数学分析学年论文隐函数有关定理及其应用.doc

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1、 目 录摘 要1关键词1Abstract1Keywords1前言11 隐函数11.1隐函数的定义11.2. 隐函数存在定理21.3. 隐函数的可导条件22.隐函数组32.1 隐函数组概念32.2 隐函数组存在条件43 隐函数的几何应用53.1 平面曲线的切线与法线53.2 空间曲线的切线与法平面63.3空间曲面的切平面与法线7参考文献8 摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用. 关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性 Theorem and application of Implicit functionAbstract：we wi

2、ll discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant.Keywords:Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable前言这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予

3、以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础.1 隐函数1.1隐函数的定义设,函数对于方程 若存在集合对于任何,恒有唯一确定的,它与一起满足方程(1),则称由方程确定一个在上,值域含于的隐函数.若把它记为 则成立恒等式,.例如方程能确定一个定义在上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理（1） 定理1 若满足下列条件隐函数的存在定理。设满足下面条件：1） 在区域，上连续；2） ；3） 。则 1）在点的某一邻域内，唯一确定一个函数，且。 2）在内连续； 3）在内具有连续导数，且。对于方程组的情形也有类似的定理。1.3. 隐函数的求导方法（2） 隐函数的求导法：通常有三种方法。1

4、） 把方程（或方程组）看作恒等式，两边对自变量求导，然后解出所求的导数或偏导数。2） 公式法：设，是由方程所确定的隐函数，且，则，3）微分法：利用一阶全微分形式的不变性，方程两边求全微分可求出所求的偏导数或导数。例1设， 及 ，证明 证 方程组 确定了函数组 ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得， 即 故 将函数组代入方程，得关于变元的方程，在这方程两边分别对求偏导，得 将上面三式分别乘以后再相加，得 将，代入即得。例2 讨论方程在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 且处处连续,因此在原点附近能惟一地确定连续可微的隐函数,且可求得它的偏导数如下： ,.2.隐函数组2.1

5、 隐函数组概念设为定义在上的四元函数.若存在,对任意,都有惟一确定的,使 成立,则在D上定义了两个函数：.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理3 若（1） 在以为内点的区域内连续（2） ;（3） 在内,有连续的偏导数;（4）在点不等于零.则在点的某一邻域内,方程组惟一地确定了定义点的某一邻域内的两个二元隐函数：.使得 .在内有连续的偏导数,且： 例3 设 ，问什么条件下是的函数？求。解 当对各变元有连续的偏导数，且时，方程组可确定函数组，代入即得是的函数 。对方程组 求微分，得 记，若，由（2）（3）式 代入（1）得 故 ， 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会

6、使计算简单一些。3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 ,在的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 在的导数 .曲线在的切线方程为.法线方程为.例4求螺旋线处的切线方程与法线方程.解： 切线方程是 即 法线方程是 3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 .且.再设为光滑曲线.在上任取一点 ,则割线 的方程为因此：令 ,则由为光滑曲线知,.所以在的切线方程是.过与切线垂直的平面称为在的法平面,其方程为 . 且在的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设）

7、方程组在附近确定惟一连续可微的隐函数组：.则.且 所以在的切线方程是.例5：求曲线在处的切线与法平面.解：令.在处, 所求切线为 .所求法平面为 .3.3空间曲面的切平面与法线 设曲面的方程是：.在内满足隐函数定理的条件,不妨设.方程在附近确定隐函数 ,且 由此得在处的切平面为.法线为.例6求曲面在点对应曲面上的点的切平面方程与法线方程.解：点对应曲面上的点. 于是，曲面在点的切平面方程与法线方程分别是 或 与 或 .参考文献1 同济大学应用数学系主编.高等数学M.北京：高等教育出版社,2002.7.2 华东师范大学数学系主编.数学分析M.北京：高等教育出版社,2001.6.3 张筑生.数学分析新讲M.北京：北京大学出版社,1990.4 孙昊. 数学分析内容、方法与技巧（上、下册）M. 北京:华中科技出版社.9学年论文成绩评定表评 语 成 绩： 指导教师(签名): 200 年 月 日学院意见：学院院长(签名): 200 年 月 日1