流体力学课件第三章.ppt

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1、 流体力学流体力学2/117概述概述 第三章第三章 流体运动学流体运动学主主要要内内容容：介绍描述流体运动的方法；分析与讨论流体运动学量和流体运动的基本形式；举例说明流体运动学量的求解方法。3.1 3.1 两种描述流体运动的方法两种描述流体运动的方法3.2 3.2 流线与迹线流线与迹线3.3 3.3 流场基本概念流场基本概念3.4 3.4 流体运动的基本形式流体运动的基本形式3.5 3.5 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动3.6 3.6 连续性方程与流函数连续性方程与流函数4/117 3.1 3.1 两种描述流体运动的方法两种描述流体运动的方法1.1.拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法：即质点

2、法，从分析每个流拉格朗日法：即质点法，从分析每个流体质点的运动入手来研究整个流体的运动。体质点的运动入手来研究整个流体的运动。5/117（1 1）拉格朗日法的迹线方程：）拉格朗日法的迹线方程：式中，式中，a、b、c、t 为拉格朗日变数。为拉格朗日变数。6/117（2 2）流体质点的速度：）流体质点的速度：7/117 （3 3）流体质点的加速度：）流体质点的加速度：拉格朗日法应用的条件、局限性和应用现状？拉格朗日法应用的条件、局限性和应用现状？8/117 2.2.欧拉法欧拉法欧拉法：即场的方法，着眼于欧拉法：即场的方法，着眼于各空间点的流动特性，又称为流场各空间点的流动特性，又称为流场法。法。物

3、理性质一律表示为空间点坐物理性质一律表示为空间点坐标标(x,y,z)和时间和时间 t 的函数。的函数。9/117（1 1）速度场为：）速度场为：式中式中，x，y，z，t 为欧拉变数为欧拉变数。10/117质点导数质点导数质点导数质点导数：t 时刻位于空间点M的流体质点经过t时间后物理量随时间的变化率11/117 流体质点随体导数：流体质点物理量随时间的变流体质点随体导数：流体质点物理量随时间的变化率称为随体导数化率称为随体导数 流体质点随体导数流体质点随体导数流体质点随体导数的算符：流体质点随体导数的算符：A A代表某一特定物理量，代表某一特定物理量，D DA A/D Dt t为随体导数为随体

4、导数12/117（2 2）加速度场：）加速度场：加速度是速度的变化率，当速度分量加速度是速度的变化率，当速度分量既随时间、又随空间坐标变化时，则速既随时间、又随空间坐标变化时，则速度分量的全微分为：度分量的全微分为：13/117及及14/117 在在t 时段内流体质点在三个方向上分别移动时段内流体质点在三个方向上分别移动x、y 和和z 的距离，则流体质点的速度分量分别为的距离，则流体质点的速度分量分别为：15/117 得出欧拉法中的加速度表达式：得出欧拉法中的加速度表达式：16/117 式中，式中，为质点加速度（随体加速度）为质点加速度（随体加速度）为迁移加速度（换位加速度）为迁移加速度（换位

5、加速度）为当地加速度（局部加速度）为当地加速度（局部加速度）17/117 由流场的非恒定性引起由流场的非恒定性引起各点运动要素和物理量（速度、压强和密度）各点运动要素和物理量（速度、压强和密度）都不随时间变化的流动称之为恒定流都不随时间变化的流动称之为恒定流。反之，运动要素随时间变化的流动称之为非反之，运动要素随时间变化的流动称之为非恒定流。恒定流。对于恒定流对于恒定流18/117 由流场的非均匀性引起由流场的非均匀性引起流速大小和方向沿流线不变的流动称之为均匀流流速大小和方向沿流线不变的流动称之为均匀流。反之，流速大小和方向沿流线变化的流动称之为非反之，流速大小和方向沿流线变化的流动称之为非

6、均匀流。均匀流。均匀流的特性：均匀流的特性：（1）流线是相互平行的直线）流线是相互平行的直线（2）同一根流线各个点的流速相等）同一根流线各个点的流速相等（3）过水断面上的动水压强符合静水压强分布规）过水断面上的动水压强符合静水压强分布规律。律。19/11720/11721/11722/11723/11724/11725/117 例例 已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为(式中，式中，k k 为非零常数为非零常数)，求加速度场，求加速度场,判别流动是否恒判别流动是否恒定与均匀。定与均匀。26/117 解解：27/1173.3.拉拉格朗日法与欧拉方法互换格朗

