数学模型在机械设计中的应用.doc

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1、数学模型在机械设计中的应用1.绪论一个国家的机械工业的技术水平和现代化程度决定着整个国民经济的水平和现代化程度，而随着生产的发展和科学技术的进步，机械设计的优劣对机械零件质量的好坏越来越起着决定性的作用，而且产品的迅速更新换代，也要求设计的过程大大缩短。因此，对机械设计实际问题进行优化，本质上是运用计算机快速高质量地完成传统设计的“评价一再设计”过程。貌似机械设计与数学建模毫无关联，但为了完成人机对话， 第一步也是自重要的一步就是必须将机械设计实际问题数学化，即抽象成为优化设计的数学模型；第二步是应用最优化计算方法的程序在计算机上求解这个数学模型。2.机械设计简介机械设计是根据用户的使用要求对

2、专用机械的工作原理、结构、运动方式、力和能量的传递方式、各个零件的材料和形状尺寸、润滑方法等进行构思、分析和计算并将其转化为具体的描述以作为制造依据的工作过程。机械设计是机械工程的重要组成部分，是机械生产的第一步，是决定机械性能的最主要的因素。机械设计的努力目标是：在各种限定的条件（如材料、加工能力、理论知识和计算手段等）下设计出最好的机械，即做出优化设计。优化设计需要综合地考虑许多要求，一般有：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中最可靠性、最低消耗和最少环境污染。这些要求常是互相矛盾的，而且它们之间的相对重要性因机械种类和用途的不同而异。设计者的任务是按具体情况权衡轻重，统筹兼

3、顾，使设计的机械有最优的综合技术经济效果。随着机械工程基础理论和价值工程、系统分析等新学科的发展，制造和使用的技术经济数据资料的积累，以及计算机的推广应用，优化逐渐依靠科学计算。服务于不同产业的不同机械，应用不同的工作原理，要求不同的功能和特性。各产业机械的设计，特别是整体和整系统的机械设计，须依附于各有关的产业技术而难于形成独立的学科。因此出现了农业机械设计、矿山机械设计、纺织机械设计、汽车设计、船舶设计、泵设计、压缩机设计、汽轮机设计、内燃机设计、机床设计等专业性的机械设计分支学科。但是，这许多专业设计又有许多共性技术，例如机构分析和综合、力与能的分析和计算、工程材料学、材料强度学、传动、

4、润滑、密封，以及标准化、可靠性、工艺性、优化等。3.数学模型在机械设计中的应用实例3.1基于数学模型的圆柱齿轮减速机的设计3.1.1基于数学模型的圆柱齿轮减速器的设计的优势目前通用圆柱齿轮减速机已有标准系列，但其成本与工作可靠性都不是最佳情况。现代机械普遍采用电动机驱动式，为满足工作机输入转速及转矩的要求，需要在电动机与工作机之间安装减速器，以得到合理的转速。因此，作为一种独立的闭式传动装置，减速器在现代机械领域得到广泛应用。对其进行优化设计，具有可观的经济效益。但是，此类优化模型具有高维、线性非凸、多约束及多峰值等特点，对此类问题，传统优化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时

5、，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想。应用数学建模方法对其进行了设计，在不改变原来转动零件的材质、传动比、输入功率和转速等条件下，根据可靠度要求优选出一组最佳齿轮啮合参数，从而使标准系列的减速机的体积最小，成本最低，工作可靠度达到预定要求。该模型提出的减速机的概率设计方法为通用模式，只要输入设计要求的原始数据，就能较快地计算出减速机主要零件的最佳参数。对二级圆柱齿轮减速器进行多目标优化。建立以二级圆柱齿轮减速器结构参数的多目标优化数学模型

6、，采用复合形法对实例进行结构参数的优化计算，效果是显著的并且使用matlab软件，省去人工计算多带来的误差。3.1.2 减速器数学模型设计研究a 接触承载能力一对变位齿轮传动的接触承载能力可用只与啮合参数有关的接触承载能力系数表示，其函数形式为：式中：啮合中心距；齿数比； 分度圆螺旋角； 端面压力角；端面啮合角；动载系数；齿轮圆周速度；小齿轮齿数。由上式可知，齿轮的接触承载能力系数仅与、有关，当啮合中心距和模数已定时，端面啮合角的表达式为：式中：中心距分离系数。b设计变量的确定将影响齿轮接触承载能力系数的独立参数列为设计变量，即：式中：u1高速级的齿数比； 、分别为高速和低速级齿轮传动的中心距

