基于Matlab_Simulink的机械振动仿真研究设计.doc

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1、内江师范学院本科毕业论文 目 录1引言机械振动的仿真原理11.1 Matlab Simulink功能简述11.2机械振动的物理模型11.2.1简谐振动的物理模型11.2.2阻尼振动的物理模型21.2.3受迫振动的物理模型21.3 Matlab Simulink仿真原理简述42简谐振动方程的解及其模拟仿真52.1简谐振动方程的求解52.2简谐振动模型的仿真研究52.2.1基本模型的建立52.2.2 速度、加速度的监测72.2.3 动能、势能、机械能监测82.3简谐振动的图像分析93阻尼振动方程的求解和仿真模拟113.1弹簧振子做阻尼振动方程的求解113.2弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究113.

2、3阻尼振动的图像分析144受迫振动的方程的求解和仿真模拟164.1弹簧振子做受迫振动方程的求解164.2弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究174.2.1策动力频率时弹簧振子的受迫振动仿真模拟174.2.2策动力频率时弹簧振子受迫振动的仿真模拟204.2.3策动力频率时弹簧振子的仿真模拟224.3受迫振动的图像分析235几点补充说明与仿真模拟中问题分析255.1物理振动模型建立的补充说明255.2 方程求解中的补充说明255.3 仿真模拟中的问题分析256结语27参考文献28附录29致谢30摘 要机械振动主要有简谐振动，阻尼振动，受迫振动三种。对三种振动建立模型，列出振动方程，再对三种振动给定初始

3、条件，就可以利用Matlab Simulink功能对三种振动进行仿真模拟，得出振动的位移，速度，加速度，动能，势能，机械能随时间的变化关系图像。另外，我们对振动方程求解，得出振子位移关于时间的函数，再分别对其求一阶、二阶导数，就可以得出速度、加速度函数，再经过简单运算就可以得到动能、势能、机械能函数。我们再通过分析函数来分析其图像，再对比仿真模拟出的图像，就可以确定我们的仿真研究方法的可信度。关键词：简谐振动；阻尼振动；受迫振动；共振AbstractThe mechanical vibration mainly includes three kinds of vibrations: the s

4、imple harmonic oscillator, the pure damping vibration and the forced damping vibration. According to the three vibrations, we can build models for them, list the vibration equations. After giving the initial conditions, we can carry out analog simulations to test the three vibrations by using Matlab

5、 Simulink functions, and obtain the images of vibration displacement, velocity, acceleration, kinetic energy, potential energy, mechanical energy variation over time. In addition, we come to the function of oscillator displacement over time after we seek the solution of equations. And then we can ga

6、in the derivatives of their first order and second order respectively, so we can draw functions of speed and acceleration. Furthermore, we can get the functions of kinetic energy, potential energy, mechanical energy by a simple operation. Let us analyze the images by analyzing the functions, and the

7、n we make a comparison between the images of analog simulations and them. Finally, we can determine the credibility of the simulation methodology. Keywords: Simple harmonic oscillator; Damping vibration; Forced vibration; Resonance311引言机械振动的仿真原理1.1 Matlab Simulink功能简述Simulink是基于Matlab的框图设计环境，可以用来对各种

8、动态系统进行建模、分析和仿真，它的建模范围广泛，可以针对任何能用数学来描述的系统进行建模，例如航空航天动力学系统、卫星控制制导系统、通信系统、船舶及汽车等，其中包括了连续、离散，条件执行，事件驱动，单速率、多速率和混杂系统等。Simulink提供了利用鼠标拖放的方法来建立系统框图模型的图形界面，而且还提供了丰富的功能块以及不同的专业模块集合，利用Simulink几乎可以做到不书写一行代码即完成整个动态系统的建模工作。除此之外，Simulink还支持Stateflow，用来仿真事件驱动过程。Simulink是从底层开发的一个完整的仿真环境和图形界面，是模块化了的编程工具，它把Matlab的许多功

9、能都设计成一个个直观的功能模块，把需要的功能模块用连线连起来就可以实现需要的仿真功能了。也可以根据自己的需要设计自己的功能模块，Simulink功能强大，界面友好，是一种很不错的仿真工具1。1.2机械振动的物理模型物理学中的机械振动主要分为简谐振动、阻尼振动、受迫振动三种。下面我们根据这三种类型的振动建立物理模型来分别研究。1.2.1简谐振动的物理模型图1弹簧振子做简谐振动物理实验模型如上图所示，弹簧振子在附近做简谐振动。已知弹簧振子质量为，所受合力为，弹簧劲度系数为，则有：。又由牛顿第二定律有： (1)于是可以得到： (2)令，则可得： (3)方程(3)的解即为弹簧振子在时刻时的振动位移，一

