基于MATLAB的信号去噪研究.doc

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1、江西理工大学应用科学学院毕业设计 基于MATLAB的信号去噪研究摘 要随着现代计算机技术的研究和发展，人们对波形去噪技术的要求越来越高。为了满足此要求，语音识别技术应运而生。这在过去的几十年中，波形去噪发展得很快，在很多方面都有很大的进展。但是要将小波去噪真正运用于实际，还有许多问题需要解决，主要为外界去噪问题和去噪精度问题。本论文对小波分别进行了时域分析、频域分析和波形分析，分析了去噪语音信号预处理问题。预处理过程包括数字化去噪信号小波去噪。文中介绍了小波分析的基本理论，小波阈值去噪法的主要思想，比较了不同阈值规则情况下不同阈值不同小波函数的去噪结果。小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它

2、在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时-频分析，借助时- 频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文简述了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。关键词：小波变化；滤波；去噪The Study of De-noising Based on the MATLAB Sign

3、alAbstractWith the development of modern computer technology, the demands on man-machine communication technologies has increased greatly. Voice-recognition technology appeared on the scene in order to satisfy this requirement. This technology which can recognition humanitys voice accuracy and execu

4、te command will be widely used and of important research value.In the past decades of years , voice-recognition technology had made a great improvement in many areas(such as Time ranging from long-Match, establish recognition model, running time, etc). The recognition rate of voice-recognition syste

5、m has reached a very high standard, especially in a quiet environment. However, the practical applications of calculus voice-recognition system existed many problem which mainly focus onde-noising and accurately-recogniting. In this paper, a voice-recognition system of non-specific people with isola

6、ted word in noisy environments is proposed. The research which based on the theoretical of Speech signal, meet a practical applications require of voice-recognition system.The wavelet analysis theory is a new signal processing theory. It has a very good topicality in time and frequency, which makes

7、the wavelet analysis very suitable for the time - frequency analysis. With the time - frequencys local analysis characteristics, the wavelet analysis theory has become an important tool in the signal de-noising. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavele

8、t analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising

9、 for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory. This paper has summarized several methods about the wavelet de-noising, in which the threshold de-noising is a simple, effective method of wavelet de-noising.Key Word:Wavelet change；Filtering；Denoisin目 录前 言1第一章 绪论21.1 研究

10、背景和意义21.2 我国去噪技术的发展历史和研究现状21.3小波分析发展状况31.3.1小波分析发展史31.3.2小波去噪的研究状况4第二章 运用的工具简介及文章总体规划52.1 MATLAB中小波变换工具箱简介52.2论文工作简单概要5第三章 小波去噪分析的基本理论63.1 从傅立叶变换到小波变换63.1.1 傅里叶变换63.1.2 短时傅里叶变换73.1.3 小波变换73.2 连续小波变换73.2.1一维连续小波变换73.2.2 高维连续小波变换93.3 离散小波变换103.4 小波包分析113.4.1 小波包的定义123.4.2 小波包的性质133.4.3 小波包的空间分解143.4.4

11、 小波包算法153.5 小波去噪原理分析153.6小波去噪阈值的初步选取与量化163.6.1 软阈值和硬阈值173.6.2 阈值的几种形式173.6.3阀值的选取18第四章 小波去噪的具体实现194.1 小波消噪的MATLAB实现194.2小波去噪函数集合194.3 小波去噪验证仿真204.4阈值去噪234.4.1阈值去噪法步骤234.4.2三种阈值去噪形式244.4.3应用于不同信号的小波去噪图形显示254.5改进方法274.6小波去噪的阈值法小结27第五章 总结与展望29致 谢30参考文献31III江西理工大学应用科学学院学院毕业论文（设计）前 言小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工

12、程师J.Morlet在1974年首先提出的，I.Daubechies1的小波十讲对小波的普及起了重要的推动作用。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。小波分析的应用领域十分广泛234。在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。在实际的计算机控制系统中，采样信号不可避免的受到各种噪声和干扰的污染，使得由辨识采样信号得到的系统模型存在偏差而妨碍了系统控制精度的提高。通信信号去噪工作