7、分离系数。c目标函数的确定该问题要求提高高速级和低速级齿轮传动的承载能力，同时要求两级传动达到等强度，所以这是一个具有三个指标的多目标函数问题。可以将高速级和低速级齿轮传动的承载能力系数转化为第一、二个分目标函数、。用中间轴上两个齿轮所允许传递转矩差的相对值最小来建立等强度条件，采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数。采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数围：d约束条件确定保证轴的重合度和螺旋角不大于15；高速机和低速级齿数比分配由润滑条件决定；限制低速级大齿轮直径，使其不超过原箱体，且满足中心距要求。综上所述，二级齿轮减速器的设计可以变为一个有四个设计变量、八个不等式

8、约束、三个分目标函数的多目标数学模型，应用matlab软件，对任意参数，只要输入进去，便可得出减速器设计时所要的最优解。3.2 基于遗传算法的恒力吊的优化设计数学模型3.2.1 基于遗传算法的恒力吊优化设计的优势热力发电设备中很多装置在高温下工作，例如热力发电厂的气管、水管、烟管、风管、燃烧器及空气预热器等。由于热胀冷缩的原因，在冷态和热态间，管道系统内悬吊点的热位移很大，可达几毫米、几十毫米到几百毫米。当热位移大于10毫米就要求采用恒力吊架结构，以避免管道系统产生危险的弯曲应力及不利的应力转移。恒力吊架是火力发电设备的重要辅件，且价格昂贵，但其性能直接影响到火力发电设备安全性、可靠性。传统优

9、化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想 。遗传算法 （Genetic Algorithm）是一种启发式的全局搜索和优化方法，通过比例复制、概率交叉和变异操作来实现个体的优化重组，最终达到全局最优解，是一种并行、高效及强鲁棒性的搜索算法。3.2.2 建立恒力吊优化设计数学模型采用遗传算法进行恒力吊优化设计，使恒力吊架的性能更好（恒定度数值越小，性能越高），价格更合理是追求的目标。为了满足恒

10、力吊的使用要求，提高恒力吊的工作精度，使恒定度值最小，对恒力吊机构进行优化，建立数学模型如下：a 设计变量选取载荷连杆长度、弹簧力矩杠杆长度、弹簧的刚度三个独立变量为设计变量，即：b约束条件根据恒力吊的工作要求，工作条件确定约束条件：为了保证恒力吊能在要求的工作范围内可靠地工作，要求有一定的位移余量20%；载荷连杆长度必须为正，且在一定范围之内；弹簧力矩杠杆长度必须为正，且在一定范围之内；弹簧的刚度 必须为正，且在一定范围之内。c目标函数为了保证恒力吊的恒定度值最小，提高恒力吊的工作精度，选择恒力吊的工作载荷与额定标定载荷的最大差值为最小。可以简化为：利用遗传算法解决恒力吊优化问题时主要有以下

11、几方面：a复制或选择算子：将父代的个体原封不动地传递给子代，在复制过程中，每个个体是按照适应度的大小决定其能否被复制到下一代的概率，复制算子可使群体中的优秀个体数目逐渐增加，使进化过程向更优解的方向发展，反映了自然界中优胜劣汰的法则。b交叉算子：上面的复制算子只能在现有群体中寻优，而不能产生与父代不同的个体。交叉算子可使同一代的某对个体间，按一定的概率交换其中的部分基因，从而产生新的基因组合，可望获得比父代更好的个体。c变异算子：复制和交叉算子只能在现有基因型的排列组合内寻找最优，而不能产生新的基因型，变异算子可使基因型发生变化，从而扩大寻优范围。由上建立恒力吊优化数学模型，利用matlab遗

12、传算法工具，可以得到优化出机构参数，具有较好的效果，经济效益也较高。3.3 2K-H（NGW）行星轮系概率优化设计的数学模型行星轮系在机械工程中应用甚广，从设计上保证其技术经济性能具有十分重要的意义，概率（或可靠性）优化设计是将可靠性设计与优化设计相结合的一种现代设计方法， 可以使设计的产品既满足预定的可靠性要求，又具有最佳的工作性能或参数匹配。对2K-H（NGW）行星轮系的概率优化设计方法进行研究，可以导出概率优化设计的数学模型，编制出相应的计算程序。对具体设计问题首先进行配齿计算，然后针对符合传动比误差要求的每一种齿数迭代寻优，从而得到一系列可行的优化方案，通过综合其他方面的情况做出选择。