7、日法与欧拉方法互换(1)(1)拉格朗日描述拉格朗日描述 欧拉描述欧拉描述已知：拉格朗日法中的运动规律，流体质点的空间位置为：速度函数速度函数反解反解欧拉变数的速度函数欧拉变数的速度函数28/117 例例 已知用拉格朗日变数表示的流体运动的轨迹为已知用拉格朗日变数表示的流体运动的轨迹为(式中，式中，k k 为非零常数为非零常数)，分析流体运动，求速度场并转，分析流体运动，求速度场并转换为欧拉表达式换为欧拉表达式 29/117 解：用拉格朗日变数表示的流体运动的速度为 由由反解反解30/117 速度场转换成欧拉表达式为：速度场转换成欧拉表达式为：31/117(2)(2)欧拉描述欧拉描述 拉格朗日描

8、述拉格朗日描述已知：欧拉变数的速度函数写为解由三个方程组成的常微分方程组，其通解代入初始条件则32/117 例例 已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为(式中，式中，k k 为非零常数为非零常数)，试将其转换为拉格朗日描述试将其转换为拉格朗日描述(初始初始条件为条件为 ).).33/117 欧拉速度场转换成拉格朗日变数表达式为：欧拉速度场转换成拉格朗日变数表达式为：34/117例3.1 已知拉格朗日变数下的速度表达式为：a、b为t=0是流体质点所在位置的坐标。试求：（1）t=2时刻质点的分布规律；（2）a=1,b=2时这个质点的运动规律；（3）流体质点的加

9、速度；（4）欧拉变数下的速度和加速度。35/117解（解（1 1）注意到：注意到：t=0t=0时，时，x=a、y=b，即即进一步求得流体质点的一般运动规律为：进一步求得流体质点的一般运动规律为：36/117t=2时流体质点的分布规律：时流体质点的分布规律：（2）a=1,b=2的特定流体质点的运动规律：的特定流体质点的运动规律：（3）质点的加速度为：）质点的加速度为：37/11738/11739/1171.1.流线流线（1 1）定义：）定义：流线是某瞬时在流线是某瞬时在流场中绘出的曲线，线上各点流场中绘出的曲线，线上各点的速度矢量均与该曲线相切。的速度矢量均与该曲线相切。3.2 3.2 流线与迹

10、线流线与迹线40/117（2 2）流线方程：）流线方程：由由得出流线微分方程：得出流线微分方程：t 为流线方程的参数，积分时可视作常数为流线方程的参数，积分时可视作常数。41/117 流线的特点流线的特点流线一般不相交（驻点或速度无穷大点除外）流线是光滑曲线或直线流线的形状与固体边界的形状有关断面小处、流速大、流线密断面大处、流速小、流线疏42/11743/1172.2.迹线迹线（1 1）定义：）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。迹线是流体质点运动的轨迹。（2 2）迹线方程）迹线方程由由得出迹线微分方程：得出迹线微分方程：44/117例 1 已知速度场，求流线和迹线.对于恒定流，流线与迹线重合；

11、而对于非恒定流，对于恒定流，流线与迹线重合；而对于非恒定流，流线与迹线一般不重合。流线与迹线一般不重合。45/117 解：流线方程解：流线方程拆分拆分代入代入46/117 迹线方程迹线方程拆分拆分47/117带入求解带入求解48/117迹线迹线49/117例 2 已知速度场，求t=0时通过M（-1，-1）点的迹线和流线.解：由迹线微分方程得到解：由迹线微分方程得到50/117由流线微分方程得到由流线微分方程得到51/117渐变流、急变流一维流动、二维流动、三维流动3.3 3.3 相关概念相关概念过水断面，流管，元流，总流流量与断面平均流速系统和控制体系统和控制体52/117 一维流动：流体和流

12、动特性在过流断面上均匀一维流动：流体和流动特性在过流断面上均匀 分布，仅与流动方向有关。分布，仅与流动方向有关。二维流动：流体或流动特性与两个方向有关。二维流动：流体或流动特性与两个方向有关。三维流动：流体或流动特性与三个方向有关。三维流动：流体或流动特性与三个方向有关。恒恒 定定 流：流：流动性质不随时间改变。流动性质不随时间改变。非恒定流：非恒定流：流动性质随时间改变。流动性质随时间改变。流体流动的分类流体流动的分类53/117渐变流和急变流渐变流和急变流 非均匀流又可根据流速沿流线的变化的缓、急程度分为渐变流和急变流。渐变流是流速沿流线变化缓慢的流动；急变流是流速沿流线变化急剧的流动。5