13、原理是利用噪声和信号在频域上分布的不同来进行的。在传统的基于傅氏变换的信号去噪方法中，总是使得信号和噪声的频带重叠部分尽可能小，这样在频域通过时不变滤波，就将信号和噪声区分开。但如果两者重叠区域很大时，就无法实现去噪的效果了。Donoho和Johnstone5提出的小波收缩去噪算法对去除叠加性高斯白噪声非常有效。由小波变换的特性可知，高斯噪声的小波变换仍然是高斯分布的，它均匀分布在频率尺度空间的各部分，而信号由于其带限性，它的小波系数仅仅集中在频率尺度空间上的有限部分。如何从这些受噪声干扰的信号中估计得到“纯净”的信号是建立系统高精度模型和实现高性能控制的关键。滤波器去噪是实际应用最广泛的一种

14、方法，但时常在滤除噪声的同时导致了有用信号的失真，它是从纯频域的角度来分析应该消除哪些频率范围内的噪声。1995年Donoho 和Johnstone提出了小波收缩去噪的技术，他们研究的是在叠加性高斯白噪声环境下检测出真实信号的情况，利用正交小波变换和高斯随机变量的性质对信号的小波分解系数做阈值量化，无失真的还原出真实信号。本文对Donoho -Johnstone的去噪方法做了总结推广，研究了在高斯白噪声情况下选择小波变换的去噪效果，并公式化了实际数据中的几种更复杂的噪声模型；并对Donoho -Johnstone的小波去噪方法在MATLAB环境下做了较为详尽的研究，验证了小波去噪的可靠性并对比

15、了傅里叶去噪和小波去噪的效果。第一章 绪论1.1 研究背景和意义第一级标题用3号黑体，第二级用4号黑体，三级用小四号黑体.公式序号也要用TIMES NEW ROMAN字体噪声是语言的声学表现，是人类交流信息最自然、最有效、最方便的基本手段，也是人类进行思维的一种依托1。人类对语音的研究由来已久，但最初的研究只限于基础的声学理论。随着计算机的盛行和信息时代的到来，语音通信系统应运而生，其中涉及数字信号处理，机器翻译，语音合成与识别等。噪声识别ASR（Automatic Speech Recognition）是指辨认人讲话的声音并将它们转换成数字信号输入计算机进行处理。作为智能计算机研究的主导方向

16、和人机语音通信的关键技术，语音识别技术一直受到各国科学界的广泛关注2。噪声识别技术是一项集声学、噪声学、计算机、信息处理、人工智能、通信等领域的综合技术，它的应用领域非常广泛，有语音控制系统，用语音控制系统、设备，较以往控制方法更加简单，如工业控制、计算机控制、语音拨号系统、智能家电、声控智能玩具等领域；语音输入系统代替最初的键盘输入，使操作更加简单；语音通信系统，用语音作为传输单元更加直观；智能查询系统，用户通过友好界面用语音实现系统检索，使查询更加便捷，如家庭服务、宾馆服务、旅行社服务系统、订票系统、医疗服务、银行服务、股票查询服务、信息网络查询、股票交易、应急服务、翻译系统等领域。对于汉

17、语语音识别技术应用而言，面对着有十几亿人使用中文的泱泱大国，市场需求、应用前景和经济效益都非常可观。语音识别技术既是国际竞争的一项重要技术，也是每一个国家经济发展不可缺少的重要技术支撑，研究语音识别，开发相应的产品有着广泛的社会意义和经济意义3。1.2 我国去噪技术的发展历史和研究现状采集的各种小波中常含有各种噪声，大致分为两种:相干噪声和随机噪声。相干噪声包含面波、多次波等;随机噪声包含环境噪声、测量误差等。针对不同性质的噪声有不同的处理方法，相干噪声的去除通常有切除、带通滤波、F一K域消除等方法，随机噪声的去除有F一X域预测去噪、相关加强去噪、长一L变换等方法或多种方法联合去噪。信号去噪的

