工科线性代数练习册(第八版)(含答案).doc

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1、线性代数练习册第八版（工科用）武汉工程大学第二数学教研室编使 用 说 明本练习册（第八版）是一本与线性代数及其应用（李小刚、刘吉定主编，第二版）相配套的教学辅导资料，它适用于全校本科各专业的学生。这套练习册与教学内容密切配合。强调基本概念、基本理论、基本方法的训练，同时适当选择了一些综合性的题目。因此，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。这套练习册对学生来说，不仅可以训练基本功，同时也可以作为考研复习的好资料；对于教师来说，能统一要求全校学生，便于获取学生达到“基本要求”及其学习情况的反馈信息而及时调整教学进度，改进教学方法，加强对教学的微观调控。这套练习册由理学院数学二室老师编写，其中第

2、一、二、三章由朱理老师编写，第四、五、六章由沈明宇老师编写，第二、三章自测试题由罗进老师编写，第四、五、六章自测试题由何敏华老师编写，罗进老师统稿。在整套练习册的编写过程中，得到了理学院领导和数学一室全体教师的大力支持与帮助，在此表示衷心感谢。对本练习册中存在的种种不足之处，恳请用者批评指正。武汉工程大学第二数学教研室2013年7月线性代数练习题（1）线性方程组的消元法、矩阵的基本概念、矩阵的运算姓名 学号 班级 1判断题（1）所有的零矩阵都是相等的 ( )（1）（2）若，则 ( )（2）（3）若，则或 ( )（3）（4）若，且，则 ( )（4）2填空题（1）设，则=（1）（2）设，则（2）（

3、3）适合条件的矩阵称为等幂矩阵设是等幂矩阵，则满足 时，仍为等幂矩阵（3）；（4）设，则（4）。3计算：3解：。4用Gauss消去法求解下列方程组4解：因为，所以5设，求5解：。线性代数练习题（2）矩阵的逆、分块矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵姓名 学号 班级 1填空题（1）已知，则 （1）；（2）设四阶矩阵，则（2）；（3）设，则（3）；（4）已知矩阵有分块形式，则（4）。2选择题设是阶方阵，经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为，则（ ）（A）存在可逆阵，使； （B）存在可逆阵，使；（C）存在可逆阵，使； （D）以上结论都不对2(C)。3利用初等变换将矩阵分别化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵与标

4、准形矩阵3解：。4利用矩阵初等变换求矩阵的逆矩阵4解：由于，故 。5设，求5解：由已知方程变形为, 利用初等行变换把化成行最简形：， 由此得： 。6设阶矩阵有如下分块形式其中分别为阶矩阵，矩阵，矩阵，且与均可逆，证明为可逆矩阵，并求的逆矩阵6证明：设有，则有，解之得所以可逆，且。第一、二章自测试题姓名 学号 班级 1填空题（1）已知，则 （1）；（2）已知满足AB=A+B，则B= （2）；（3）设，则 （3）； （4）设是阶方阵，是列矩阵，且，则 （4）解：。2选择题（1）是矩阵，是矩阵，是矩阵，互不相等，则下列运算没有意义的是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（1）(B)； （2）设

5、为阶方阵，若，则等于（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（2）(C)； （3）设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，则必有（ ）（A）ACB=E ； （B）CBA=E ； （C）BAC=E ； （D）BCA=E （3）(D)； （4）设为阶方阵，若，则等于（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（4）(A)； （5）设是阶可逆方阵，是阶不可逆方阵，则（ ）（A）是可逆矩阵； （B）是不可逆矩阵；（C）是可逆矩阵； （D）是不可逆矩阵（5）(D)； （6）设为阶非零方阵，为阶单位矩阵，若，则（ ）（A）不可逆，不可逆； （B）不可逆，可逆；（C）可逆，不可逆； （D）可逆，可逆（6）

6、(D)； （7）设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（7）(D)。3已知矩阵，。求3解：，。4已知，分别用分块矩阵法和初等变换法求4解：（1）分块矩阵法 记，设有，则有，从而，因此，而，所以。（2）初等行变换法 由于，故 。5解矩阵方程（1） ；（2），其中，5解：（1）由于, 故矩阵方程无解。（2）由于，而，故。6求线性方程组的解6解：由，知。7设，已知，其中，求（k为正整数）7解：由，知，故。线性代数练习题（3）行列式的概念、行列式的性质、行列式的计算姓名 学号 班级 1填空题（1）设为矩阵, 为矩阵

