高等数学教程 第五章5-7 空间曲线的曲率和挠率.pptx

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1、空空间间曲曲线线的曲率和的曲率和挠挠率率2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1Frenet标架 曲率挠率 Frenet公式Frenet标架曲曲线线 的活的活动动坐坐标标系系2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2自然参数方程自然参数方程：r=r(s)一般参数方程一般参数方程：r=r(t)记记号：号：d 2 rds2d 2 r,dt 2r ,r ,dr dsdr dtr r 注注：(x,y,z)为为法平面或切法平面或切线线上点的坐上点的坐标标向量向量，为为参数参数2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3（1）法平面与切线与与 正正向一致的向一致的单单位切向量位切向量T(

2、s0)r(s0)法平面法平面切切线线 r(s0)r(s0)0 r(s0)r(s0)（2）密切平面与次法线2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4 s0 r(s0)r(s0)切平面：通切平面：通过过切切线线的平面的平面密切平面：与曲密切平面：与曲线线最最贴贴近的切平面近的切平面 次法次法线线：密切平面的法：密切平面的法线线次法向量的次法向量的计计算：算：lim r(s0)r(s0 s)r(s0)注注：(x,y,z)为为密切平面或次法密切平面或次法线线上点的坐上点的坐标标向量向量，为为参数参数单单位次法向量：位次法向量：B(s)r(s0)r(s0)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数

3、学系500r(s)密切平面密切平面次法次法线线 r(s0)B(s0)0 r(s0)B(s0)（3）从切平面与主法线单单位主法向量位主法向量：N(s0)B(s0)T(s0)从切平面：与密切平面垂直的切平面从切平面：与密切平面垂直的切平面 主法主法线线：从切平面的法：从切平面的法线线从切平面从切平面主法主法线线 r(s0)N(s0)0 r(s0)N(s0)r(s0)r(s0)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6（4）Frenet标架r(t0)00T(t)r(t)r(t0)r(t0)0r(t0)r(t0)B(t)相互正交的三个相互正交的三个单单位向位向量量T,N,B构成的（右手）直角坐构

4、成的（右手）直角坐标标系系曲曲线线 的活的活动动坐坐标标系系注意：若按一般参数方程，需要注意：若按一般参数方程，需要进进行行单单位化位化2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7N(t0)B(t0)T(t0)例例7.12007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8求螺旋求螺旋线线r a cos t,a sin t,kt 的的Frenet标标架、密切平面和从切平面的方程架、密切平面和从切平面的方程曲率刻画曲刻画曲线线的弯曲程度的弯曲程度曲曲线线弯曲的角度随弧弯曲的角度随弧长长的的变变化率化率切切线转过线转过 的角度的角度 s0 lim s基本基本结论结论：r(s)2007年8月南京航空航

5、天大学 理学院 数学系9空空间间一般参数曲一般参数曲线线：3r(t)r(t)r(t)平面曲平面曲线线 r (x(t),y(t),0)：3/2(x)2 (y)2 x y y x平面曲平面曲线线 r (x,y(x),0)：2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系103/21(y)2 y 曲率半径、曲率圆2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11曲率半径曲率半径R 1曲率曲率圆圆：密切平面上：密切平面上以以R为为半径，与曲半径，与曲线线凹向相切的凹向相切的圆圆（密切（密切圆圆）P点的曲率中心：点的曲率中心：rQ rp(s)RN(s)例例7.42007年8月南京航空航天大学 理学院 数学

6、系12求螺旋求螺旋线线的曲率的曲率r a cos t,a sin t,kt 挠率刻画曲刻画曲线线的扭曲程度（偏离密切平面）的扭曲程度（偏离密切平面）曲曲线线密切平面随弧密切平面随弧长长的的变变化率化率次法向量次法向量(s)B(s)N(s)基本基本结论结论：(s)B(s)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13挠率计算公式：r(s)r(s)r(s)2(s)r(s)自然参数方程自然参数方程：r=r(s)r(t)r(t)r(t)2(t)r(t)r(t)一般参数方程一般参数方程：r=r(t)向量混向量混 合合积积2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14例例7.52007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15求螺旋求螺旋线线的的挠挠率率r a cos t,a sin t,kt