基于小波变换的数字通信信号处理.doc

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1、 目 录摘 要1ABSTRACT1一、绪论3二、小波及小波包分析的基本理论4(一)小波变换41.连续小波变换42.离散小波变换4(二)多分辨率分析6(三)小波包分析71.小波包的定义72.小波包的子空间分解83.最优小波包基的选择9三、小波分析应用于信号消噪处理10(一)小波降噪的基本原理101.小波降噪的基本原理102.噪声在小波分解下的特性103.小波降噪的步骤和方法114.小波阈值施加的方式125.小波阈值的估计126.小波阈值的选取规则137.小波基函数的选择13(二)小波降噪在通信信号中的应用及结果仿真141.单极性非归零码的小波降噪14四、小波包应用于信号消噪处理15(一)小波包降

2、噪的基本原理151.基本原理152.小波包降噪步骤16(二)小波包降噪在通信信号中的应用及结果仿真161.单极性非归零码的小波包降噪16五、小波与小波包降噪效果分析及比较16(一)小波与小波包降噪效果分析161.小波降噪效果分析172.小波包降噪效果分析17(二)小波及小波包降噪效果比较171.采用小波对单极性非归零码进行强制消噪处理172.采用小波包对单极性非归零码进行强制消噪处理183.采用小波对2FSK进行强制消噪处理184.采用小波包对2FSK进行消噪处理195.总结分析19参考文献22附 录23谢 辞27摘 要小波分析作为一种全新的信号处理方法，它将信号中各种不同的频率成分分解到互不

3、重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径。因此，本文在认真研究了小波分析基本理论之后，将其应用到通信信号的去噪当中，并通过实验予以仿真实现和结果分析,取得了很好的消噪效果。另外，为了实现对高频部分(小波)空间进行进一步分解，又引入了小波包分析方法，将其也应用于通信信号去噪，同时在文中给出了仿真结果，并与小波去噪进行对比，得出小波包去噪在分解高频部分较小波去噪的优势所在。关 键 词小波变换，小波包，去噪ABSTRACTAs a new signal processing method, Wavelet analysis decomposed different kinds of

4、 frequency element to non-overlapped frequency bands and this method put forwards an effective way to signal filter, signal-noise separating and character picking-up. After serious study of wavelet analysis method, the paper applies it to communication signal de-noising and analyzes its simulink res

5、ult. Result shows the de-noising effect is great. At last, wavelet package analysis method is adopted to decompose high frequency w-space. Applying it to communication signal de-noising and simulink result is given in the paper. Compare to wavelet transform, wavelet package analysis method is superi

6、or to it in decomposing high frequency w-space.KEY WORDSWavelet transform, de-noising, wavelet package一、 绪论在信号的检测及控制系统中，往往混入一些干扰的噪声信号，它们会使测量结果产生很大的误差。这些误差将导致后期工作无法进行，甚至会引起控制程序的紊乱，从而造成控制系统中执行机构产生误动作。在受干扰背景下有效地检测信号，不仅与信号的形式和干扰的性质有关，也与信号处理的方式有关。对于不同类型的信号寻找最佳的处理技术一直是信号及检测的主要问题。按照发展的历程来看，在小波分析技术没有出现以前，绝大

7、多数的信号处理都是采用基于统计理论的分析方法:快速傅立叶变换、建立在快速傅立叶变换算法基础上的经典谱(时间序列的频域)分析、属于现代谱分析(参数化方法)的ARMA(autoregressive moving average自回归滑动平均)谱分析、经典维纳(Wiener)滤波以及卡尔曼(Kalman)滤波等等。他们要么是侧重于在不同时刻(时域)诸量的统计分析，要么是侧重于与频率或谱有关的频域上的分析。由于这些传统的方法广泛使用的频谱分析技术，利用傅立叶变换把信号映射到频域内加以分析。这种方法当信号是时间平稳且有明显区别于噪声的谱特性时是比较有效的，然而实际中经常碰到是非平稳信号的情况，需要分析每