18、很多方法都用到傅里叶变换，对于确知信号和平稳随机过程,傅里叶变换是信号分析和处理的理论基础，有着非凡的意义。但傅里叶变换有明显的缺陷,信号任何时刻的微小变化都会牵动整个频谱；反过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任意时间小范围的信号。实际信号往往是时变信号、非平稳过程,了解它们的局部特性常常是很重要的。人们通过预先加窗的方法使频谱反映时间局部特性，即采用短时傅里叶变换。短时傅里叶变换是用时间窗的一段信号来表示它在某一时刻的特征,显然，窗越宽时间分辨率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时，又会减低频率的分辨率。因此短时傅里叶变换不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。1.3小波分析发展状况1.3

19、.1小波分析发展史法国著名数学家Fourier于1822年提出了Fourier分析理论，结合1965年美国Bell实验室Cooley，Turky两位工程师提出快速Fourier变换(FFT)，使Fourier分析成为理论分析和数值计算结合最完美的数学工具。但是Fourier分析却不能作时频局部分析。小波分析作为Fourier变换的新发展，既保留了Fourier变换的优点，又弥补了Fourier变换在信号分析上的不足。1901年，Harr提出了小波规范正交基的思想，构造了紧支撑的正交函数系一Harr函数系。1923年，Walsh构造了区间0，1)上完备标准正交系，并广泛应用信息论、通信、计算机、

20、遥感等诸多领域，它是迄今为止人们发现的最早的小波包原型。1936 年，Littlewod和Paley对Fourier分析建立二进制频率分量分组理论，对频率按二进制进行划分，构造了一组Littlewood一Paley基。这是最早的多尺度分析(MuliscaleAnalysis)思想的来源。1946年，Gabor提出了加窗Fourier变换(Gabor变换或短时傅里叶变换STFf)，它部分解决了Fourier变换的缺点，用平移的Gaus函数对信号进行展开，使得对信号的表示具有时频局部化性质。而后Calderon，Zygnd，Stei“和Weiss等人将L一P理论推广到高维并建立了奇异积分算子理论。

21、1965年，Calderon给出了再生公式。1974年Coifman对Hardy空间H尸给出了原子分解。1975年，Calderon用他早先提出的再生公式给出了H，的原子分解，这一公式已成为许多函数分解的出发点，它的离散形式己接近小波展开，只是还没有得到组成一正规正交系的结论。真正 开 始 研究小波是在八十年代。1918年，Stormberg对Haar正交基进行了改进，证明了小波函数的存在。1954年，法国的Elf一Aquitaine公司的地球物理学家”orlet和Goupillard、Grassman,首次提出“小波”(wavelet)的概念，给出了按一个确定函数梦的伸缩平移系展开的系统理论

22、和进行信号表示的新思想。随后，Meyer证明了一维小波的存在性，并构造了具有一定衰减性质的光滑小波函数;到1986年M.Smith和TBar，提出了共扼镜像滤波器概念，这为二进紧支撑小波的构造提供了契机。同年Mallat和Meyer提出了多分辨分析(M。ltiresolutio。AnalysiS)的理论框架，为正交小波基的构造提供了一般的途径，至此，小波分析才真正形成一门学科。1898年 , 数学家DaubechieS基于离散滤波器迭代方法构造了具有紧支撑标准正交基即一系列的具有任意选定正则性的、有限支撑的、正交的尺度函数和小波函数，并将当时的所有正交小波的构造统一起来，为以后的构造设定了框架

23、图。随后她又发表了长篇综述叫，对小波理论的发展和推动起到了积极的作用，该文成为目前小波理论研究的最重要的文献之一。1989年，Mallat提出了实现小波变换的快速算法 州anat塔式算法，它的地位相当于快速傅里叶变换在傅里叶变换中的地位。1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化特性的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。1992年，在小波变换的基础上，coi伽an和wickerhauser进一步提出了小波包。(waveletpacket)的概念，并从数学上作了严格的推导。同年，cohen和DaubechieS闭提出了“双正交小波”的概念，即对同一信号

24、，其分析小波和综合小波可以是两组不同的函数系。1994年 , dalnn和Lee首先提出多小波的概念，并用Herimt样条构造了第一个多小波。在多小波的思想出现的同时，1994年sweldens提出了用提升方法来构造具有线性相位的小波变换叫，进而给出整数可逆的提升框架，使得小波变换向实用前进了一大步。如今的小波理论正日趋完善，并越来越广泛的运用于各个领域之中。1.3.2小波去噪的研究状况在信号采集、处理、传输过程中，不可避免的受到各种外来噪声的干扰。现有的对信号滤除噪声的方法归结起来大致有3种:传统的基于傅里叶变换的去噪法，相干平均去噪法和基于小波变换的去噪法。基于傅里叶变换的去噪法和相干平均

