恰当方程积分因子通解微分方程论文.doc

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1、本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件, 然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性, 我们总结出几种特殊形式的积分因子, 并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子, 然后通过实例验证这些方法的有效性，最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。关键词：恰当方程􀀁 积分因子􀀁 通解􀀁 微分方程 Abstract This paper firstly introduces the definition and the necessary and sufficient condi

2、tions of exact equation, and then introduce the definition of integral factor and the existence conditions for the exact equation.Considering the no uniqueness of exact equation and the complex of the process of solving, we summarized some special form of integral factor, and analyzes the various me

3、thods to solve integral factor of differential equations，then we shows the effectiveness of these methods through the example , finally we use these methods to work out integral factors of four basic types the equation. 目录一、恰当方程的定义和充要条件1二、积分因子的定义1三、积分因子的存在条件2四、积分因子的形式34.1只与有关的积分因子34.2只与有关的积分因子44.3形为

4、的积分因子54.4形为的积分因子64.5形为的积分因子84.6形为的积分因子104.7形为的积分因子124.8形为的积分因子134.9形为的积分因子154.10形为的积分因子164.11形为的积分因子204.12形为的积分因子224.13形为的积分因子244.14形为的积分因子254.15形为的积分因子274.16形为的积分因子28五、利用积分因子求解微分方程的一般方法295.1凑微分法求积分因子295.2分组法求积分因子30六、四种类型方程的积分因子法326.1变量分离方程326.2齐次方程326.3一阶线性微分方程336.4伯努利方程33七、结束语34附录37一、英文原文37二、中文译文4

5、8一、恰当方程的定义和充要条件对于具有对称形式的一阶微分方程 其求解方法是根据方程的不同类型确定的。我们讨论其中一类全微分方程, 也称为恰当方程。所谓恰当方程就是形如方程, 其中 在某矩形区域内是的连续函数且具有连续的一阶偏导数, 若方程 的左端 恰好是某个二元函数的全微分,即 这时方程的通解是, 这里是任意常数。方程为恰当方程的充要条件是,这常用于判断一个微分方程是否为恰当方程, 进而求得其通解。恰当方程可以通过积分求出它的通解, 因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大的意义, 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。二、积分因子的定义当方程不是恰当方程时，。但如存在不恒为零的连续可

6、微函数，使得 成为恰当方程，即存在函数，使那么则称为方程的积分因子。此时的通解也就是的通解。三、积分因子的存在条件常微分方程为恰当方程的充要条件是 ，即。另记，则上面方程可整理 因此，为方程的积分因子的充要条件是其为方程的解。方程 是一个有两个自变量的偏微分方程, 一般地求它要比求常微分方程更困难。但是, 在若干特殊情形下, 求 的一个特解还是容易的, 所以也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径。下面就讨论某些特殊形式的积分因子。四、积分因子的形式理论上可以证明积分因子必定存在, 但是实际上没有一个一般方法, 只有对一些特殊的方程可以求出特殊形式的积分因子。我们主要讨论以下几种特殊形式的积

7、分因子:4.1只与有关的积分因子在这种条件下我们有一条结论：方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，这里的是仅为的函数，且可以求得相应的积分因子具有 这种形式。 证明略。例1.1 求方程的通解和积分因子。解： 因为,， 所以， 从而原方程不是恰当方程，考虑 从而方程有只与 x有关的积分因子 ，原方成两端乘以得 ，整理得 因此，通解为 。（c为任意常数）注意：此时。4.2只与有关的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为： ，渴求的相应的积分因子具有这种形式。证明略。例2.1 求方程。解：因为所以，易知原方程不是

8、恰 当方程，所以，方程有只与有关的积分因子： ，原方程两边乘以积分因子，变为，整理得 ，所以通解为（c为任意常数）。另外，要注意当时，此方程也成立。4.3形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，且积分因子。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则有，当时，整理得，因此，方程具有形为的积分因子的充要条件为： ，且积分因子。例3.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，易 知原方程不是恰当方程，考虑，所以方程有形为的积分因子。所以，原方程两边乘以积分因子u，整理得 ，因此通解为 （c为任意常数）。另外，当时，其也是方程的解。