8、个时刻内含有的频率分量。但由于这类信号(如短暂突发信号)的谱特性沿时间轴无限扩展，因此利用傅立叶变换的基函数很难与其匹配。小波分析属于调和分析，是一种时域、频域分析，具有多分辨率特性。由于其多分辨率特性，在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小不变但其形状可改变，即时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。在高频部分使用逐渐尖锐的时间分辨率和较低的频率分辨率，以便移近观察信号的快变部分;在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，以便移远观察信号的慢变部分(整体变化趋势)，小波这种信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并且

9、展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。这种时频面上的分析给信号处理带来前所未有的更为深入的发展。在实际测取的各种信号中不可避免地存在一些与分析目的无关的成分噪声，在信号分析与处理中，为获取信号中反映其特征的有用的成分，常要设法去掉这些干扰成分。基于传统方法的局限，本文采用小波变换和小波包分析的方法来分析信号。它巧妙地利用非均匀分布上的分辨率通过平移的可变窗口观察非平稳信号。在信号瞬变处或突变处(高频)用窄窗，在信号缓变处(低频)用宽窗，因此能有效提取非稳信号的瞬态稳态信息，有效地提取信号波形特征，获得信号先验信息。结合运用，事实证明，基于小波域的信号处理方法在很多情况下比传统的时域或频域方法

10、要有效得多。小波分析作为一种全新的信号处理方法，它将信号中各种不同的频率成分分解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径。由于它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，在信号处理中有着相当大的优势，尤其是在对非平稳信号的处理中有着傅立叶变换不可比拟的优势。因此本课题的目的和任务就是对信号进行小波变换和小波包变换，并用小波分析和小波包分析的方法对随机噪声进行去噪。二、 小波及小波包分析的基本理论(一) 小波变换小波变换是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间

11、窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。1. 连续小波变换1) 连续小波变换基函数小波函数的确切定义为：设为一平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足条件：则称为一个基本小波或小波母函数，上式为小波函数的可容许条件。将小波母函数进行伸缩和平移，就可以得到函数： 上式中，为伸缩因子，为平移因子。我们称为依赖于参数的小波基函数。由于尺度因子和平移因子是连续变化的值，因此我们称为连续小波函数基。它们是由同一母函数经伸缩和

12、平移后得到的一组函数序列。2) 连续小波变换将任意空间中的函数在小波基下展开，称这种展开为函数的连续小波变换（CWT）,其表达式为：若采用的小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换，逆变换公式为：2. 离散小波变换1) 离散小波变换为了减少小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数的限定在一些离散点上进行取值，需要强调一点的是，离散化指的就是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量的。尺度的离散化。目前通行的办法是对尺度进行幂数级离散化，即令取，此时对应的小波函数是。位移的离散化。通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为了防止信息丢失，我们要求采样间隔满足Nyquist采样定

13、理，这样，小波函数就改成：离散小波变换的定义为2) 二进制小波变换为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变和的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网络。最常用的是二进制的动态采样网络，即，每个网格点对应的尺度为，而平移为。由此得到的小波称为二进小波。定义 设函数，如果存在两个常数，且使得稳定性条件几乎处处成立，即则为一个二进小波。若，则称为最稳定条件。而函数序列，叫做的二进小波变换，其中二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号

14、在时间域上的的平移不变性，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。(二) 多分辨率分析关于分辨率的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，如下图：SA1A3D3D1D2A2 在理解多分辨率分析时，我们必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，从上图可以看出，多分辨率分析只对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑，分解具有关系：。设以表示上图分解中的低频部分，表示分解中的高频部分，则是在中的正交补，即：显然则多分辨率分析的子空间可以用有限个子空间来逼近，即有：定义 空间中的多分辨率分析是指中满足如下条件的一个空间序列: 单调性：对任意，有。 逼