13、通过设计设计变量、目标函数、以及约束条件，可以得出2K-H（NGW）行星轮系的概率优化设计模型为：这是一个只有不等式约束的非线性优化问题，由于齿数和模数为非均匀离散变量，所以可以选择约束非线性混合离散变量优化方法求解，也可以先将离散变量做连续量处理，在取得最优解并圆整到与其相近的离散值后，再对其余连续变量（这里为齿宽B）做降维优化搜索，从而得到可行最优解。模数的非均匀取值序列可依据国家标准（GB1357287：渐开线圆柱齿轮模数） 确定，而各齿轮的齿数则必须满足轮系的传动比条件、同轴条件和装配条件，所以，无论用哪一种优化方法，都应首先完成配齿计算确定中心轮齿数的取值序列工程设计的数学模型一般很

14、难满足具有唯一最优解的凸性条件，一般优化方法只能得到局部优化解；而一个优化方案的确定往往还要受到列出的约束以外的其他条件的限制，也就是说即便找到了理论上的全局约束最优解，实际上也未必可以实现。基于以上考虑，可采取以下步骤：a按给定的传动比误差要求进行配齿计算，确定中心轮齿数的序列值；b在每一个值下，对模数和齿宽进行寻优计算；c确定模数的凑整解；d在每一组齿数和模数下，对齿宽进行一维优化；按以上步骤可以得到一系列满足可靠性要求的优化设计方案，供设计人员按具体情况做出选择。4.展望数学模型应用于机械设计对提高设计质量，缩短研发周期起到非常关键的作用，有着广阔的应用前景，必将成为产品设计的必要步骤和

15、标准环节。目前，数学模型应用于机械设计已取得了一定的经济效益和社会效益，但其工程应用远比预期的小。主要原因有4点：a在参数选择和结构选择方面比较有效，而在方案设计与选择、决策等方面的能力有限； b建模难度大、技术性高，特别是对于动态系统，数学模型描述能力低、误差大； c方法程序的求解能力有限，难以建立复杂和性态不好的数学模型，难以求得全局最优解； d现代机械产品开发周期越来越短，而其复杂程度、性能要求却越来越高，设计趋于复杂化的多目标、多学科的集成优化，传统优化设计方法渐显单调和乏力，已不能适应创新设计的需求。随着对数学建模方法认识的深入，其在机械设计方向应用会越来越广，它的综合求解能力和使用

16、效果均会有很大的提高，主要体现在以下几个方面：a 研究对象，从简单零部件或较复杂零部件简化处理的优化设计，进入到整体优化、分步分级优化、并行优化等全过程的优化设计； b研究方法，开展多目标、多学科的建模研究，融机械动力学、现代数学、有限元、计算机技术、智能技术、计算力学和优化设计方法等为一体，形成新的、具有发展前景的、能够求解复杂数学建模的理论、方法和体系； c 优化建模，寻求广泛的目标函数和约束的组合，研究自动、智能建模技术，提高数学模型的描述能力和建模效率；d 优化算法，研究现有的模型（特别是智能模型）的组合，取长补短、发挥优点； 寻找新的模型，如最近发展的基于智能体的遗传算法、生物群体行

17、为启发的进化优化算法，以解决复杂优化设计问题； e优化程序，提高方法程序的求解能力和各个方法程序之间的互换性，并开展数学模型应用于机械设计集成环境的研究，以改善优化设计求解环境。参考文献1. 严峻.机械设计中计算机优化的方法，浙江丝绸工学院学报，1998.02,13-15.2. 濮凉贵.机械设计，北京：高等教育出版社，1982，10-12.3. 孙靖民，梁迎春.机械优化设计.北京：机械工业出版社，2011，3-5.4. 赵彦茹，贾汉明.圆柱齿轮减速机的可靠性优化设计，机械设计，1996.03：5- 6.5. 陈秀宁.机械优化设计.长沙：浙江大学出版社，2002，204-209.6. 沈重光.恒力吊架.电站辅机，2002，31-34.7. 陈伦军，陈海虹.机械优化设计遗传算法.北京：机械工业出版社.2005.07.8. 雷英杰.MATLAB遗传算法工具箱及应用.西安：西安电子科技大学出版社，2005.9. 王文博.机构和机械零部件优化设计.北京：机械工业出版社，1990.10. 董立立，赵益萍，梁林泉.机械优化设计理论方法研究综述.机床与液压，2010，38.7