运筹学课程设计.doc

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1、摘 要运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集和统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。本文研究的主要内容是某食品企业希望向消费者推销低脂类早餐谷物，希望通过广告来吸引各个年龄段的男女消费者，这些广告投放在不同的电视节目上，价格不同，达到的效果也不同，在既能满足观众的要求，又为广告支出的费用最低的情况下做出一个规划。根据各种限定性因素得出目标函数和各个约束条件，运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所

2、建立的线性规划模型。另外利用LINGO软件求解某摩托车厂四个季度生产量的分配问题，使得每个季度的生产量合理安排，达到生产成本最少的目的。然后利用Lingo求解某游戏机厂运输问题，得到一个最优运输方案。所以对基本情况的分析，经过抽象和延伸，建立起了购买电视广告的线性规划模型。结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论和分析，将模型应用于案例的背景问题，得出相应的最优解决方案，就可以对问题一一进行解答。关键词:线性规化软件；Lingo；Lindo软件；数据分析；灵敏度分析。目 录1.购买电视广告问题11.1.问题的提出和分析11.1.1.问题提出11.1.2.问题分析21.2.问题求解31.3.结果分

3、析52.运输问题72.1.提出问题72.2.问题分析82.3.结果分析11总结12参考文献13131. 购买电视广告问题1.1. 问题的提出和分析1.1.1. 问题提出某食品公司销售某种希望能吸引各年龄段男女消费者的低脂肪早餐谷类食物。该公司准备用多个30秒电视广告来宣传这类产品，这些广告可以投放在若干电视节目上。不同节目中的广告价格（有些30秒时段比其他时段贵的多）和可能影响观众类型都不同。该公司已经将潜在的观众分为6个互不包含的组别：1835岁男性、3655岁男性、55岁以上男性、女性分类同男性一致。已知评级服务可以提供观看特定电视节目上广告的各组观众的数量，每有一个这样的观众被称为一次曝

4、光。该公司已经求出希望获得的对各组观众的曝光次数，现在想知道在若干电视节目上个投放多少条广告，才能以最低成本获得满足要求的曝光次数。每条广告的价格、每条广告的曝光次数和要求的最低曝光次数列于表中，其中曝光次数的单位是百万，价格的单位是百万。该公司该如何决策？广告问题的相关数据 电视节目观众组热播偶像剧体育节目综艺节目军事节目流行音乐文化娱乐报道新闻电视连续剧要求最低曝光次数1835岁男性6650.50.70.10.11603655岁男性3520.50.20.10.226055岁以上男性1300.3000.34281835岁女性9140.10.90.60.11603655岁女性4120.10.1

5、1.30.236055岁以上女性210000.40.3428每条广告的成本16010080913158851.1.2. 问题分析在此例中，需要决定的是在不同电视节目上投放的广告数量，要求广告总成本最小化，并达到对不同观众组的曝光次数要求。建立模型于是，我们设为决策变量，令它们依次表示在上述表中给出的各个电视节目上需投放的广告数量，设z为广告费用。建立如下LP模型：约束方程方程组如下：1.2. 问题求解求解目标函数：对于上述LP问题，利用LINDO软件求解，打开LINDO,在输入文件框内输入如下数据：min 160x1+100x2+80x3+9x4+13x5+15x6+8x7+85x8st6x1

6、+6x2+5x3+0.5x4+0.7x5+0.1x6+0.1x7+x8603x1+5x2+2x3+0.5x4+0.2x5+0.1x6+0.2x7+2x860x1+3x2+0.3x4+0.3x7+4x8289x1+x2+4x3+0.1x4+0.9x5+0.6x6+0.1x7+x8604x1+x2+2x3+0.1x4+0.1x5+1.3x6+0.2x7+3x8602x1+x2+0.4x6+0.3x7+4x828End然后点击运行并且进行灵敏度分析，在结果输出中显示如下结果： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1927.62

7、9 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.069735 0.000000 X2 0.000000 1.377266 X3 0.000000 5.467225 X4 79.888428 0.000000 X5 0.000000 1.311716 X6 20.836821 0.000000 X7 0.000000 0.708856 X8 2.881450 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 9.327755 0.000000 3) 0.000000 -15.474198 4) 11.562064 0.000000 5

8、) 0.000000 -9.163180 6) 0.000000 -3.465830 7) 0.000000 -8.622734 NO. ITERATIONS= 7 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 160.000000 11.117017 64.411766 X2 100.000000 INFINITY 1.377264 X3 80.000000 INFINITY 5.4672

9、22 X4 9.000000 0.157245 6.716216 X5 13.000000 INFINITY 1.311715 X6 15.000000 7.259256 1.994953 X7 8.000000 INFINITY 0.708856 X8 85.000000 4.498869 19.999990 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 60.000000 9.327755 INFINITY 3 60.000000 124.500000 9.982090 4 28.