15、近性：。 伸缩性：，伸缩性体现了尺度的变换、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。 平移不变性：对任意，有。 Reisz基存在性：存在，使得构成的Reisz基。(三) 小波包分析小波包分析是多分辨分析的推广,它同时对信号的低频和高频部分进行多层次划分,对信号进行更加精细的分析,在满足Heisenberg 测不准原理下,将信号按任意的时频分辨率分解到不同的频带,并将信号的时频成分相应地投影到代表不同频带的正交小波空间上。关于小波包分析的理解,在这里以一个三层的分解进行说明,其小波包分解树如下图所示。SA1AA2AAA3A3DAA3ADA3DDA3DA2D1AD2DD2AAD3DAD3AD

16、D3DDD31. 小波包的定义给定正交尺度函数和小波函数，其二尺度关系为：式中，是多分辨率分析中的滤波器系数。为了进一步推广二尺度方程，定义下列的递推关系：式中，仍然是多分辨率分析中的滤波器系数。当时以上定义的函数集合为由所确定的小波包，小波包是包括尺度函数和小波函数在内的一个具有一定联系的函数的集合。2. 小波包的子空间分解由前面的分析我们知道，当时，为尺度函数，为小波函数。尺度函数组成的子空间为，小波函数组成的子空间为。为了讨论小波包组成的空间，我们引入符号：根据小波多分辨率分析，有用引入的小波包符号表示为：推广到小波包有：和是的子空间，对应，对应。在多分辨率分析中，。为了便于比较，我们用

17、 表示，因此小波包空间分解为：所以，小波包分解的一般表达式为：下面用下图表示上式的分解过程，图中对的进行了分解。3. 最优小波包基的选择小波包基库是由许多小波包基组成的。不同的小波包基具有不同的性质，能够反映信号的不同特性。对于一个给定的信号，选择一合适的小波包基，能够很好的提取信号的特征。信号的小波包分解，是将投影到小波包基上，获得一系列系数，要用这些系数刻画信号的特征，系数之间的差别越大越好。如果仅有少数系数很大，那么用这少数几个系数就代表了信号的特征。显然，这样的小波包基是好基。要刻画系数系列的这种性质，需要定义一个代价函数，代价函数越小，对应的小波包基越好，这种代价函数还需具备可加性，

18、即在上述意义下可以定义多种代价函数。但目前用得较多的是香农（shannon）熵对序列熵的定义为其中。由于信息熵只是半可加的，所以引入可加函数则可表示为这样最小，也最小。在实际应用中，只对作有限次分解。设把分做三层。由小波包算法可计算出在各子空间上的系数，然后由代价函数可以计算出在各层上系数的代价函数值。为了选择最好基，采用如下步骤1) 从最下层开始，把每个框中的代价函数值都标上*号。2) 求最下层的相邻两个子框的代价函数值之和，并与上层相邻框中的代价函数值相比较，如下层的和值大，则将上层相应框中的值标上*号，否则的话把该值加上括号。3) 只考虑括号外面的值和标*号的值，按步骤2继续进行，直到最

19、上层。4) 从最上层开始，只选第一次遇到的标*号的值。一经选定，其下方的各层的值就不再考虑。选出的带*号框全体组成的一组正交基，这样的一组正交分解所对应的规范正交基，就是的最好的基。从信号处理的观点看，上述最好基的搜索过程实质上是用尽量少的系数，反映尽可能多的信息，达到特征提取的目的。三、 小波分析应用于信号消噪处理(一) 小波降噪的基本原理1. 小波降噪的基本原理小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪。一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：其中，为含噪信号，为有用信号，为噪声信号。这里我们认为是一个1级高斯白噪声，通常表现为高频信号，而实际工程中通常为低频信号或者是一些比较平稳的信号。因此