7、，且，则= （1）8； （2）设为三阶方阵，且，则= （2）2计算下列行列式的值（1）（1）解：（2）（2）解：。（3），其中（3）解：使用加边法。3设，求的值，其中是中元素的代数余子式3解：4求证：若是阶方阵，且，则4证明：因为，即，两边取行列式，有，于是线性代数练习题（4） 逆阵公式、克莱姆法则姓名 学号 班级 1填空题（1）设为三阶方阵，且，则= （1）；（2）设为阶可逆方阵，则 （2）；（3）设为矩阵，把按行分块为，其中是的行，则行列式 （3）6；（4）当满足条件 时，方程组有唯一解（4）且；（5）当满足条件 时，线性方程组有非零解（5）或2求方阵的逆矩阵2解：由于 ；所以 3用克拉默

8、求解非齐次线性方程组3解：由于 ，所以 ，即 4证明平面上三条不同直线相交于一点的必要条件为：（提示：可考虑齐次线性方程组）4证明：设三直线，交于一点，则有非零解，故，即，由于三直线不同，故不全相等，所以第三章自测试题姓名 学号 班级 1填空题（1）在函数中，的系数是 ，常数项是 （1）预备知识。定义：设是阶矩阵，则的行列式定义为，其中为的一个全排列，为的逆序数。解：由于，根据行列式的上述定义，知只可能在中出现，因此的系数为。常数项是；（2）设=，=，则= （2）；（3）已知，则 （3）；（4）如果阶行列式中等于零的元素个数大于，那么该行列式的值为 （4）；（5）设为阶方阵, 为阶方阵，且，则

9、= （5）解：将的后行依次与的前行交换，有；（6）方程的实根为 （6）6；（7） （7）；（8）行列式的第4行元素的余子式之和的值为 （8）；（9）若线性方程组有非零解，则满足条件 （9）或；（10）设是阶可逆方阵的伴随矩阵，则 （10）解： 。2选择题（1）行列式的值为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（1）(C)；（2）设阶矩阵与等价，则必有（ ）（A）当时，； （B）当时，；（C）当时， ； （D）当时，（2）(D)；（3）设都是阶方阵，则必有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）（3）(C)；（4）设是中元素的代数余子式，则等于（ ）（A）； （B）； （C）1； （D）（4

10、）(B)；（5）当满足条件（ ）时，齐次线性方程组仅有零解（A）； （B）； （C）或； （D）且（5）(D)。3计算下列行列式（1）；（1）解：（2）计算行列式；（2）解：（3）；（3）解：（4）；（4）解：（5）；（5）解：将按第一行元素展开，得，所以或由上面两个递推关系式分别通过递推可得，当时，当时，于是4求解方程4解：由于，故。5设，且，其中是的伴随矩阵，为3阶单位矩阵，求矩阵5解：由于, 所以，因此，而，故。6求通过三点的平面方程6解：设平面方程为，将三点代入得解之得，由此得平面方程为。线性代数练习题（5）矩阵的秩、维向量、向量组的线性相关性姓名 学号 班级 1填空题（1）设，已知不

11、能由线性表出，则 （1）；（2）若向量组线性相关，则，线性 （2）相关；（3）已知，则 （3）。2 选择题（1）设为阶方阵，且，则（ ）（A）中必有两行（列）的对应元素成比例；（B）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；（C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；（D）中至少有一行（列）向量为零向量（1） C；（2）设向量组（I）：和向量组（II）：中的向量都是维向量，则下列结论正确的是（ ）（A）向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性无关；（B）向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性相关；（C）向量组（II）线性相关时，向量组（I）线性相关；（D）以上结论

12、都不对（2） B。3设，求及的一个最高阶非零子式3解：，从中取，故，是的一个最高阶非零子式。4设，且可由线性表示为，试求4解：因为，所以。5设，且向量组线性无关，证明向量组亦线性无关5证明：令，则，因为线性无关，所以解之得，因此线性无关。6设向量可以由向量组 线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件为线性无关6证明：充分性。因为可由线性表示，不妨设，从而，又因为线性无关，所以，即，从而可由唯一地线性表示。必要性。设可由唯一地线性表示为，若线性相关，则存在一组不全为零的数，使得，于是有，因为不全为零，所以至少存在一个，使得，这与可由唯一地线性表示矛盾，因此线性无关。线性代数练习题（6）向量组的秩、

13、维向量空间、向量的内积与正交矩阵姓名 学号 班级 1判断题（1）若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有 （ ）（1）；（2）两个线性相关的向量组成的向量组，其秩为1 （ ）（2）；（3）线性无关的充要条件是此向量组的秩为 （ ）（3） ；（4）维向量空间中，任何个向量都是线性相关的 （ ）（4）。2填空题（1）向量组，则向量组的秩为 （1）2 ；（2）设四阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 （2） 0 。3设，求以及的列向量组的一个最大无关组，并将其它的列向量用此最大无关组线性表示3 解：设，由于，故，是一个最大无关组，且。4设是一个阶方阵，是一个矩阵，秩，试证：4证明：由，知。而，故。显

