线性代数常见题型及方法总结（三）.doc

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1、线性代数常见题型及方法总结（三）一、向量组的线性组合定义：给定向量组和向量, 若存在一组数使则称向量是向量组的线性组合, 又称向量能由向量组线性表示(或线性表出).例1 判断与是否各为向量组，的线性组合解 对矩阵施以初等行变换化为行最简形矩阵: 由行最简形矩阵：, 不能由线性表示二、向量组的线性相关性定义：给定向量组 如果存在不全为零的数 使 则称向量组线性相关, 否则称为线性无关.例2 判断下列向量组是否线性相关: 解 对矩阵施以初等行变换化为阶梯形矩阵: 秩 所以向量组线性相关.三、极大线性无关组及向量组的秩定义1 设有向量组 若在向量组中能选出个向量, 满足(1) 向量组线性无关;(2)

2、 向量组中任意一个向量都可由向量组线性表示。则称向量组是向量组的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).定义2 向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为.例3设矩阵 求矩阵A的列向量组的一个极大无关并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.解 对施行初等变换化为行阶梯形矩阵： 故列向量组的极大无关组含3个向量.而三个非零首元在第三列，故为列向量组的一个极大无关组. 则故线性无关.由的行最简形矩阵：四、线性方程组解的结构例4 求下列方程组的通解 解 由知方程组有解.又所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组令分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系求特解:令得故所求通解为其中为任意常数. 理工教研组 韩云娜