20、我们可按照如下的方法进行降噪处理。首先对信号进行小波分解（如进行三层分解，分解过程如下图所示），一般地，噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，即包含在cD1,cD2,cD3中，从而可以利用门限阈值等形式对所分解的小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可达到对信号进行消噪的目的。对信号降噪实质上就是抑制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。2. 噪声在小波分解下的特性在此，我们将噪声看做普通信号分析一下它的自相关函数、频谱、和概率分布这3个主要特征。总体上，对于一维离散信号来说，其高频成分所影响的是小波分解的第一层细节，其低频部分所影响的是小波分解的最深层和低频层。如果对一个仅由白噪声所组

21、成的信号进行分析，则可得出这样的结论：高频系数的幅值随着分解层次的增加而迅速地衰减，且其方差也有同样的变化趋势。在这里用表示对噪声用小波分解后的系数，其中，表示尺度，表示时间，对离散时间信号引入如下的属性：1) 如果是一个平稳、零均值的白噪声，那么它的小波分解系数是相互独立的。2) 如果是一个高斯型噪声，那么其小波分解系数是互不相关的，且服从高斯分布。3) 如果是一个平稳、有色、零均值的高斯型噪声序列，那么它的小波分解系数也是高斯序列，并且对每一个分解尺度，其相应的系数是一个平稳、有色的序列。如何选择对分解系数具有解相关性的小波是一个很困难的问题，在目前也没有得到很好的解决。进一步需指出，即使

22、存在一个小波，但是它对噪声的解相关性取决于噪声的有色性，为了用小波计算噪声的解相关性，必须知道噪声本身的颜色，在此不加详述。4) 如果是一个平稳的零均值ARMA模型，那么对每一个小波尺度，也是平稳的零均值ARMA模型，且其特性取决于尺度。5) 如果是一个噪声： 若其相关函数已知，则可计算系数序列和； 若其相关函数谱已知，则可计算的谱及尺度和的交叉谱。3. 小波降噪的步骤和方法一般而言，一维信号降噪的过程可分为如下3个步骤。1) 信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计算。2) 小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行阈值量化处理。3) 一维小波

23、重构。根据小波分解的底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。这3个步骤中，最关键的是如何选择阈值及如何进行阈值量化，在某种程度上，它关系到信号降噪的质量。应用一维小波分析进行信号降噪处理，主要通过两个函数wden和wdencmp来实现。wden返回的是经过对原始信号进行降噪处理后的信号。wdencmp函数是一种使用更为普遍的函数，它可以直接对一维或二维信号进行降噪，处理方法也是通过对小波分解系数进行阈值量化来实现。小波分析进行阈值处理一般有下述3种方法。1) 默认阈值消噪处理。该方法利用函数ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用函数wdencmp进行消噪处理。2) 给定阈值消噪处理。在

24、实际的消噪处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可用函数wthresh。3) 强制消噪处理。该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单，且消噪后的信号比较平滑，但是容易丢失信号中的有用成分。4. 小波阈值施加的方式阈值可分为硬阈值、软阈值两种，其含义如图所示。图中，是小波系数的大小，是施加阈值后小波系数的大小，是阈值。1) 硬阈值当小波系数的绝对值小于给定的阈值时，令其为零；而大于阈值时，则令其保持不变，即2) 软阈值当小波系数的绝对值小于给定的阈值时，令其为零；大于阈值时，令

25、其都减去阈值，即硬阈值软阈值5. 小波阈值的估计小波阈值在去噪过程中起到了决定性的作用。如果太小，那么，施加阈值以后的小波系数中将包含过多的噪声分量，达不到去噪的目的；反之，如果太大，那么将去除一部分信号的分量，从而使由小波系数重建后的信号产生过大的失真。因此，在实际工作中，首先要估计阈值的大小。由于阈值的估计比较复杂，这里仅指出一种简单的估计结果，即式中，是噪声的标准方差，N是信号的长度。在实际中，的估计应是自适应的，即应考虑到信号的相对平稳性和信噪比的大小。对于平稳性较差的信号，值应该选的小一些，相反情况值应该取得较大。对于同一信号，信噪比大时，噪声功率小，则值取得小一些。6. 小波阈值的