10、阶导数即为弹簧振子在时刻时振动速度，其二阶导数即为弹簧振子在时刻时的加速度。1.2.2阻尼振动的物理模型如图1，若弹簧振子在x轴上受到粘滞阻尼的作用力，则弹簧振子做阻尼的振动。设弹簧振子受到的阻尼力为： (4)式中g 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关。弹簧振子受到的弹力为，则对弹簧振子，有牛顿第二定律有： (5)整理后得： (6)令，则有： (7)这就是阻尼振动的振动方程。其解即为弹簧振子在时刻t时的振动位移，一阶导数即为弹簧振子在时刻t时振动速度，其二阶导数即为弹簧振子在时刻t时的加速度。1.2.3受迫振动的物理模型如图2，弹簧振子在附近做阻尼振动。已知弹簧振子质量为,弹簧劲度系数为

11、。平行于轴的平面对弹簧振子有阻尼力的作用。对弹簧振子施加一外加激励力,设，则称为谐激励力，其中为外施激励频率，t是持续时间。 对弹簧振子受力分析，其所受弹力为：。由于阻尼振动是振幅(或能量)随时间不断减少的振动。能量减少的原因是有粘滞阻尼和辐射阻尼。为方便，均视为粘滞阻尼。则弹簧图2弹簧振子在外加激励力作用下做阻尼受迫振动振子所受阻尼力为： (8)式中g 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关。则对弹簧振子，由牛顿第二定律有： (9)对(9)式变形可得: (10)令，为固有频率，为阻尼因数，则(10)可变为： (11)方程(11)的解就是时刻时弹簧振子的位移，其一阶导数即为弹簧振子在时刻时振

12、动速度，其二阶导数即为弹簧振子在时刻时的加速度2。我们记为相对阻尼系数或阻尼比。根据阻尼对系统振动的影响，振动响应分为弱阻尼(1)、强阻尼(1)和临界阻尼(=1)三种情况，这里仅讨论弱阻尼的情况。1.3 Matlab Simulink仿真原理简述在得到弹簧振子的简谐振动、阻尼振动和受迫振动方程后，通过这三个方程，我们可以用高等数学的方法求出这三个方程的通解。同时，我们可以用Matlab的计算功能求出它们的通解。这三个方程的通解表示振子位移随时间的变化情况。我们得到的这三个方程，前两个为二阶常系数线性齐次微分方程，第三个为二阶常系数非齐次微分方程。根据这三个方程，我们可以通过Matlab Sim

13、ulink中的各种模块模拟弹簧振子的位移、速度、加速度，再添加一个平方模块，设置好系数，就可以模拟振子动能、势能、机械能，用线连接各模块，这样流程图就做好了。设置好各模块的参数后，再设置好系统环境变量，点击运行，通过示波器模块就可以模拟出相应的图像曲线3。图像的横坐标均表示时间，纵坐标相应为位移、速度、加速度、动能、势能、机械能。图像表示这些物理量随时间变化关系。通过这三种情况方程的通解，我们可以分析振子位移随时间变化情况，再和模拟出的图像对比分析。对方程通解求一阶导，就可以得到振子速度随时间变化关系，分析出速度随时间变化情况，再和模拟出的图像对比分析。同样我们可以求出方程通解的二阶导数，这就

14、是振子加速度随时间变化关系，分析函数特征，再和模拟出的函数图像对比分析，就可以分析模拟出的图像是否正确，及其与理论符合情况。2简谐振动方程的解及其模拟仿真 2.1简谐振动方程的求解这里，我们设系统初始条件为s时，。通过高等数学方法解这个齐次微分方程可得： (12)式中。则速度表达式为:，将初始条件代入(12)式，可得： (13)这就是满足初始条件的简谐振动方程的解。由(13)式我们可以得出弹簧振子位移随时间的变化情况。振子周期为。时，振子位移正向最大位移出，即图1中的A位置，此时振子速度为0，加速度最大；经，振子向负方向运动到平衡位置，此时振子速度最大，加速度为0；再经，振子继续向负方向运动到

