固体物理（胡安）课后答案.doc

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1、 第一章 晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。 解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移AB,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。 1.2在正交直角坐标系中，若矢量，为单位向量。为整数。问下列情况属于什么点阵？ （a）当为全奇或全偶时； （b）当之和为偶数时。解： 当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子，偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结

2、构？解：是离子晶体，属于氯化钠结构。1.4 （a）分别证明，面心立方（fcc）和体心立方（bcc）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc为，对bcc为（b）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角均为 解:（1）对于面心立方 （2）对于体心立方 （3）对于金刚石晶胞 1.5 证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l）的晶面族间距为 证明: 元胞基矢的体积 倒格子基矢 倒格矢：晶面间距 1.6 证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。 证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体 底心正交点阵的惯用晶胞如图： 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢： 这组基矢

3、确定的面是正交底心点阵1.7 证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。 证明：倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积 而 由于 而 或: 现在证明： 又令又：代入 同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。解： 1.9 试解释为什么：（a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。（b）立方晶系中没有底心立方点阵。（c）六角晶中只有简单六角点阵。 解：（a）因为四方晶系加底心，会失去4次轴。 （b）因为立方晶系加底心，将失去3次轴。 （c） 六角晶系加底心会失去6次轴。1.10 证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l）的衍射强度为其中、分别为正负离子的散射因子

4、。如何用此结果说明KCL晶体中h,k,l均为奇数的衍射消失？证明：Nacl初基原胞中有和两种离子。 A、B分别代表和。 因此几何结构因子： 射强度：,对于为奇数的衍射面则会消光。1.11 试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为：几何结构因子 衍射强度不为零：（1）nh nk nl 都为基数。（2）nh nk nl 都为偶数（包括零）,且也为偶数。如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的二级衍射斑点。1.12 证明：在倒易空间中，当落于一倒格矢垂直平分面上时，发

5、生布拉格反射。 证明：当波矢满足时有 令 刚好是中垂直面的反射波。 又,由图知： (其中) 1.13 试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量： 证明： 由 各物理量在新旧坐标中： (由于对称操作) 是绕X(a)轴转动是一个对称的操作 是绕Y(b)轴转动也是一个对称操作 将代入 再将代入 1.14 若的立方结构如图所示，设原子的散射因子为，原子的散射因子为，（a）求其几何结构因子（b）找出（h,k,l）晶面族的X光衍射强度分别在什么情况下有 (c)设 ，问衍射面指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。 解：结构中，单胞中含有3个B原子，1个A原子。 取 当h+k与h+l，k+

6、l均为偶数时 当h+k，h+l，k+l其中两个为奇数，一个为偶数时 当时有 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1）（1，1，0）（1，0，1） 衍射面指数的消光。1.15 在某立方晶系的铜射线粉末相中，观察到的衍射角有下列关系： （a）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数；（b）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？ 解： 又 h k l = (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0)该立方晶体是面心立方.第二章 晶体的结合2.1 导出NaCl型离子晶体中排斥势指数的下列关系式： (SI单位)其中k为体变模量，设已知NaC晶体的，求NaCl的n=?解：NaC

7、l晶体排斥势指数的关系，设晶体有N个元胞。 则晶体的内能：其中：，对于NaCl结构，（为元胞的体积） 在为平衡位置处：由 （如取SI） 对于NaCl、CsCl、ZnS结构1.747、1.762、1.638 可求2.2 带e电荷的两种离子相间排成一维晶格，设N为元胞数，B/为排斥势，为正负离子间最短的平衡值。证明，当N有很大时有：（a）马德隆常数 ；（b）结合能;（c）当压缩晶格时，),且，则需做功,其中 解：（a）一维原子链，正负离子的距离为a，相距为的两个离子间的相互作用势能： (R为邻近间距总离子间的相互作用势能) 为离子晶格的马德隆常数 令 (b) 利用平衡条件 (c) 由于外力做的功等