26、选取规则根据基本的噪声模型，可以在thselect函数中使用四种规则来选取阈值，每一种规则的选择由该函数中所对应的输入参数tptr决定。该函数返回的是所求阈值的值。MATLAB中有四种阈值选取规则，基于基本模型，其中信号的长度为，是零均值、方差为高斯白噪声。1) 固定阈值选项tptr = sqtwolog ，该阈值又称sqtwolog阈值，它所产生的阈值为。2) Rigrsure阈值选项tptr = rigrsure ，该阈值是一种基于Stein的无偏/似然估计原理的自适应阈值。给定一个阈值，得到它的似然估计，再将该估计最小化，就可得到所选的阈值。这是一种软件阈值估计器。3) 启发式阈值（he

27、ursure）选项tptr = heursure ，该阈值是前两种阈值的综合，所选择的是最优预测变量阈值。如果信噪比很小，而SURE估计有很大的噪声，在这种情况下，就需采用这种固定的阈值形式。4) 极大极小阈值选项tptr = minimaxi ，该阈值也是一种固定的阈值选择形式，它所产生的是一个最小均方差的极值，而不是无误差。在统计学上，这种极值原理常用来设计估计器。因为被降噪的信号可以看做是与未知回归函数的估计式相似，这种极值估计器可在给定的函数中实现最大均方误差最小化。对于方差未知和非白噪声而言，可以通过调整输出阈值THR来处理（可参考wden函数的SCAL参数）。7. 小波基函数的选择

28、信号降噪过程就是对信号的分解与组合重构的运算，其实质就是：通过小波变换对信号进行分解后，如果利用门限、阈值等形式对所分解的小波系数进行处理后再对信号进行重构。应该寻找一组最能代表信号特征的函数形式，将信号用这些量来逼近，或者写成这些量的线性组合形式。小波函数有无穷多个，故小波基也有无穷多组，因为不同的小波基具有不同的时频特征，用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。在应用中，要把握小波函数的特征，根据应用需要，选择合适的小波基。文献1对几种常用小波基函数的性质进行了比较。在本文的应用中采用Daubechies(dbN)小波。Dau-bechies小波有非常重要的性质，它不仅是连续的和正交

29、的，而且是支集最小的。因此这种小波的滤波器系数个数少，在分解与重构算法中所需的计算量少，这在信号的实时处理中非常重要。Daubechies小波是由世界著名的小波分析学者InridDaubechies构造的小波函数，一般简写为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数中的支撑区为2N-1，的消失矩为N。除N=1外，dbN不具有对称性(即非线性相位)。dbN没有明确的表达式(除了N=1外)，但转换函数h的平方模是很明确的。令，其中，为二项式的系数，则有式中，。(二) 小波降噪在通信信号中的应用及结果仿真1. 单极性非归零码的小波降噪采用小波db1对单极性非归零码进行消噪处理，噪声为高斯白噪声，仿真前利

30、用MATLAB函数awgn固定输入含噪信号的信噪比为20（单位为db，下同），采用db1小波对含噪声信号进行三层分解，采用启发式硬阈值和软阈值消噪，并比较软硬阈值的消噪效果。所得实验结果如下图，由图知消噪效果明显。由输出的消噪后的信噪比知道，硬阈值消噪后的信噪比为28.0660，软阈值消噪后的信噪比为28.4923，从信噪比来看，软阈值的消噪效果比硬阈值的消噪效果稍好。图1 单极性非归零码的小波软硬阈值去噪四、 小波包应用于信号消噪处理(一) 小波包降噪的基本原理1. 基本原理由前面的介绍知道，在小波相平面上，随着尺度的减小，相应小波基函数的时域窗口宽度减小而其想应的频域窗口宽度增大。也就是说