9、4.4形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：（a,b为不同时为零的常数），且积分因子。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，那么 ， 即 ，因此， 方程具有形为的积分因子的充要条件为 ： （a,b不同时为零）且积分因子。例4.1 求方程的通解。解：因为 ，所以 取，所以方程有形为的积分因子，原方程两边乘以积分因子u，整理得 ，化为 ，因此通解为 （c为任意常数）。4.5形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，且它的积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有

10、，即 ，令，则，那么 ，进一步整理得 ，因此， 方程具有形为的积分因子的充分必要条件为 ： 且它的积分因子为。例5.1 求方程的通解。解：因为，所以，那么，因此方程有形为的积分因子，以方程两端乘以u,得 ，可求的通解为（c为任意常数）。4.6形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且它的积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，则 ，那么 ，因此， 方程具有形为的积分因子的充要条件为 ：且它的积分因子为。例6.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，则 ，所以方程有形为的积分因子，方成两端同时乘以u,得到 ，整

11、理得 ，所以通解为 （c为任意常数）。4.7形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令 ，则，则 ，那么 ，所以，方程具有形为的积分因子的充分必要条件为 ：，其积分因子为。例7.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，则，因此方程有形为的积分因子，方成两端同时乘以u,得到，所以通解为 （c为任意常数）。4.8形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，则 ，

12、那么 ，所以， 方程具有形为的积分因子的充要条件为 ： 且积分因子为。例8.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，则 ，那么方程有形为的积分因子，方成两端同时乘以u,得到 ，所以通解为 （c为任意常数）。4.9形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为： 且积分因子。证明：必要性，设是方程的积分因子，则 ，既得 ，从而整理得 ，取，则得 ，最后得 。充分性，若，令，则 ，所以故积分因子为。当然，上面第8种积分因子为此一特例，这里就不再举例了。4.10形为的积分因子常微分方程，若，则方程具有乘积形式的积分因子的充要条件是下面的关系式成立:（其

13、中）。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 （其中），稍加整理即得到： 于是结论成立。注意，当时，则上面结论变成： 方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为： 且积分因子。下面给出求具有乘积形式积分因子的求解方法。定理 对方程假设满足下列关系式： 其中则方程具有形为的积分因子。证明：此定理是上面推论的一个直接结果, 故省略其具体的证明。注解：将上面稍加整理可得 ，通过选取适当的函数 使得等式右端仅为的函数, 从而可确定出函数 , 从而求出原方程对应的积分因子。从上述注解中可以得到求乘积形式的积分因子的一种新方法,将原来通过求积分因子要满足的很复杂的

14、表达式, 进而求出积分因子的过程, 简化为下面的两步完成。1、求方程的具有形式的积分因子要满足的条件或者求方程的积分因子要满足的条件。2、从满足的条件表达式中整理出函数或所要满足的关系式, 进而选取适当的或，确定出或。例10.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以取，计算得到 故此时只需选取则得到，于是原方程具有 积分因子为，用积分因子乘以原方程的两端, 得原方程的通解为 （c为任意常数）。例10.2 求方程的积分因子和通解。解：因为，取， ，故此时可选取，则可得到，于是原方程 具有积分因子，用积分因子作用于原方程的两端, 则可得原 方程的通解为 （c为任意常数）。4.11形为的积分因子方

15、程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，积分因子为。（其中，为实数。）证明：必要性，假设积分因子，则为全微分方程，则有，即，令，则，其中， 充分性，若，其中，则 ，即 ， 取 ，有 ， 将式两端乘以，可以得到 将与对比可得，即亦即，故为全微分方程，（其中，为实数。）推论1 方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，积分因子为。（其中，为实数。）推论2 方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，积分因子为。（其中，为实数。）4.12形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且都为