13、4/11755/117过水断面，流管，元流，总流过水断面，流管，元流，总流1.过水断面过水断面 垂直于流线的液流横断面称为过水断面。56/117 2.2.流管流管在流场中取一条与流线不重合的微小封闭曲线，在流场中取一条与流线不重合的微小封闭曲线，在同一时刻，通过这条曲线上的各点做流线，由在同一时刻，通过这条曲线上的各点做流线，由这些流线构成的管状封闭曲面称为这些流线构成的管状封闭曲面称为流管流管流面？流面？57/1173.3.元流元流 流管中的水流称为元流。4.4.总流总流 由无数个元流所组成的水流称为总流。58/117 单位时间内通过某一过水断面的液体量称为流量,用Q 表示。而液体量可用体积

14、或质量来度量。流量与断面平均流速流量与断面平均流速也可用体积流量 和质量流量 表示。流流 量量1 59/11760/117 断面平均流速v是一假想的流速，假想总流同一过水断面上各点的流速均等于断面平均流速v，而通过的流量与以实际流速分布所通过的流量相等。断面平均流速断面平均流速261/117系统和控制体系统和控制体所谓所谓系统系统是指由确定的连续分布的众多液体质点所是指由确定的连续分布的众多液体质点所组成的液体团（即指点系）。组成的液体团（即指点系）。p系统一经选定，组成它的质点也就固定不变。系统一经选定，组成它的质点也就固定不变。p尽管系统在运动过程中，其体积以及边界的形状、尽管系统在运动过

15、程中，其体积以及边界的形状、大小和位置都可随时间发生变化，边界上可有力的大小和位置都可随时间发生变化，边界上可有力的作用和能量的交换，但以系统为边界的内部和外部作用和能量的交换，但以系统为边界的内部和外部没有质量交换。没有质量交换。p拉格朗日法，以液体质点组成的微团为研究对象。拉格朗日法，以液体质点组成的微团为研究对象。62/117系统和控制体系统和控制体所谓所谓控制体控制体是指相对于某一坐标系来说，有液体流是指相对于某一坐标系来说，有液体流过的固定不变的任何体积。过的固定不变的任何体积。p控制体本身不包含物质内容，它只是几何上的概控制体本身不包含物质内容，它只是几何上的概念；念；p控制体的边

16、界称为控制面，它总是一个封闭面；控制体的边界称为控制面，它总是一个封闭面；p控制体内的流体质点是不固定的；控制体内的流体质点是不固定的；p控制体的位置和形状不会随时间变化；控制体的位置和形状不会随时间变化；p控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量交换；还可以有质量交换；p欧拉法，流体力学基本方程推导的基础。欧拉法，流体力学基本方程推导的基础。63/1173.4 3.4 流体运动的基本形式流体运动的基本形式1.1.流体运动的基本形式流体运动的基本形式 平移、旋转和变形平移、旋转和变形2.2.速度分解定理速度分解定理由图可知：由图可知：式中

17、，式中，为全微分，则有为全微分，则有64/117 65/117 配项得出：配项得出：66/117线变形率线变形率(速度速度)分量：分量：角变形率角变形率(速度速度)分量：分量：引入符号：引入符号：旋转角速度分量：旋转角速度分量：67/117则有则有:改写成：改写成：68/117 得出矢量表达式（得出矢量表达式（亥姆霍兹亥姆霍兹速度分解定理）：速度分解定理）：式中式中:速度矢量速度矢量平移速度矢量平移速度矢量旋转角速度矢量旋转角速度矢量矢径矢径69/117变形率（应变率）张量为：变形率（应变率）张量为：流体的速度分解定理：流场中任一点处的流体的速度分解定理：流场中任一点处的速度速度 为平移速度为

18、平移速度 、旋转速度、旋转速度 与变与变形速度形速度 之和。之和。70/117速度分解定理的意义速度分解定理的意义意义意义：（1 1）可将流体运动分解为）可将流体运动分解为有旋运动有旋运动和和无旋运动无旋运动，以便根据各自特点分别进行处理；以便根据各自特点分别进行处理；（2 2）从变形运动引出应变率张量和应力张量之间）从变形运动引出应变率张量和应力张量之间的联系，可以导出的联系，可以导出应力应力-应变率应变率关系式，这是推导关系式，这是推导流体运动微分方程的基础。流体运动微分方程的基础。71/117矩形流体元的运动分析矩形流体元的运动分析，72/117平移平移平移是指微团在运动过程中，整体的移