31、，相应小波基函数的频域窗口随尺度减小而增大。正如前面所述，一般来讲，小尺度信号包含许多高频成分，对应的频带较宽；而大尺度信号，通常只包含低频成分，对应的频带较窄。正交小波变换的这种小尺度大频窗、大尺度小频窗的时频分布规律是同自然界中信号的时频特性相符合的。因此，上述时频分布特性在许多情况下是非常有用的。但是在有些场合下正交小波变换的这种时频窗口的固定分布却不是一种最优的选择。实际上，在许多问题中只是对某些固定时间段（点）的信号感兴趣，只要提取这些固定时间及频率点上的信息即可。因此我们希望在感兴趣的频率点上最大可能的提高频率分辨率。而正交小波变换所提供的遵循固定规律变化的时频相平面将不再满足要求

32、。主要是因为正交小波变换的多分辨率分解只将（尺度）空间进行了分解，而没有对（小波）空间进行进一步的分解。如果通过小波包将进一步分解，可使正交小波变换中随的增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细。这种优良的性质可允许我们找到最适于分析信号的时频相平面（或最优基）。在小波包分析中，其信号降噪的算法思想和在小波分析中的基本相同，所不同的就是小波包提供了一种更为复杂、更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解，具有更加精确的局部分析能力。对信号进行小波包分解时，可以采用多种小波包基。通常根据分析信号的要求， 从中选择最好的一种小波包基，即最优基。最优基的选择标准是熵标准。在

33、MATLAB的小波工具箱中可通过besttree函数进行最优基的选择，即计算最优树。2. 小波包降噪步骤应用小波包分析对信号进行降噪处理是它的一个最基本的功能。一般地，按照如下步骤进行。1) 信号的小波包分解，选择一个小波并确定所需分解的层次，然后对信号进行小波包分解。2) 确定最优小波包基，对于一个给定的熵标准，计算最优树（这一步不是必需的步骤，可根据不同的目的进行有选择性的使用）。3) 小波包分解系数的阈值量化，对于每一个小波包分解系数，选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。4) 信号的小波包重构，根据最底层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波包重构。在上述的各步中，最关键的是如

34、何选取阈值和如何进行阈值量化，在一定程度上，它直接关系到对信号进行降噪处理的质量。(二) 小波包降噪在通信信号中的应用及结果仿真1. 单极性非归零码的小波包降噪采用小波db1生成的小波包对单极性非归零码进行消噪处理，噪声为高斯白噪声，仿真前利用MATLAB函数awgn固定输入含噪信号的信噪比为20，对含噪声信号进行三层分解，采用默认阈值和公式阈值消噪，仿真结果如下图，由图知消噪效果明显，由输出的消噪后的信噪比知道，默认阈值消噪后的信噪比为22.8367，公式阈值消噪后的信噪比为29.0084。图2 单极性非归零码的小波包阈值去噪五、 小波与小波包降噪效果分析及比较(一) 小波与小波包降噪效果分

35、析对于消噪效果相近的波形，由于用肉眼无法比较消噪效果，所以本课题采用信噪比来进一步解释各种方法的消噪效果。1. 小波降噪效果分析由小波软硬阈值的消噪后信噪比我们知道，软阈值消噪的效果比硬阈值更好一些。但有时会因为输入信号的原因经软硬阈值处理后的输出信号的信噪比是相同的。但一般来说，硬阈值比软阈值处理后的信号更加粗糙。因为硬阈值是一种简单置零的方法，而软阈值对于大于阈值的小波系数作了“收缩”，从而使输入输出曲线变成连续的。2. 小波包降噪效果分析由小波包对基带信号-单极性非归零码的消噪后的消噪效果我们知道，小波包对单极性非归零码的消噪方法中默认阈值的消噪效果明显不如公式阈值的消噪效果，从信噪比来