8、于晶体内能的增量，外力做功的主项 将代入： 晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项： 设时外力为，外力与晶体(格)的形变成正比. ，为比例函数. 此即为离子链被压缩的过程中外力做功。 所以压缩2N时外力 2.3 量子固体 在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态的一个粗略一维模型，即每个氦原子局限在一段长为L的线段上，每段内的基态波函数取为半波长为L的自由粒子波函数。（a） 试求每个粒子的零点振动能；（b）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式；（c）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡，非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能为，其中L以cm表示，求L的平衡

9、值。 解：(a)根据量子力学，限制在L线段内的自由原子的波函数有形式 又的波函数为基态波函数，所以基态波函数 每个原子的零点动能也就是基态平均动能. (b) 因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为L的线段结构，必须增加力 有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量 U（L）是范德瓦尔斯能： (c) 平衡时： 的平衡值 第三章 晶格动力学和晶体的热学性质3.1 在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且.试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为 解：用和分别表示第S个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移. 令 3.2 具有两

10、维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为M，晶格常数为a，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为c，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明：此二维系统的格波色散关系为 解：只考虑最近邻作用第（l，m）个原子受四个原子的作用. 运动方程： 设 3.3 求： （a）一维单原子点阵振动的声子谱密度，并作图； （b）一维双原子点阵振动的声子谱密度，并作图. 解：一维单原子链： （有个3n色散关系）一维单原子链 一维双原子链: 3.4 设某三维晶体光频声子的色散关系为，试证明，其声子谱密度为 式中A, N为晶体的原胞数. 解：第支格波的模式密度其中为第支格波的等频面.又因为在q=0附近 等频面是一个球面. 又

11、 3.5 使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容为（a）在一维系统中；（b）在二维系统中；解：对于一维简单格子，按德拜模型： d范围内包含 （N为原子数目） 比热容： 在高温时： 低温时 对于二维简单格子： ，所以格波等频（能）线为圆. 二维介质有两支格波,一支声学波,一支光学波. 当温度较高时： 当温度较低时： 3.6 设某特殊二维系统声子频率 ,试证明，此系统的（a）平均振动能量正比于；（b）声子比热容及熵正比于. 解：3.7题中 对于二维系统 同理熵：S 3.7 设d维简单晶格中，频率与成正比，试证明（a）简正模（声子谱）密度；（b）比热容.B、C为常数. 解： 为d维空间

12、等频球面. 令 当时 这时 故在低温时 3.8 求在一维单原子链中，（截止频率）格波的阻尼系数与的关系. 解： 单原子链： 当时 ，q必定为复数，令 将带入 为指数衰减因子.3.9 Grneisen常量.（a）证明频率为的声子模的自由能为； （b）如果是体积的相对变化，则晶体的自由能可以写为其中B体积的弹性模量，假定与体积关系为，为Grneisen常量，如果认为与模无关，证明，当时，F对为极小，并证明利用热能密度，可将它写为； （c）根据Debye证明： .其中( 解：考虑频率为的声子模，配分函数为 自由能： 晶体的自由能为： 若晶体体积改变为则 为体弹性模量. 其中为Grneisen常数 假

13、定与k无关 其中 平均热能： 假定与T无关 由物态方程 利用Deby近似，将第二项化为： 令, , 上式化为： 平均热能： 取时为正值（Grneisen常量）3.10 科恩（Kohn）反常. 假定作用在l平面上总的力为方程 其中晶面间的力常量为 式中A和为常数，p取遍所有整数.在金属中可能有这种形式.利用此式和晶格振动方程证明其色散关系为计算的表达式.证明当时，为无穷大，并讨论的变化情况. 解：若力常数为代入 令： 得： 当时 右边发散 即： 说明声子色散关系或曲线在处斜率出现了垂直的正切变化，也就是声子色散关系在曲线处有曲折（kink）此即Kohn反常3.11 软声子模. 设有等质量而电荷交