19、动。xyACBADDCB平移速度平移速度73/117线变形线变形线变形是指微团在运动过程中，仅存在各项线段的伸长或缩短。微团单位长度随时间的变化率为微团的线变形率。74/117角变形角变形角变形是指微团在运动过程中，其两边夹角发生变化。微团在单位时间内变化的角度为微团的角变形率。75/117角变形角变形角变形速度 流体力学中，将流体微团上xy平面内的任意直角的变形速度的一半定义为角变形速度，用xy来表示 xyoABDCB3C3D3 b a同理 则76/117旋转旋转 微团在单位时间内旋转的角度为旋转角速度。77/117 流体微团上xy平面内的任意两条直角边旋转角速度的平均值，或者把任意两条直角

20、边的对角线的旋转角速度定义为流态微团绕z轴的旋转角速度，用_z来表示。；xyoABDCB3C3D3 ba旋转78/117旋转运动是用旋转角速度旋转运动是用旋转角速度 来表征。在流体力学中，来表征。在流体力学中，把两倍的旋转角速度矢量定义为旋度，即把两倍的旋转角速度矢量定义为旋度，即式中，符号式中，符号 rot 和 均表示求旋度，速度的旋度均表示求旋度，速度的旋度为矢量。为矢量。旋度旋度 79/11780/117涡量涡量涡量就是速度的旋度，即涡量就是速度的旋度，即有旋运动也称为涡量有旋运动也称为涡量 不为零的运动。不为零的运动。81/117柱坐标中，涡量（旋度）的矢量表达式柱坐标中，涡量（旋度）

21、的矢量表达式82/117涡线涡线在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此曲线上，各质点的旋转角速度矢量都与该点的曲线相曲线上，各质点的旋转角速度矢量都与该点的曲线相切，则定义这条曲线为涡线。涡线具有瞬时性。切，则定义这条曲线为涡线。涡线具有瞬时性。83/117涡线微分方程涡线微分方程84/117（1）涡面：涡量场中取任一曲线，过曲线上每一点）涡面：涡量场中取任一曲线，过曲线上每一点作涡线，组成一曲面。作涡线，组成一曲面。（2）涡管：涡量场中取任一封闭曲线，过曲线上每）涡管：涡量场中取任一封闭曲线，过曲线上每一点作涡线，组成一闭合曲面。一点作涡

22、线，组成一闭合曲面。（3）涡束：涡管中的流体）涡束：涡管中的流体（4）元涡管：涡量场中取任一微小封闭曲线，过曲）元涡管：涡量场中取任一微小封闭曲线，过曲线上每一点作涡线，组成一闭合曲面。线上每一点作涡线，组成一闭合曲面。涡管、涡面、涡束和元涡管涡管、涡面、涡束和元涡管85/117涡矢量通过面源的通量。涡管截面的涡通量，称为涡矢量通过面源的通量。涡管截面的涡通量，称为涡管强度。涡管强度。元涡的涡通量元涡的涡通量涡管的涡通量涡管的涡通量涡通量（也称旋涡强度涡通量（也称旋涡强度I I）86/117速度环量速度环量 在流场中任取一封闭曲线在流场中任取一封闭曲线 L，把速度矢量沿把速度矢量沿 L的线积分

23、定义为速的线积分定义为速度环量度环量，即，即式中，式中，为有向微分弧长，习惯上取反时针回路为正向。为有向微分弧长，习惯上取反时针回路为正向。Ludl速度环量速度环量的正负号与流场的速度方向和沿曲线的正负号与流场的速度方向和沿曲线积分的绕行方向有关。如果在周界积分的绕行方向有关。如果在周界L上切向速度上切向速度与绕行速度一致，则速度环量为正，否则为负。与绕行速度一致，则速度环量为正，否则为负。87/1173.5 3.5 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动 式中，符号式中，符号 rot 和均表示求旋度，均表示求旋度，速度的旋度为矢量。速度的旋度为矢量。1.1.旋度旋度(涡量涡量)旋转运动是用旋转