10、000000 11.562064 INFINITY 5 60.000000 54.183006 19.904762 6 60.000000 37.563633 18.444445 7 28.000000 30.181818 9.4123011.3. 结果分析由以下结果得知， OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1927.629 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.069735 0.000000 X2 0.000000 1.377266 X3 0.000000 5.467225 X4 79.888428 0.000000 X5 0.000000

11、1.311716 X6 20.836821 0.000000 X7 0.000000 0.708856 X8 2.881450 0.000000当=4.0697；=0；=0；=79.8884；=0；=20.8368；=0；=2.8815时，目标函数有最优解，此时z=1927.629,说明当在热播偶像剧中投放广告数量为4.0697，军事评论中投放广告数量为79.8884，电视连续剧中投放广告数量为2.8815时，此时既能达到不同观众组的曝光次数要求，又使得广告成本最小，广告成本为1927.629万元。SLACK OR SURPLUS 表示松弛变量的值，有一些不为0，所以要进行灵敏度分析。Dual

12、 Price部分的第i+1行中可以找到第i个约束条件的影子价格。结果如下所示： ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 9.327755 0.000000 3) 0.000000 -15.474198 4) 11.562064 0.000000 5) 0.000000 -9.163180 6) 0.000000 -3.465830 7) 0.000000 -8.622734影子价格为负数，尤其是（2）中即3655岁观众组曝光数量的绝对值最大，表示如果保持此约束条件不变，将增加购买广告成本15.474198万元，其它表示的意思与此一致。NO. ITERATIONS

13、= 7表示用单纯形法经过7步迭代（旋转）得到结果除了计算结果外，作灵敏度分析以得到关于该解决方案的更多信息，得到上图RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED下面的灵敏度分析报告表，通过灵敏度分析结果知， OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 160.000000 11.117017 64.411766 X2 100.000000 INFINITY 1.377264 X3 80.000000 INFINITY 5.467222

14、X4 9.000000 0.157245 6.716216 X5 13.000000 INFINITY 1.311715 X6 15.000000 7.259256 1.994953 X7 8.000000 INFINITY 0.708856 X8 85.000000 4.498869 19.99999对目标函数的系数作灵敏度分析得知的系数允许的增量为11.117017，允许的减量为64.411766;的系数允许的增量为0.157245，允许的减量为6.716216；的系数允许的增量为7.259256，允许的减量为1.994953；的系数允许的增量为4.498869，允许的减量为19.9999

15、90。因为在实际中广告的条数大于零，所以各变量在大于零，小于最大值之间变化时，目标函数最优解不会发生改变。对约束方程组右端项做灵敏度分析， RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 60.000000 9.327755 INFINITY 3 60.000000 124.500000 9.982090 4 28.000000 11.562064 INFINITY 5 60.000000 54.183006 19.904762 6 60.000000 37.563633 18.4444

16、45 7 28.000000 30.181818 9.412301得知了各个年龄段观众组的曝光次数在预计的基础上可以变化的范围，该公司希望以最低成本获得满足要求的曝光次数，说明在最优解不变的情况下，曝光次数越高越好，因为根据曝光的定义知道，曝光次数越高，说明观看广告的观众越多，这就达到了改公司的预期目的。可以看出对3655岁男性观众的曝光次数变化范围较大，放松或者加强这项约束，都会使广告费用有一个大的变化，在达到预期效果的前提下，放松这项约束，会节省广告费用，而不放松约束的情况下，曝光次数增加，宣传力度加强，但是会使广告成本上升许多。2. 运输问题2.1. 提出问题某游戏机厂下设三个位于不同地

17、点的分厂A，B，C，该三个分厂生产同一种设备，设每月的生产能力分别为10台、20台和40台。游戏机厂有四个固定用户，该四个用户下月的设备需求量分别为10台、20台、24台和16台。设各分厂的生产成本相同，从各分厂至各用户的单位设备运输成本如下表所示，而且各分厂本月末的设备库存量为零。问该厂应如何安排下月的生产与运输，才能在满足四个用户需求的前提下使总运输成本最低。分厂名称 运输成本(元台) 月生产能力(吨)运输费用如下表所示：用户1用户2用户3用户4分厂A60507050分厂B709010040分厂C607012040 2.2. 问题分析产地总产是为70，销地总销量为70，所以这是一个产销平衡

