的符号也不确定。但在本研究中我们假设（参考经济研究中常用的CRRA类效用函数的定义），因此偏态容忍度也为正 对谨慎度（prudence）的详细讨论，可参考Kimball（1990）。3、峰态容忍度（Kurto

46、sis tolerance） （3）峰态容忍度用于描述交易者面对高阶衍生品时，其效用函数的行为。（二）存在三类交易者我们首先讨论市场存在三类交易者的情况，到下一部分再扩展至M类交易者的情况。整个模型可以描述为：考虑一个两阶段（）和低风险（small-risk）的模型，模型中包含三类交易者和一个金融市场，在时 模型中两阶段之间的时间是指两次交易之间的时间。，市场中有债券和一种风险资产。用和分别表示类投资者在时所持有的债券和风险资产份额，。如果将一衍生资产引入模型，并假设已获得投资者的认可，我们用表示类交易者在交易后所持有的衍生资产的份额，那么在时，其总资产为： （4）上式中各变量的定义为：是债券

47、在时的报酬（payoff） 这里的报酬不是单指债券的利息，而是包括本金和利息。，用于描述整个金融结构的风险 当时，整个金融环境是确定性的。；和是具有限阶矩的随机变量，分别用于描述风险资产和衍生资产报酬的不确定性，风险资产和衍生资产的报酬分别为和。不失一般性，我们假设，并且。我们将分解为两部分，一部分可以由债券和风险资产的跨度得到，另一部分和现有资产正交，即： （5）其中是和之间的协方差，是表达金融创新的随机变量。同样的，不失一般性，我们假设。因此，类交易者面临的预算约束为： （6）其中和分别表示风险资产和衍生资产的价格，交易者试图使其在时的期望效用最大化，其中是凹的（concave） 这里我们假定交易者均为风险厌恶，避免选择角点解（corner solutions）。值得注意的是，上述设定说明，当时债券与股票的报酬相同，也就是说，当面临无风险的金融环境时，交易者的两种资产组合可以相互替换。从而我们不能直接应用隐函数定理（implicit function theorem），因为隐函数的偏导矩阵是退化的（si