16、同次齐次方程，满足，则方程存在形为的积分因子。证明：不妨设均为r次齐次函数，则有齐次函数的性质可知，可将改写为，其中，这时变形为 联系以上各式，并在方程两端同时乘以u,可得 下面证明上式为全微分方程。因为 显然，上面两式恒等，即是全微分方程。例12.1 求方程的积分因子和通解。解：因为均可视为2次齐次函数，所以方程应有积分因子 ，其中方程的两端同时乘以u得 则上述方程是全微分方程，存在函数 使为方程的通积分，故可得原方程的通积分为 。4.13形为的积分因子方程中，满足，则方程存在形为的积分因子。证明：由题可知，只需要证明方程为全微分即可。由于，故有 同样可得 ，所以=。故方程中，满足，则方程存

17、在形为的积分因子。例13.1 求方程的积分因子和通解解：因为，故有定力可知方程应有积分因子 ，方程的两端同时乘以u得 ，即 显然，上述方程为全微分方程，故存在函数 使方程有通积分为，即（c为任意常数）。4.14形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足条件，则方程存在形为的积分因子。证明：方程的两端同时乘以u得现在证明上述方程为全微分方程。因为上面两式相减得 故为全微分方程。例14.1 求方程的积分因子和通解。解;因为，故 因此，方程有积分因子为 ，方程的两端同时乘以u得 方程的通积分为（c为任意常数）。4.15形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积

18、分因子的充要条件为： 且积分因子为（这里为的复合函数）。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，代入，整理得 ，即 所以，方程具有形为的积分因子的充分必要条件为 ： 且积分因子为。4.16形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且积分因子。证明：必要性，设是方程的积分因子，则，既得 ，从而整理得 ，最后得 。充分性，若，令，则，所以故积分因子为。五、利用积分因子求解微分方程的一般方5.1凑微分法求积分因子对某些形式比较简单的微分方程, 可以通过“凑微分”的方法来求积分因子, 为此, 必须熟悉一些基本的二元函数的全微分。例如求解时先对

19、方程进行展开, 再运用一些熟知的微分形式, 找到合适的积分因子凑微分, 化方程为恰当方程, 从而解得方程。例1 求方程的通解。解：展开，凑微分得，为了消去方程中的系数“3”, 我们可以考虑用幂函数的微分，所以方程取积分因子，两边同时乘以，得 ，整理后得 所以方程的通解为 （c为任意常数）。此例可归结为，两边乘以，这种情形主要运用幂函数的微分消去常数因子，从而化方程为恰当方程, 还可以对此方法进行推广如下。例2 求方程的通解。 解：展开，凑微分得，两边同时乘以，得 即 整理后得 所以方程的通解为 （c为任意常数）。 此例可归结为，两边乘以，这种情形主要运用指数函数的微分消去函数因子，从而化方程为

20、恰当方程,。5.2分组法求积分因子一个较复杂的方程, 仅靠观察法往往不易直接求出它的积分因子, 运用分组找积分因子的方法, 通常称为分组法, 而求解微分方程的方法称为分组积分因子法。设微分方程可以分成几组，为了研究方便，假设方程可写成两组并设可以分别求出各组的积分因子，即存在使得 再有非零可微函数使得，记这两个相等的函数为，则 即是原微分方程的积分因子,方程的通解就是（c为任意常数）。例3 求微分方程的通解和积分因子。解：先把左边分组成，易知前一组有积分因子，后一组有积分因子和，我们要找寻可微函数，使得，即，这时，我们只需取即可，所以原方程有积分因子为 ，用它乘以原方程的两端得 ，原方程的通解