15、负的最大位移处，此时速度为0，加速度最大；再经过，振子向正向运动到平衡位置，此时速度最大，加速度为0；最后经过，振子回到初始位置，即正的最大位移处，完成一个周期的振动。通过matlab7.0符号运算，可以得出该微分方程的解，相关程序见附录程序1。2.2简谐振动模型的仿真研究2.2.1基本模型的建立我们设系统的固有频率，则。于是(3)式变为：。打开Simulink Library Browser，选择新建按钮，根据所需要模拟的运动方程选取模块，其中包括Subtract、Intergrator、Gain以及Scope模块，需要注意的是将Subtract模块中的List of signs改为-，以便

16、让前面的符号为负，为了使前的系数为0.5，将Gainl中的值设为0.5，速度项系数Gain设为0。设置位移模块的初始值为4，速度模块的初始值设为0，加速度模块的初始值设为0。这样，几个关键模块的属性就根据方程的需要设置好了。(1)运用Gain1将和0.5相乘。(2)运用Subtract使前面的符号为负。(3)运用Intergrator将积分为，将积分为。Scope为示波器输出模块。最后，将各个模块按照方程的需要逐一连接，如图3所示4。 图3简谐振动位移仿真模拟流程图 图4简谐振动位移仿真模拟图像单击右键，选择Configuration Parameters设置系统的运行环境，初始运行时间设为0

17、s，停止时间取为80 s,最大步长设为0.1，初始步长设为0.01，设好后，点击OK。再点击图3“Scope”输出模块得到振子位移仿真曲线如图4所示。图中横坐标表示时间，单位为，纵坐标表示位移，单位为。2.2.2 速度、加速度的监测要得到速度与加速度的实时振动曲线只需要在图3的基础上加入两个Scope模块，如图5所示。图5弹簧振子速度、加速度仿真模拟流程图运行Scope1得到弹簧振子速度图像，如图6所示。图中横坐标表示时间，单位为，纵坐标表示振子速度，单位为。 图6弹簧振子速度仿真模拟图像 图7弹簧振子加速度仿真模拟图像运行Scope2，就得到弹簧振子加速度监测图像，如图7所示。图中横坐标表示

18、时间，单位为，纵坐标表示振子加速度，单位为。2.2.3 动能、势能、机械能监测系统动能、势能、机械能的定义如下： (14) (15) (16)根据动能与势能的公式在原有的简谐振动模拟流程图中加入Product模块(实现和运算)和增益模块Gain以及Sum模块将两输入信号进行叠加便可将动能与势能及机械能波形输出出来。先对各个模块名进行编辑，设置好字体大小，再进行各个模块的属性设定。前面我们已经设定了的系数即Gain1参数为0.5，即：，这里，我们取,则。我们由此可得到动能中速度的平方项系数，即Gain2参数为0.5；势能中平方项系数,即Gain3的参数为0.25。最后用仿真信号线将各个模块连接起

19、来，如下图8所示5。图8简谐振动弹簧振子动能、势能、机械能流程图单击运行后，点击“”输出模块得到总能量曲线，点击“”输出模块得到动能曲线，点击“”输出模块得到势能曲线如图9，图10，图11所示,图中横坐标代表时间，单位为s，纵坐标分别代表动能、势能、机械能，单位为J。 图9简谐振动弹簧振子动能图像 图10简谐振动弹簧振子势能图像图11简谐振动弹簧振子机械能图像2.3简谐振动的图像分析由简谐振动方程的解(13）式知：位移随时间的变化关系为余弦函数。即：。由初始条件知其振幅，初始位移为。周期。正如图4所示。这就是弹簧振子做简谐振动的位移随时间的变化关系。我们对(13)式求一阶导数，有： (17)这

20、就是弹簧振子的速度随时间变化的关系。它的图像是正弦函数图像，周期为。根据初始条件，其初始速度为0，正如图6所示。理论与图像相符合。我们再对(13)式求二阶导数，有： (18)这就是弹簧振子加速度随时间变化关系。它的图像是余弦函数，周期仍为。根据初始条件，其初始加速度为，正如图7所示。理论与图像是相符合的。我们将(14)式与(17)式联合，可以得到振子动能随时间变化关系如下： (19)其图像是将正弦函数负半轴部分沿轴对折上去后得到的。很容易看出上式必为非负，故图像在时间轴上方。其周期变为原来周期的一半，即：。由于初始时刻速度为0，故初始动能为0，正如图9所示。理论与图像是相符合的。同理，我们将(