36、看，默认阈值消噪后的信噪比仅为22.9393，而公式阈值消噪后的信噪比为29.4578，从仿真图上也能看出消噪效果的不同。这主要是阈值的选择的原因，在信号消噪过程中，阈值的选择始终是一个难点。如果阈值太小，那么，施加阈值以后的小波系数中将包含过多的噪声分量，达不到去噪的目的；反之，如果阈值太大，那么将去除一部分信号的分量，从而使由小波系数重建后的信号产生过大的失真。从本实验来看，利用公式得出的阈值比默认阈值更适应于对单极性非归零码的消噪处理。(二) 小波及小波包降噪效果比较比较以上小波和小波包的消噪效果，输入信号的信噪比都为20，但从输出信号的信噪比来看，小波软硬阈值消噪的效果比小波包默认阈值

37、的消噪效果要好，但比小波包公式阈值的消噪效果差。也就是说，小波消噪有时比小波包消噪效果好，有时比小波包消噪效果差。由小波和小波包的理论我们知道，小波包是一种更加精细的分解方式，它对小波未能分解的高频部分进行了进一步分解，为了能体现出小波包比小波在消噪中的优势，下面对小波和小波包消噪进行比较，以体现小波包在分解高频部分的优势所在。为了便于比较，下面对单极性非归零码和2FSK信号都采用强制消噪法进行消噪处理。1. 采用小波对单极性非归零码进行强制消噪处理采用小波db1对单极性非归零码进行强制消噪处理，噪声为高斯白噪声，仿真前利用MATLAB函数awgn固定输入含噪信号的信噪比为15，对含噪声信号进

38、行三层分解，由图知消噪效果较好，由输出的消噪后的信噪比知道，消噪后的信噪比为23.9398。图3 单极性非归零码的小波强制消噪2. 采用小波包对单极性非归零码进行强制消噪处理采用小波db1生成的小波包对单极性非归零码进行强制消噪处理，噪声为高斯白噪声，仿真前利用MATLAB函数awgn固定输入含噪信号的信噪比为15，对含噪声信号进行三层分解，由图知消噪效果较好，由输出的消噪后的信噪比知道，消噪后的信噪比为24.1201。图4 单极性非归零码的小波包强制消噪3. 采用小波对2FSK进行强制消噪处理采用小波db1对2FSK进行强制消噪处理，噪声为高斯白噪声，仿真前利用MATLAB函数awgn固定输

39、入含噪信号的信噪比为15，对含噪声信号进行一层分解，由图知消噪效果不好，由输出的消噪后的信噪比知道，消噪后的信噪比为2.9616。图5 2FSK信号的小波强制去噪4. 采用小波包对2FSK进行消噪处理采用小波db1生成的小波包对2FSK进行强制消噪处理，噪声为高斯白噪声，仿真前利用MATLAB函数awgn固定输入含噪信号的信噪比为15，对含噪声信号进行三层分解，由图知消噪效果较好，由输出的消噪后的信噪比知道，公式阈值消噪后的信噪比为19.1155。图6 2FSK信号的小波包强制去噪5. 总结分析(1) 对比1、2对于单极性非归零码，小波的去噪效果和小波包的去噪都能达到很好的效果。从信噪比来看，

40、输入信号的信噪比都为15，而输出信号的信噪比小波去噪和小波包去噪的分别为23.9398和24.1201。下面看一下单极性非归零码的频谱图。图7 单极性非归零码的频谱图从图7可以看出，单极性非归零码的频谱主要在低频，虽然小波包对高频部分进行了进一步的细分，但是单极性非归零码在高频部分并没有有用信号，而全是噪声，所以，对于这类信号并不能突出小波包在去噪中对小波分解过程中没有分解的高频部分进行了进一步细分的优势。(2) 对比3、4对于2FSK信号，小波包的去噪效果明显好于小波去噪效果。从信噪比来看，输入信号的信噪比都为15，而输出信号的信噪比小波去噪和小波包去噪的分别为2.9616和19.1155。