21、为 （c为任意常数）。另外，当时也为方程的解。运用分组法求积分因子时, 有两个重要问题： 一 关键在于将较复杂的对称形式的方程进行适当分组，二 重难点在于适当选取使得。六、四种类型方程的积分因子法由一阶微分方程的初等解法知, 四种基本类型的方程均可通过积分因子化为恰当方程。在历史上, 欧拉( Euler ) 试图利用积分因子的方法统一处理这一问题, 虽然结果不是很理想, 但至少说明一点, 这四种方程的积分因子均存在, 均可运用恰当方程的方法求解, 所以掌握好积分因子的求法是十分必要的。下面就此进行说明。6.1变量分离方程变量分离方程的一般形式为，写成微分形式得，两边同时乘以得，此时易得方程的通

22、解为（c为任意常数），由此可知方程有积分因子。6.2齐次方程 齐次方程的一般形式为，利用变换可以将方程化为可分离变量的微分方程或，方程两端同时乘以得，易知上式为全微分方程，所以方程有积分因子为。6.3一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为，写成微分形式得，其中，因为，所以，从而方程有积分因子，由此不难求得方程的通解为 （c为任意常数）。6.4伯努利方程 伯努利方程的一般形式为，写成微分形式得两边乘以得，两边乘以得，两边乘以，得 ，即 所以方程的通解为，积分因子为。由此可知利用积分因子可以求解某些一阶微分方程, 但是对于不同类型的方程而言, 这并不一定是最好最简便的方法, 这就要求我们在掌

23、握基本解法的同时学会具体问题具体分析, 尽可能采取简便易操作的方法。七、结束语从理论上来讲，运用积分因子可以将非恰当微分方程转化为恰当微分方程，也就是说运用积分因子可以得到一般一阶微分方程的解法。本文总结并给出了十四种类型的积分因子的充要条件和相应例题。所给出的这些类型各有特点，但有联系紧密，总的来说，最主要的还是在做题当中，我们要细心观察每个方程的特点，分析出它们属于哪种类型，并据此求出相应的积分因子。本文中的例题就是根据各个方程的特点，运用相应的结论求解的。参考文献1 郑文晶. 一类积分因子的存在性定理J. 呼伦贝尔学院学报 2008. (16) 72-74.2 王金诚. 浅析积分因子的求

24、法J. 中国科技信息. 2007,. (20) 241-246. 3 北京师范大学数学系主编. 常微分方程讲义M. 北京师范大学出版社,1986.4 龚雅玲. 求解微分方程的积分因子法J. 南昌教育学院学报, 2007, (01) 31-35 . 5 徐安农,段复建. 全微分方程与积分因子法J. 桂林电子工业学院学报. 2002, (02) 11-13. 6 温启军,张丽静. 关于积分因子的讨论J. 长春大学学报. 2006, (10) 17-20. 7 阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法J. 邯郸师专学报. 2004, (03) 2-6.8 Stievenard D, Scanning tu

25、nneling microscopy. InNanotechnologies and Nanophysics, pp. 69-89.Springer Berlin Heidelberg, 2007.9伍卓群，李勇. 常微分方程M. 北京.高等教育出版社. 2004.10 王高雄等. 常微分方程M. 北京. 高等教育出版社. 1983.11 王坚定. 一些特殊类型微分方程的积分因子(续)J. 黔南民族师范学院学报. 2001, (06) 7-8. 致谢词在我的毕业设计及论文完成期间，指导老师李刚给了我极大的帮助和鼓励，李老师严谨的治学态度，诲人不倦的教学精神、高深的学术造诣和对学科前沿知识的敏锐

26、洞察力，都使我受益匪浅。从李老师身上我不仅学到了许多专业知识，也学到了对待学术的正确态度，在此，我对李老师致以诚挚的谢意！在毕业设计完成过程中也得到了师兄师姐的指导和关心，他们给我提出了许多宝贵的意见和建议，这对我毕业设计的完成起到了极大的作用，在此，我向他们表示衷心的感谢！再次感谢所有在我大学本科期间给予过我关心、支持和帮助的老师、同学和朋友，谢谢大家！ 附录一、英文原文 The Time-Invariant Linear-Quadratic Optimal Control ProblemSummary-This paper provides a review of one of the b