21、15)式与(13)式联合，可以得到弹簧振子势能随时间变化关系如下： (20)由上式可知，振子势能图像是将余弦函数负半轴部分沿轴对折上去得到的，上式比为非负，图像在时间轴上方。其周期与动能周期一样，均为4.44s。由初始条件知，其初始势能最大，为4J，如图10所示。可见，理论与图像是相符合的。我们将(19)式和(20)式相加，就可以得到振子的机械能为：J。其图像为平行于时间轴的一条直线，该直线在纵轴上的截距为4J，如图10所示。图像与理论是符合的。我们得出振子的机械能为一定值。从能量角度分析，做简谐振动的振子只受弹力作用，系统机械能守恒。3阻尼振动方程的求解和仿真模拟3.1弹簧振子做阻尼振动方程

22、的求解方程(7)是齐次方程。其特征方程为： (21)这里我们只讨论相对阻尼系数(或阻尼比)的情况，即为弱阻尼振动。于是可以求得特征根为： (22) (23)于是我们可以得到方程(7)的齐次方程通解为： (24)我们用也可以用Matlab的数学计算功能编写程序求解方程(7)，相关程序见附录程序2。3.2弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究如图1所示，我们假设有粘滞阻尼力时，k=43.8N/m,，=1.5513。由此我们可计算得到：，。与简谐振动的仿真模拟流程图类似，只是的系数不再为0，而应是0.1638。的系数为2.4065。初始条件设为，连接好个模块后，如图12所示：图12做阻尼振动的弹簧振子仿真

23、模拟流程图弹簧振子的位移，速度，加速度仿真模拟图像分别如图13、14、15所示，图中横坐标表示时间，单位为，纵坐标分别表示位移、速度、加速度，单位分别为m、m/s、m/s2。图13弹簧振子做阻尼振动的位移仿真图像 图14弹簧振子做阻尼振动的速度仿真图像 图15弹簧振子做阻尼振动的加速度仿真图像类似于简谐振动的能量仿真模拟流程图，只需修改相关系数即可得出弹簧振子做阻尼振动的动能、势能、机械能模拟图像。动能表达式中速度平方项的系数为，即Gain4的Gain值设为9.1；势能表达式中位移平方项的系数，即Gain3中Gain值设为21.9。其流程图如图16所示，动能、势能、机械能分别如图17、18、1

24、9所示。图中横坐标均表示时间，单位为，纵坐标分别表示动能、势能、机械能，单位均为J。图16弹簧振子做阻尼振动的能量仿真模拟流程 图17阻尼振动的动能仿真模拟图像 图18阻尼振动的势能仿真图像图19阻尼振动的机械能仿真模拟图像3.3阻尼振动的图像分析 根据图像模拟过程，我们已知的条件有：k=43.8N/m，=1.5513，。阻尼振动方程的解即(24)式是振子位移随时间变化关系。我们将它稍作变形为： (25)式中：，。上式可以分为两部分，第一部分为，表征阻尼振动振子的振幅；第二部分为，表示阻尼振动位移随时间呈余弦函数变化。很显然，第一部分是随时间逐渐减小的，这说明振子的振幅在逐渐减小。由初始条件可

25、知：振子初始位移为。振子的位移变化周期为。由于振子振幅随时间增大逐渐减小，因此初始位移为最大位移。以后，随时间增大振子的振幅逐渐减小。这与阻尼振动的概念是相符的。图13表示阻尼振动的位移随时间变化的图像，这与理论是相符的。我们再对(25)式求一阶导数，有： (26)式中，。上式表示振子速度随时间变化关系。与振子位移与时间关系类似，(26)式也可以分为两部分。第一部分为，表征振子速度极值；第二部分为，表征振子速度随时间呈正弦函数变化。我们容易看出，第一部分的绝对值是随时间变化逐渐减小的，即速度大小的极值是随时间逐渐减小的。由初始条件知，其初速度为0。由第二部分可知，振子的周期为。如图14所示，这