41、下面看一下2FSK信号的频谱图。图8 2FSK信号的频谱由2FSK含噪信号的频谱图知，主要信号分布在400、800、1200所对应的频率点。小波去噪的原理中高频部分不再进行分解，频率越高，频域的窗口越宽，频域的分辨率越低，如果用小波强制消噪，则视小波分解的高频部分为噪声而全部置零，对于此信号，MATLAB程序采用的是一层分解，在进行强制消噪后正好会把高频信号给去除掉，从消噪后重构得到的信号也可以看出，信号中的高频部分已经丢失，所以最后测得的信噪比很小。而小波包是一种更加精细的分解方法，如果用小波包强制消噪，则可以对小波分解过程中未分解的部分进行进一步分解，将噪声部分的小波包系数置零，保留信号部

42、分的小波包系数，重新组合成树结构后再进行小波包重构。由于小波包分解提高了频域分辨率，所以它的消噪效果比较明显，信噪比由原来的15提高到了19.1155。所以采用此类信号可以比较出小波包较小波在分解高频部分的优势所在。从此即可看出小波包在分解高频部分、提高频域分辨率方面较小波去噪的优势所在。参考文献1 胡广书.现代信号处理教程.北京:清华大学出版社,2004年2 徐长发,李国宽.实用小波方法.武汉:华中科技大学出版社,2004年3 魏明果编著，实用小波分析，北京理工大学出版社，20054 沈越泓、高媛媛.通信原理.北京:机械工业出版社，20045 胡昌华 张军波等编著，基于MATLAB的系统分析

43、与设计小波分析，西安电子科技大学出版社附 录1. 单极性非归零码的小波降噪程序%基带信号的消噪clearb=binary(200);xref=wave_gen(b,polar_nrz);%产生二进制信号,单极性非归零码x = awgn(xref,20,measured);ps0=sum(xref.2);pn0=sum(x-xref).2);snr=10*log10(ps0/pn0); %比较软硬阈值消噪xc1=wden(x,heursure,h,sln,3,db1);xc2=wden(x,heursure,s,sln,3,db1); subplot(411);plot(xref);grid;

44、axis(0,1600,-2,2);title(原信号);subplot(412);plot(x);grid; axis(0,1600,-2,2);title(含噪信号);subplot(413);plot(xc1);grid; axis(0,1600,-2,2);title(小波硬阈值消噪);subplot(414);plot(xc1);grid; axis(0,1600,-2,2);title(小波软阈值消噪); pn1=sum(xc1-xref).2);snr1=10*log10(ps0/pn1); pn2=sum(xc2-xref).2);snr2=10*log10(ps0/pn2);

45、 disp(原含噪信号信噪比，硬阈值消噪后信噪比，软阈值消噪后信噪比);snr,snr1,snr22. 单极性非归零码的小波包降噪程序%基带信号的消噪clearb=binary(200);xref=wave_gen(b,polar_nrz);%产生二进制信号,单极性非归零码x = awgn(xref,20,measured); ps0=sum(xref.2);pn0=sum(x-xref).2);snr=10*log10(ps0/pn0); %采用默认阈值消噪thrp1,sorh,keepapp,crit = ddencmp(den,wp,x);xcp1 = wpdencmp(x,sorh,3

46、,db1,crit,thrp1,keepapp); %采用公式阈值消噪t=wpdec(x,3,db1);x0 = wpcoef(t,1,1);L=length(x);a=median(abs(x0)/0.6745;thrp2=a*(2*log(L)0.5;xcp2 = wpdencmp(x,s,3,db1,sure,thrp2,1); subplot(411);plot(xref);grid; axis(0,1600,-2,2);title(原始信号);subplot(412);plot(x);grid; axis(0,1600,-2,2);title(含噪信号);subplot(413);plot(xcp1);