18、的运输问题。设总运输成本为Z，有产地运输到用户单位的运输量为Xi，具体如下表： 用户1用户2用户3用户4ABC建立数学模型如下：Minz=60+50+70+50+70+90+100+40+60+70+120+40s.t用LINGO编程如下：model:sets:warehouses/wh1.wh3/:c;vendors /v1.v4/: d;links(warehouses,vendors): cost, volume;endsetsmin=sum(links:cost*volume);for(vendors(J):sum(warehouses(I):volume(I,J)=d(J);for(

19、warehouses(I):sum(vendors(J):volume(I,J)=c(I);data:c=10 20 40;d=10 20 24 16;cost=60 50 70 5070 90 100 4060 70 120 40;Enddataend在下拉菜单中点击Solve运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 4740.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost C( WH1) 10.0000

20、0 0.000000 C( WH2) 20.00000 0.000000 C( WH3) 40.00000 0.000000 D( V1) 10.00000 0.000000 D( V2) 20.00000 0.000000 D( V3) 24.00000 0.000000 D( V4) 16.00000 0.000000 COST( WH1, V1) 60.00000 0.000000 COST( WH1, V2) 50.00000 0.000000 COST( WH1, V3) 70.00000 0.000000 COST( WH1, V4) 50.00000 0.000000 COST(

21、 WH2, V1) 70.00000 0.000000 COST( WH2, V2) 90.00000 0.000000 COST( WH2, V3) 100.0000 0.000000 COST( WH2, V4) 40.00000 0.000000 COST( WH3, V1) 60.00000 0.000000 COST( WH3, V2) 70.00000 0.000000 COST( WH3, V3) 120.0000 0.000000 COST( WH3, V4) 40.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V1) 0.000000 30.00000 VOLUME

22、( WH1, V2) 0.000000 10.00000 VOLUME( WH1, V3) 10.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V4) 0.000000 40.00000 VOLUME( WH2, V1) 0.000000 10.00000 VOLUME( WH2, V2) 0.000000 20.00000 VOLUME( WH2, V3) 14.00000 0.000000 VOLUME( WH2, V4) 6.000000 0.000000 VOLUME( WH3, V1) 10.00000 0.000000 VOLUME( WH3, V2) 20.00000

23、0.000000 VOLUME( WH3, V3) 0.000000 20.00000 VOLUME( WH3, V4) 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4740.000 -1.000000 2 0.000000 -60.00000 3 0.000000 -70.00000 4 0.000000 -100.0000 5 0.000000 -40.00000 6 0.000000 30.00000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.0000002.3. 结果分析由结果知最小的运输费用为4740

24、元，全局运输方案如下：从分厂A到销地用户3的运输量为10；从 分厂B到销地用户3的运输量为14；从分厂B销地用户4的运输量为6；从分厂C到销地用户1的运输量为10；从分厂C到销地用户2的运输量为20；从分厂C到销地用户4的运输量为10。此时为最优运输方案，运输费用最少，达到产销平衡。总结通过本次的课程设计，进一步加深了对运筹学的理解，通过求解购买电视广告问题及运输问题，建立线性规划模型，利用LINDO软件来实现其过程，得到要求解的最优解，然后进行灵敏度分析，分析变量的改变对最优解的影响。利用LINGO软件来求解运输问题，使我掌握了LINGO的使用方法，更是进一步加深了运输问题的理解，熟练建立模型，通过软件快速求解。得到最优运输方案。在本次课程设计中，通过查阅各种运筹学的资料，收集与课题相关的内容，建立合适的线性模型解决要求解的问题。通过本次课程设计，在查阅资料的过程中进一步学习了运筹学，以前不理解的的问题也都迎刃而解，而且掌握了Lingo和Lindo软件的使用，更方便以后的学习进步。参考文献1 范玉妹 徐尔 赵金玲 胡毅庆编著.数学规划及其应用。北京：冶金工业出版社.2009.92教材编写组.运筹学.北京：清华大学出版社.20083胡运权等.运筹学基础及应用.北京：高等教育出版社.2011