26、就是振子做阻尼振动的速度随时间变化的图像，图像与理论是相符合的。我们将(26)式再对时间求一阶导数，就可以得到振子加速度随时间变化关系为： (27)式中，。同样可以将(27)式分为两部分。第一部分为，表征加速度的极值情况；第二部分为，表征振子加速度随时间呈余弦函数。容易看出，第一部分的绝对值随时间增大逐渐减小，即加速度大小的极值是逐渐减小的。初始时刻，其加速度大小的极值为最大值。从第二部分可以看出，其周期仍为。图15是我们模拟出的振子加速度随时间变化图像，这与理论是相符合的。由于振子做阻尼振动的位移，速度的极值均随时间的增大而减小的，故其势能，动能，机械能的极值亦随时间增大而减小。一定时间后，

27、它们都趋于0。分别如图17、18、19所示。我们从能量角度来分析振子的机械能。振子的弹力做功不改变其机械能，但振子所受的阻尼力一直做负功，所以振子的机械能不断减小，最后为0。4受迫振动的方程的求解和仿真模拟4.1弹簧振子做受迫振动方程的求解方程(11)是非齐次方程，其齐次方程的解即为(20)式。现在我们来求方程(11)的一个特解。我们假设其有如下形式的特解： (28)代入方程(7)，比较左右两边系数，可得如下两个方程： (29) (30)联立(13)、(14)式，可解得： (31) (32)于是我们可以得到受迫振动的振幅，即为： (33)将其代入(12)式，我们可以得到方程(7)的一个特解：

28、(34)其中： (35)结合(11)式和(18)式，于是我们得到方程(7)的通解： (36)这样，我们就求出了弹簧振子做受迫振动的方程的解。我们也可以通过Matlab编写程序来求得方程(11)的解，相关程序见附录程序3。4.2弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究4.2.1策动力频率时弹簧振子的受迫振动仿真模拟 ()基本模型的建立及位移、速度、加速度的仿真模拟 如图2所示，已知k=43.8N/m,，h为一常数，固有频率=1.5513。由此我们可计算得到：，。我们设初始条件为。打开Matlab Simulink功能模块，新建一个Model文件，向其中添加模块。用Math Operations模块库下的

29、Substract模块模拟弹簧振子的加速度，在其属性面板中的List of signs中设置为“+-”；用连续型模块库Continuous下的积分模块Integrator模拟弹簧振子的速度和位置，其初始值均设置为0；用输入信号源模块库Sources下的正弦模块Sine Wave模拟策动力，在其属性面板中设置Sine type为 Time based，振幅Amplitude设为1，策动频率Frequency设为1，其余设为默认值；用Math Operations模块库下的Gain模块模拟速度、位移、策动力函数前面的系数，在速度系数的Gain模块属性面板中设置其Gain值为0.1638，在位移系数

30、的Gain1模块的属性面板中设置其Gain值为2.4066，在策动力模块前面的系数Gain2模块属性面板中设置其Gain值为1；用接收模块库Sinks下的示波器模块Scope模块模拟输出信号。这样各个模块建立好了，其相应属性页设置好了，最后，用线把各个模块连接起来，如图20所示6。单击运行按钮，再双击各示波器模块，就可以得到弹簧振子相应的的位移、速度、加速度图像，分别如图21、22、23所示。图中横坐标均表示时间，单位为s，纵坐标分别为位移、速度、加速度，单位分别为m、m/s、m/s2。 图20做有阻尼的受迫振动的弹簧振子仿真模拟流程图 图21受迫振动的位移仿真模拟图像() 图22受迫振动的速

31、度仿真模拟图像()图23受迫振动的加速度仿真模拟图像()()弹簧振子的动能、势能、机械能仿真模拟和简谐振动弹簧振子的动能、势能、机械能模拟类似。首先写出弹簧振子做受迫振动的动能、势能、机械能表达式： (37) (38) (39)根据动能与势能的公式在原有的受迫振动模拟流程图中加入Product模块(实现和运算)和增益模块Gain以及Sum模块将两输入信号进行叠加便可将动能与势能及机械能波形输出出来。新添加的模块和其属性设置如下：1、在Math Operations模块库下添加两个Product模块，设置其Number of inputs属性为2。2、在Math Operations模块库下添加