14、替变号的一维离子链，第l个离子的电荷为.原子间的势为两种贡献之和：（1）最近邻离子间的短程弹性相互作用，力常量为，以及（2）所有离子间的库伦相互作用. (a) 证明库伦相互作用对原子的力常量的贡献为，其中a是最近邻平衡距离.(b) 由晶格振动方程推导下列一般的声子色散关系： 证明：色散关系可写为式中，而 (c) 证明在布里渊区边界处，若或时，则是负的（不稳定模），这里是Riemann-Zeta函数.进而证明，如果，则对于小的qa声速为虚数.所以若，对于在区间内的某个qa，变为零，因而晶格不稳定.注意，声子谱不是双原子晶格型的，因为任一离子与其近邻的相互作用与其他离子相同.解：软声子模 （a）

15、设离子链沿水平方向，第n个离子右端的第n+p个离子与第n个离子间的库伦力 考虑 将上式展成的级数 第n个离子左端的第个离子与第n个离子间的库伦力 库伦力时常数贡献(b) 第n个离子的运动方程： 令 有 时 , （软模）第四章 能带论4.1 一维周期场中电子的波函数满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为 （a） （b） （c） f是某确定的函数，试求电子在这些态的波矢. 解：由 在一维周期场： 在布里渊区内4.2 试证明，在函数组成的以为周期势场中，单电子能量由下列KronigPenney关系决定：，；并用结果说明每一能带曲线均满足当且为负数时，它可以认为是单电子在一维链中运动的一种良

16、好模型. 证明：在I区域中： 其中 ， 在处波函数连续且，连续得： 在区域II 按Flogue定理 在区域和II的交界处，及必须连续得： 代入C，D得： 方程有解条件为行列式为零 化简得： 只有当 才有解， 这是对能量本正值的限制. 对于 只需把 又 当 令 (常数) 即： 为常数 而4.3 电子在周期场中的势能 且，是常数.试画出此势能曲线，并求此势能的平均值. 4.4 用近自由电子模型处理上题，求此晶体第一及第二禁带宽度. 解：自由电子模型，某带宽度 4.5 设两维正方格子的周期势为 a为晶格常数，求：（a） 按倒格矢展开的傅里叶系数；（b） 近自由电子而言，在哪些布里渊区界线上有Brag

17、g反射？并写出相应的能隙. 解：由得 能隙为此即布里渊区顶角处能隙.所求倒格基矢 最近邻次近邻电子波函数 以I j 表示单位矢量， 表示倒格矢, 为整数.晶体势能其中而其他势能缚氏系数 这样基本方程: 变为 求布里渊区角顶 即处的能隙，可利用双顶平面波近似： 当时依次有 而其它的所以在双顶平面波近似下只有：因为由行列式： 4.8 平面正六角形晶格（如图）六角形两个对边的间距是a，基矢为 试画出此晶体的第一、二、三布里渊区.解：取单位矢量垂直 在、平面内选一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有6个 正六边形为第一布里渊区.4.9 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带: 试画出沿方向,和的曲线.

18、解:紧束缚s态电子能带 用紧束缚方法，只计其最近邻格点作用时 是最近邻格点取参考点的坐标代入上式 在方向上在第一布里渊区边界： 最小值为是能带底 在边界是能带顶 其它交叉项的倒数也会为零。4.10 用紧束缚方法导出面心立方晶体s态电子能带： 并求能带底部的有效质量.解：由 (为最近邻)以为坐标原点有12个最近邻： 能带底即最小值 其它交叉项为零.4.11 设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量，其中 ，若已知孤立原子的势和波函数为 试用紧束缚近似求s态电子的 （a） 能带公式；（b）能带宽度；（c）带底有效质量.解：由 为，孤立原子中s态电子的波函数 为最近邻 取等号格点，则 上式积分只取了右

19、边的最近邻，取左边最近邻也相同.又 （由于等号点左右两个最近邻） 时能最大 时能最小 带宽 带顶有效质量 带顶 带底4.12 试由紧束缚近似证明晶格常数为a的简单一维晶体中，第l格位上s电子的概率幅 满足方程： 式中，是孤立原子s轨道的能量，是晶场劈裂，是最近邻交叠积分.假定一维中晶链中原子总数为N，试求：（a） 电子的能量与波矢关系（b） 能带宽度和带顶空穴及带底电子的有效质量；（c） 设，求能带电子的态密度（d） 假定原子有一个价电子，试求时的费米子能.解：设第n个格点上电子的几率振幅为： 第和第个格点上 将以上三式代入 得： , . 为电子能量 是电子能带底，在能带底电子能量的有效质量