25、去噪法在消除噪声的同时，会造成数据信息的大量丢失。80年代中后期发展并成熟起来的小波理论与传统的去噪方法比较，有着不可比拟的优势。1992年，Mallat等人提出了基于信号奇异性(isgnluarity)的信号和图像多尺度边缘表示法，利用Lipschitz指数在多尺度上对信号和图像及噪声的数学特性进行描述，并提出模极大值重构滤波方法。1994年，xuyansu。提出了一种基于信号尺度间相关性的空域相关滤波算法Johnst6n等人于1995年提出了信号去噪的软闭值方法和硬闽值方法，推导出计算通用阂值的公式，并从理论上证明了该闭值是最优的口同年，Coifman提出了平移不变小波去噪。Johnsto

26、ne等人1997年给出一种相关噪声去除的小波闺值估计器。在2000年将自适应闽值和平移不变去噪思想结合起来，提出了一种针对图像的空域自适应小波闺值去噪方法，所选闭值可随图像本身的统计特性而作自适应的改变。总而言之，基于小波去噪方法的研究仍然是极其的活跃，特别是对阂值去噪方法的研究。由于这种方法简单有效，而成为目前研究最广泛的方法，近几年来不断有许多改进的闽值方法被提出，极大的丰富了小波去噪的内容。第二章 运用的工具简介及文章总体规划2.1 MATLAB中小波变换工具箱简介AMTLAB是AMHT woRKS公司于1928年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和

27、图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。MATLAB的推出得到了各个领域专家学者的广泛关注，其强大的扩展功能为各个领域的应用提供了基础。由相关领域的专家学者相继推出了憾TLAB工具箱，其中主要有信号处理(signalprocessing)，控制系统(controlsystem)，神经网络(neuralnet，ork)，图像处化(optioization)，模糊逻辑(fuzzylogic)，小波(wavelet)，通信(comunication)，统计(statistics)工具箱，而且工具箱还在不断增加，这些工具箱给各个领域的研究和工程应用提供了有力的工具。在 AMTALB的小波

28、分析工具箱(wavelettolbo)x中包含以下几类函数:小波分析中的通用函数、小波函数、一维小波变换函数、二维小波变换函数，小波包算法函数、信号和图像的消噪与压缩函数、树操作应用函数、小波分析中的1/0函数。小波变换工具箱的功能: (1)检查、研究小波和小波包的性质和特点；(2)实现一维函数的连续小波变换；(3)实现信号和信号成分的统计值；(4)实现一维、二维信号的成立分析和合成；(5)用小波包分析一维和二维信号；(6)信号、图像的减弱噪声和去除噪声。本文将主要借助小波工具箱对波形噪声进行处理。2.2论文工作简单概要本文主要讨论了利用小波全局阈值值去噪算法对测试信号进行分析，并提出二次小波

29、分解全阈值算法，与小波全局阈值去噪算法的去噪结果进行比较，得出改进的方法取得了较好的效果。第一章为绪论部分，主要介绍了本文选题背景和意义和去噪现状，以及小波分析和小波去噪的发展历史、现状，以及本文的主要工作。第二章介绍了第二章运用的工具简介及文章总体规划及MATLAB中小波变换工具箱简介和论文工作简单概要。第三章介绍了小波分析的基本理论，包括小波变换、多分辨分析、Malalt算法和用的小波基的特点。小波阈值值去噪的基本原理以及小波基的选取和尺度参数的确定，对小波全局阈值去噪方法进行分析，指出其欠缺并提出改进方法 二次小波分解全局阈值方法。第四章介绍了小波去噪的具体实现包括小波消噪的MATLAB

30、实现，小波去噪函数集合，小波去噪验证仿真，阈值去噪改进方法，小波去噪的阈值法小结，最后对实际资料进行了消噪处理。第五章是对全文的总结和对未来工作的期望。第三章 小波去噪分析的基本理论3.1 从傅立叶变换到小波变换小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小