32、两个增益模块Gain3、Gain4，分别代表位移平方项和速度平方项前的系数。由(23)式知，动能表达式中速度平方项的系数为，即Gain4的Gain值设为9.1。由(24)式知，势能表达式中位移平方项的系数，即Gain3中Gain值设为21.9。3、在Math Operations模块库下添加Sum模块，用以求动能、势能的和，从而模拟机械能。设置其Icon shape属性为rectangular，List of signs设为“+”。4、在Sinks模块库下再添加3个示波器Scope模块，用以模拟动能、势能、机械能图像7。其他模块不变，各自属性也不改变。添加好模块后，用线连接起来，如图17所示。

33、图24弹簧振子做受迫振动的动能、势能、机械能模拟流程图在空白处单击右键，选择Configuration Parameters设置其运行环境。起始时间设为默认值0，终止时间设为80，设好后，点击Ok按钮，单击运行，再双击动能、势能、机械能的示波器模块，分别得到的模拟图像如图25、图26、图27所示。图中横坐标均表示时间，纵坐标分别表示动能、势能、机械能。单位为国际制单位。 图25受迫振动的动能仿真模拟图像() 图26受迫振动的势能仿真模拟图像()图27受迫振动的机械能仿真模拟图像() 图28受迫振动的位移仿真图像()4.2.2策动力频率时弹簧振子受迫振动的仿真模拟系统固有频率，前面时，我们取的是

34、的情况。时，我们取。系统模块和各模块属性与前面情况一样。只有Sine Wave模块的属性中，将Frequency的值改为15即可。当时，弹簧振子振动的位移、速度、加速度、动能、势能、机械能随时间变化的仿真模拟图像分别如图28、29、30、31、32、33所示8。图中横坐标均代表时间，单位是s，纵坐标分别代表位移、速度、加速度、动能、势能、机械能，单位分别对应为m、m/s、m/s2，能量单位均为J。 图29受迫振动的速度仿真模拟图() 图30受迫振动的加速度仿真模拟图() 图31受迫振动的动能仿真模拟图() 图32受迫振动的势能仿真模拟图()图33受迫振动的机械能仿真模拟图()4.2.3策动力频

35、率时弹簧振子的仿真模拟当策动力频率，得到的受迫振动仿真模拟图像分别如图34、35、36、37、38、39所示9。 图34受迫振动的位移仿真图像() 图35受迫振动的速度仿真图像() 图36受迫振动的加速度仿真图像() 图37受迫振动的动能仿真图像() 图38受迫振动的势能仿真图像() 图39受迫振动的机械能仿真图像()4.3受迫振动的图像分析受迫振动方程的解即(36)式可以变形为： (40)令，则(40)式可变为： (41)这个解可以分为两部分，第一部分我们称为阻尼振动，记为：。第二部分我们称为稳定的振动，记为：。我们很容易看出，第一部分与我们前面讨论的阻尼振动方程的解的表达式类似，第二部分与

36、我们前面讨论过的简谐振动的方程的解类似。受迫振动正是这两种振动的合作用。前面我们已经知道，一定时间后，阻尼振动的位移趋于0，这时，振子只剩下稳定振动了，其振幅趋于不变。我们分别对(41)式求一阶导数、二阶导数，就可以算出振子做受迫振动的速度、加速度随时间变化情况。分别如下： (42) (43) 与(41)式类似，可将上二式分成两部分，第一部分代表阻尼振动，第二部分代表稳定振动（或简谐振动）。在受迫振动的三种情况下，我们可以看出图像稳定前都有一定波动，这些波动是由于(41)式第一部分的阻尼振动引起的，当这部分消减趋于0后，就仅剩下第二部分简谐振动了，这时振动稳定，相应图像呈三角函数变化。在 条件

37、下，图21、22、23分别表示该条件下振子的位移、速度、加速度随时间的变化情况。图像中未稳定之前的情况是阻尼振动和简谐振动两种振动叠加的结果。当它们振动相位同步时，出现极值情况。随着时间的增大，阻尼振动的影响逐渐趋于0，这时只剩下简谐振动，振动稳定。同样，由于稳定前，受迫振动是阻尼振动和简谐振动的合运动，故振子动能、势能、机械能图像稳定前有波动。另一方面，由于系统固有频率与策动力频率相差不大，振子按固有频率振动和按策动力频率振动力量配合默契，所以振子振动稳定前振幅较大，但我们比较三种情况可知，此时，振子振幅不是最大的。在条件下，图28、29、30分别表示该条件下振子的位移、速度、加速度随时间的