27、asic problems of systems theory-the general time-invariant optimal control problem involving linear systems and quadratic costs. The problem includes on one hand the regulator problem of optimal control and on the other, the theory of linear dissipative systems, itself central to network theory and

28、to the stability theory of feedback systems. The theory is developed using simple properties of dynamical systems and involves a minimum of hard analysis or algebra. It includes a full existence theory of the matrix quadratic equation, of interest in its own right.I. INTRODUCTIONTHE GENERAL time-inv

29、ariant optimal control problem involving a linear dynamical system and a quadratic cost integrand admits several interpretations. When these are taken into account the problem is perhaps one of the most important problems in system theory. With no assumption made on the cost integrand other than a q

30、uadratic form, the problem includes not only the non- singular regulator problem, but also optimal control problems that are singular and that involve conflicting objectives. Secondly, through duality, it is equivalent to the Wiener problem of least-square filtering. Thirdly, the problem can be asso

31、ciated with the state-space theory of dissipative systems-in particular, several optimal cost functions provide explicit storage functions. In turn, the notion of a dissipative system is one of the fundamental concepts of systems theory. It is the basis of the Lyapunov theory of nonlinear feedback s

32、ystems on one hand and the modern state-space network theory on the other. From a theoretical point of view the problem is particularly interesting in that it has an essentially complete theory-necessary and sufficient conditions can be stated throughout. Of course, this happy state is the exception

33、 rather than the rule in system theory. Further, this theory provides, inter alia, existence results for solutions of the matrix quadratic equation and for the factorization of rational matrices. In fact, the optimal control problem can be regarded as an economical if indirect approach to the theory

34、 of these basic mathematical tools. Finally, the standing assumptions can be relaxed,and the theory provides a useful indication of the results of the more general problems. Although of greater analytic complexity, the time-varying linear-quadratic problem can be resolved, and has application to sin

35、gular control and to second-order necessary conditions of nonlinear optimal control. It thus seems worthwhile to search for a simple and economical development of the theory. Willems seminal paper of 19711 certainly settled many of the broad issues, but with the hindsight of another five years we fe

36、el another presentation is warranted. Basically, we extend Willems lead to its logical conclusion, that of using arguments based on dynamical systems properties wherever possible.This has the happy consequence, of considerable pedagogic value, that the solution succeeds with a minimum of hard analys

37、is and algebra. In more detail, we obtain in Section 2 the basic necessary conditions for the problem-that its optimal cost function satisfies a normalized dissipation inequality. The relevance of the problem to the theory of dissipative systems is then immediately evident. In Section 3 we show that

38、 under appropriate conditions, of controllability and reachability,the dissipation inequality is also sufficient for the zero end-point case to be well-defined, and weidentify maximal and minimal solutions of the inequality. In Section 4 we start filling in details by invoking the linear-quadratic p

39、roperties for the first time. The key result, that the optimal cost is quadratic, is completely intuitive but relatively difficult to prove. Time-domain and frequency domain equivalence conditions follow by relatively easy manipulation. The scattering-matrix theory of passive systems is obtained wit

40、h, perhaps, minimal fuss. In Section 5 we obtain yet more detail in the nonsingular case. Again an initial hurdle is relatively difficult (that the relevant solutions satisfy a matrix quadratic equation), after which appropriate equivalence conditions follow by manipulation. Finally, in Section 6 we

41、 consider the nonsingular regulation problem, and read out the theory of both the zero end-point and the free end-point cases.2 PROBLEM DEFINITION As indicated in the introduction, our approach uses in a crucial fashion some of the basic results of linear systems theory. A familiarity with these res

42、ults is assumed,compatible with, say, references2、3. Our matrix-vector notation is standard. Consider the time-invariant linear dynamical system represented . Here x(t) and u(t) belong to the vector spacesrespectively, and A and B are real matrices of appropriate dimensions. Each component of the input function is an element of,the set of all functions that are piecewise continuous on all finite subintervals