31、波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能

32、力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。3.1.1 傅里叶变换在信号处理中重要方法之是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。但是、傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有

33、人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始或结束。这些特性是信号的最重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，尤其是对非平

34、稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如柴油机缸盖表面的震动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。3.1.2 短时傅里叶变换由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，Dennis Gabor于1946年引入了短时傅立叶变换。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 公式序号也要用TIM

35、ES NEW ROMAN字体 (3.1)其中*表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是进入分析的信号。在这个变换中，起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，是f（t）“逐渐”进行分析。因此，g（t）往往被称之为窗口函数， 大致反映了f（t）在时刻时、频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但还森堡测不准原理指出和是互相制约的，两者不可

36、能同时都任意小（事实上，且仅当为高斯函数时成立） 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。3.

37、1.3 小波变换小波变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。小波变换用的不是时间-频率域，而是时间-尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。3.2 连续小波变换3.2.1一维连续小波变换定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件） (3.2)时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得 (3.3)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波变换为 (3.4)其重构公式（逆变换）为 (3.5)由于基小波生成的小波在小波

38、变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件 (3.6)故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，在原点必须等于0，即 (3.7)为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变化满足下面的稳定性条件： (3.8)式中0AB从稳定性条件可以引出一个重要的概念。定义（对偶小波）若小波满足稳定性条件（3.8）式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由下式给出： （3.9）注意，稳定性条件（3.8）式实际上是对（3.9）式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，

39、在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和（2）平移不变性：若f（t）的小波变换为，则的小波变换为（3）伸缩共变性：若f（t）的小波变换为，则f（ct）的小波变换为，（4）自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：（1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号

40、f（t）的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的）。小波变换在不同的（a，b）之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。3.2.2 高维连续小波变换对，公式 (3.10) 存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称， （3.11）并且其相容性条件变为 （3.12）对所有的。 （3.13）这里，=，其中且，公式（2.6）也可

41、以写为 （3.14）如果选择的小波不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义 （3.15）这里，相容条件变为 （3.16）该等式对应的重构公式为 （3.17）对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。3.3 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数： 这里，且，是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为

42、(3.18)通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定（由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数即可写作 （3.19）而离散化小波变换系数则可表示为 （3.20）其重构公式为 （3.21）C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择和，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即和尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小

43、波变换(DwT)。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是sMallat于1988年发展的快小波算法(又称塔式算法)。对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分称为近似部分)和离散部分(称为细节部分)。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已经改变。依次进行到所需要的尺度。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT)，还有小波包（Wavelet Packet）和多维小波。3.4 小波包分析 短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高

44、频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q结构）。小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图3.1所示：图3.1 小波包分解树图中表示的是层数为三的小波包分解，A表示低频部分，D表示高频部分，字母后的序号表示所处的层数，即尺度数。由上图可以看出AA2分解成两个子空间。A1

45、分解成四个空间，S分解成八个子空间。小波包分解的关系式：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+ADD3+DDD33.4.1 小波包的定义在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert空间分解为所有子空间的正交和的。其中， 为小波函数的闭包（小波子空间）。现在，我们希望几拟议部对小波子空间按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。 一种自然的做法是将尺度空间和小波子空间用一个新的子空间统一起来表征，若令 则Hilbert空间的正交分解即可用的分解统一为 （3.22）定义子空间是函数是函数的闭包空间，而是函数的闭包空间，并令满足下面的双尺度方程： (3.23)式中，即两系数也具有正交关系。当n=0时，以上两式直接给出 （3.24）与在多分辨分析中，满足双尺度方程： （3.25）相比较，和分别退化为尺度函数和小波基函数。式（3.24）是式（3.22）的等价表示。把这种等价表示推广到（非负整数）的情况，即得到等价表示为 ； （3.26）定义（小波包）由式（3.23）构造的序列（其中）称为由基函数=确定的正交小波包。当n=0时，即为（3.24）式的情况。3.4.2 小波包的性质定理1 设非负整数n的二进制表示为 =0或1则小波包的傅立叶变换由下式给出： (3.27)式中定理2 设是正交尺度函数的