38、变化情况。从图像我们可以看出，振子的振幅非常小，几乎为0。位移随时间变化图像类似于阻尼振动位移时间图像。其速度的极值也很小，只有零点几，稳定后，其改变非常快，周期很小。其加速度极值比较稳定，改变非常快，周期很小。其动能、势能极值变化与速度、位移极值变化是相应的，能量都很小。这是因为受迫力的频率与系统固有频率相差很大的缘故。物体的固有频率在振动过程中也起着很大的作用，如果驱动力的频率与物体的固有频率相差较大(策动力频率偏离系统固有频率较大)，虽说物体仍不得不按驱动力的频率做受迫振动，但是物体本身按固有频率振动的力量仍“顽强”地与驱动力进行着“抵抗”，结果导致物体实际振动的振幅很小。在的条件下，图

39、34、35、36分别表示该条件下振子的位移、速度、加速度随时间变化的关系。由位移图像，我们可以知道，在条件下，弹簧振子的振幅有最大值，稳定后其振幅最大。这是因为当驱动力的频率恰好等于弹簧振子的固有频率时，弹簧振子按固有频率振动的力量与按策动力频率振动的力量不仅没有互相削弱，反而“配合默契”，结果物体振动的振幅就大大提高，这就是共振现象。也可以从能量积累的观点解释共振现象的原因，当物体的固有频率和驱动力频率相同时，使得驱动力若与物体按固有频率的振动同相位，驱动力时时刻刻都对物体做正功，从而使物体能量达到最大的稳定状态，形成共振 9。其速度、加速度在稳定后的极值为最大值。相应的动能、势能、机械能也

40、在稳定后取得最大值。5几点补充说明与仿真模拟中问题分析5.1物理振动模型建立的补充说明 我们首先建立的是做简谐振动的弹簧振子模型，这里就不再补充。关键是做阻尼振动的物理模型，我们是在简谐振动模型的基础上考虑了有粘滞阻尼的振动模型。这里，同样没有外加激励力。当然，我们也可以去掉第三个物理模型中的外加激励力，这样，这个模型也是阻尼振动模型。第三个受迫振动模型中我们加的外加激励力是正弦函数，如果加的是余弦函数，对应的方程的解也就不一样了。5.2 方程求解中的补充说明在简谐振动方程的求解中，为方便起见，我们先设定了简谐振动的初始条件即时，即振子初始位置为正方向最大位移处。我们又设了系统的固有频率，将这

41、些已知条件代入方程中进行求解和模拟。简谐振动方程是二阶线性齐次微分方程，只需用简单微分方程解法就可解出，我们就不再多述。用Matlab编写程序求解可以帮助我们检验计算结果。在阻尼振动求解中，其方程与简谐振动的方程都是二阶齐次线性微分方程，所不同的是未知数的一阶导数系数不再为0。它的解的形式也比较简单，很容易解出它的通解。在求有阻尼的受迫振动方程的解时，我们先求的是齐次方程的通解，即是阻尼振动下的通解。然后比较困难的是求受迫振动方程的一个特解。我们采用试取法，先设定其特解形式，再代入原方程求出相关系数，就可得到特解。这是微分方程中常用的一种解法。当然，求特解的方法还有很多，比如利用指数求解，虚数

42、求解等等，我们这里就不再详述。这样，几种物理振动的振动方程的解我们就解出来了。5.3 仿真模拟中的问题分析在初次进行仿真模拟时，有图像过尖的问题，经过反复实验，查找资料，终于发现这是步长设置的问题。将最大仿真步长设为0.1；初始仿真步长为0.01；绝对误差改为1e-6，这样就能得到与实际更接近的仿真图像10。在建立模块时，一定要弄清楚各个模块所代表的含义，设置好相应模块的属性值。比如增益模块代表的是未知量各阶导数前面的系数。另外还要注意设置好环境参量，起始运行时间是0，终止时间是80s，这是我们选取的，也可以任意选取，只要时间长度足够表现出各物理量的变化趋势。需要注意的是，我们对三种物理振动的位移、速度、加速度模拟后，又对其动能、势能、机械能进行了模拟。虽然有的图像的走势相近，但是它们的最大值是不一样的。考虑了策动力频率接近固有频率，策动力频率远离固有频率，策动力频率等于固有频率这三种情况，通过比较图像我们看出：固有频率等于策动力频率时的振动有最大振幅，这时的振动称为共振。