20、为能带顶 带顶空穴有效质量 能量区间波矢数为： 时能态密度： 晶体有N个电子，在绝对零度时都分布在费米能及以下，采用时的能态密度 4.13 某晶体中电子的等能面是椭球面，求能量之间的状态数.解：由： 得： 等能面围成的椭球体积： 在能量区间内电子数状态数目 电子能态密度： 磁感应强度代入电子运动方程：应用： 带入运动方程： 令 即： 由系数行列式为零 无意义 4.14 一维金属的peierls失稳（详见基泰尔固体物理导论10.7式） 考虑一维金属电子气费米波矢为，满足自由电子能谱如果一维晶格由电子气相互作用产生的周期形变为，其弹性能可表示为该形变同时使电子处在一个周期势场中试计算：（a）在该周

21、期势作用下电子在附近的能谱；（b）对系统的电子能量和形变能求导，求出系统的最低能量所对应的型变；（c）在时，形变的表达式为； 解：考虑一个一维金属，在绝对零度下其中电子充满所有导带轨道直到波矢，peierls提出这样一个线性金属在波矢为的周期性静态点阵下是不稳定的，这个形变在费米面上产生能隙，使能隙下面的能量降低，形变继续增大，直到被弹性能的增加所限止平衡形变由确定假定使导电子感受到的点阵位势比倒于形变：根据并定义 单位长度中轨道数目为，可得：平衡方程化为：相应于能量极小的由如果 第五章 金属电子论5.1 设一个二维自由电子气系统，每单位面积中的电子数为n，试求出该系统的（a）能级密度 N（E

22、）；（b）费米能（化学式） 解：二维电子气能太密度 则单位面积金属的电子总数： 令： 5.2 设阻尼项为，试证明：当，时电导率公式为其中，证明：由在x,y平面： 在z方向上：在恒定电场的定态情况： 5.3 电子漂移速度的方程证明：频率为的电导率为 ，其中 证明：电子源移速度： 设交变电场： 设上式特解为： 为的通解当电子达到稳定时： 其中： 5.4 在低温下实验测出某绝缘晶体的比热容与温度的关系为一直线，斜率为B截距为A，如图所示 （a）写出低温下与T的关系；（b）若已知直线的斜率部分来源于声子对比热容的贡献，求B与德拜温度的关系；（c）设截距部分来源于某波色子对比热容的贡献，试估计该准粒子的

23、色散关系 中的 解： 又根据德拜模型，在低温下 又来自声子对比热容的贡献如3.7题在d维晶格中，设 截距部分比热容又因为三维晶格 目 录第一章 晶体的结构及其对称性1第二章 晶体的结合9第三章 晶格动力学和晶体的热学性质12第四章 能带论25第五章 金属电子论41致 谢时间就像被不断拨动的钟，无论你在干什么都感觉到它的流逝，趟过时间的河流不知不觉我们的大学的生活已即将结束。在大学的四年中无论是专业知识还是对人生价值的认识都得到很大提高。首先感谢培养了我们四年的母校伊犁师范学院，再次感谢物理科学与技术学院各位领导及老师的大力支持，感谢你们为我们提供了优良的学习环境，感谢学院各位老师四年来对我们的栽培，使我们拥有了一定的专业知识和技能。本次论文是在赵新军老师的悉心指导下完成的，赵老师学识渊博，理论功底深厚，教学严谨认真。在完成这篇论文的过程中，尽管他教学工作非常繁忙，但还是给予了我耐心的指导，对论文初稿进行了认真审阅，并对论文初稿提出了十分宝贵的修改意见，在我的论文的撰写过程中，老师花费了很多的时间和精力进行指导。在此，我谨向我的指导老师赵新军老师致以我诚挚的谢。 感谢所有老师、同学、朋友、及所有关心我和对我提供帮助的人。愿他们接受我最诚挚的谢意。46