24、角速度旋转运动是用旋转角速度 来表征。在流来表征。在流体力学中，把两倍的旋转角速度矢量定义为体力学中，把两倍的旋转角速度矢量定义为旋度，即旋度，即88/1172.2.有旋运动有旋运动(涡流涡流)注意注意：由于旋度为矢量，只要有一个旋度分由于旋度为矢量，只要有一个旋度分量不为零即为有旋运动。量不为零即为有旋运动。有旋运动是指旋度不为零的运动，即有旋运动是指旋度不为零的运动，即89/117是否为有旋运动？是否为有旋运动？90/1173.3.无旋运动（有势流动）无旋运动（有势流动）可见，仅当旋度分量均为零时，才为无旋运动。可见，仅当旋度分量均为零时，才为无旋运动。无旋运动是指旋度为零的运动，即无旋运

25、动是指旋度为零的运动，即 或或用分量式表示为：用分量式表示为：91/117 例例 已知下列速度场已知下列速度场,试求流线方程并判别流动是否有旋，是否变形试求流线方程并判别流动是否有旋，是否变形(式式中，中，a a、k k 均为非零常数均为非零常数)。(1)(2)(3)92/117（1 1）流线方程为）流线方程为 有旋运动有旋运动 无变形无变形 93/117 94/117(2)(2)速度场速度场流线方程为流线方程为无旋运动无旋运动 线变形率线变形率 95/117 96/117(3)(3)速度场速度场流线方程为流线方程为有旋运动有旋运动 无线变形无线变形有角变形有角变形 97/11798/117

26、例（例（4 4）已知下列速度场已知下列速度场,试求流线方程并判别流动是否有旋，是否变形试求流线方程并判别流动是否有旋，是否变形(式式中中k k 均为非零常数均为非零常数).).99/117流线方程流线方程无旋无旋角变形率角变形率线变形率线变形率100/117 101/1171 1、方程的推导、方程的推导3.6 3.6 连续性方程与流函数连续性方程与流函数102/117 控制体控制体:质量净流出率质量净流出率 =减少率减少率质量流密度质量流密度：单位时间通过单位面积的质量：单位时间通过单位面积的质量单位时间X方向净流出率同理，可求出y、z方向质量净通量：103/117 控制体内质量的减少率控制体

27、内质量的减少率:两端同除xyz，并令，x0*,y0*,z0*取极限，就得到直角坐标中的连续方程 104/1172.方程的另一种推导方程的另一种推导105/117 液体三元流动的连续性方程106/117液体三元流动的连续性方程107/117 或或 柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：（2 2）方程的简化方程的简化 对于恒定流动：对于恒定流动：108/117 判别流动能否发生。判别流动能否发生。求解求解某一未知速度分量。某一未知速度分量。与运动微分方程联立求解。与运动微分方程联立求解。（3 3）连续性方程的应用）连续性方程的应用1

28、09/117 例例1 1 已知二维恒定不可压缩流动速度场为已知二维恒定不可压缩流动速度场为 判别流动是否能发生。判别流动是否能发生。110/117 例例1 1 已知二维恒定不可压缩流动速度场，根据已知二维恒定不可压缩流动速度场，根据连续性方程判断流动是否可以发生？连续性方程判断流动是否可以发生？流动能发生。流动能发生。解：解：111/117 例例2 2 已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为 式中式中A A为常数，求切向速度分量为常数，求切向速度分量u uq q解：解：112/1172.2.流函数流函数(1)(1)定义定义二维不可压缩流体连续性方程为：二维

29、不可压缩流体连续性方程为：当定义当定义和和，连续性方程连续性方程自然满足自然满足，称称 为流函数。为流函数。113/117(2)(2)物理意义物理意义则得到不同流线。则得到不同流线。为流线，当取不同常数时，为流线，当取不同常数时，两条流线的流函数数值之差等于这两条两条流线的流函数数值之差等于这两条 流线间所通过的单宽流量。流线间所通过的单宽流量。114/117 公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且引入两个流函数数值之差。且引入后可将求后可将求ux，uy的的问题化为求问题化为求 的问题。的问题。115/117(4).(4).极坐标中速度与流函数的关系式极坐标中速度与流函数的关系式连续性方程自动满足连续性方程自动满足116/117例例3 3 平面速度场平面速度场 试求试求:(1).:(1).是否为可能存在的流动是否为可能存在的流动 (2).(2).求流函数求流函数 (3).(3).是否无旋是否无旋 解解:(1).(2).117/117作业：复习思考题：3-5，3-8习题：3-2,3-3,3-5（2,3）,3-6,3-11本课件部分内容摘自赵振兴老师、张淑君老师、何建军老师与戴昱老师的课件内容，特此致谢。