14、然，所以，于是。5验证是的一个基，并求在该基下的坐标5解：由于，故是的一个基，在该基下的坐标为。6用施密特正交化方法将下列向量组正交化、规范化6解：取 ， ，再取 ，即为所求。第四章自测试题姓名 学号 班级 1填空题（1）在欧氏空间中，取，则 时正交（1）9；（2）当k取值为 时，是的一组基，其中，（2）； (3)已知向量组线性无关，而向量组，线性相关，则 （3）2； (4)设为矩阵，的秩，而，则 （4）2。2 选择题（1） 设，其中，则（ ） （A）0； （B）1； （C）； （D）3（1）(B)；（2）设，若，则（ ）（A）行向量组线性相关； （B）列向量组线性相关； （C）行向量组线性无

15、关； （D）列向量组线性无关（2）(B)；（3）设向量组：可由向量组：线性表示，则（ ）（A）当时，向量组线性相关； （B）当时，向量组线性相关；（C）当时，向量组线性相关； （D）当时，向量组线性相关（3）(D)。3已知, , 是线性无关向量组，求与此向量组等价的两两正交的单位向量组3解：正交化：，单位化：，。4 证明：向量组是中的一组基，并求向量在该基下的坐标4证明：由于，所以是中的一组基，且。5求向量组的秩以及一个极大无关组，并将其它的向量用此极大无关组线性表示5解：由于，所以向量组的秩为3，是的一个极大线性无关组，且。6设为阶方阵，证明：（1）当秩()时，秩()；（2）当秩()时，秩(

16、)；（3）当秩()时，秩()6证明：若，则可逆，且，由，知，所以可逆，于是若，则至少存在一个代数余子式，因此另一方面，由，知，故，从而，故，于是若，则的所有代数余子式全为零，故，所以综上所述，有线性代数练习题（7）线性方程组姓名 学号 班级 1填空题（1）设，若存在三阶非零矩阵，满足，则 （1）；（2）方程组以为其基础解系，则该方程的系数矩阵为 （2）；（3）设是阶方阵，对任何维列向量，方程都有解的充分必要条件是 （3）或；（4）设是方程组的解，若也是的解，则应满足条件 （4）。2选择题非齐次线性方程组中，未知量个数为，方程个数为m，则（ ）（A）时，方程组有解； （B）时，方程组有唯一解；（

17、C）时，方程组有唯一解；（D）时，方程组有无穷多解2（A）。3已知，求方程组的基础解系、通解3解：由于，故基础解系为，通解为。4求非齐次性方程组的通解4解：将增广矩阵化为行最简形：，相应的方程组为：通解为。 5设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解5解：取 ，则方程组的通解为：，即。第五章自测试题姓名 学号 班级 1填空题若齐次线性方程组有非零解，则 1。2选择题（1）下述命题正确的是（ ）（A）凡行向量组线性相关的矩阵，它的列向量组也线性相关；（B）秩为的阶方阵的任意个行向量均线性无关；（C）若矩阵的秩，则非齐次线性方程组必有无穷多个解；（D）若

18、矩阵的秩，则齐次线性方程组必有无穷多个解，且基础解系有个线性无关解向量组成（1）(D)；（2）设矩阵，仅有零解的充分必要条件是（ ）（A）A的行向量组线性相关； （B）A的行向量组线性无关；（C）A的列向量组线性相关； （D）A的列向量组线性无关（2）(D)；（3） 设为的一个基础解系，则下列（ ）也是该方程的一个基础解系（A）与等价的一个向量组； （B）与等秩的一个向量组；（C） ； （D）（3）(C)；（4）已知的秩为，是的两个不同的解，为任意常数，则的通解为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（4）(D)；（5）设为矩阵，且，若的行向量组线性无关，则（ ）（A）方程组有无穷多解；

19、（B）方程组有唯一解；（C）方程组无解； （D）方程组没有非零解（5）(A)。3已知54矩阵的秩为3，非齐次线性方程组有3个解向量，且，求的通解3解：取 ，则方程组的通解为：，即。4求当a ，b何值时，线性方程组 无解；有唯一解；有无穷多个解？并求出有无穷多个解时的全部解（或通解）4解：由，知（1）当时，方程组有唯一解；（2）当时，方程组无解；（3）当时，方程组有无穷多解， （为任意常数）5已知,及.（1）a ，b为何值时，不能表为的线性组合？（2）a ，b为何值时， 有的唯一线性表示式？并写出该表示式5解：由,知（1）当时，不能表为的线性组合；（2）当时，有的唯一线性表示式。此时，有，故。6

20、设矩阵的秩为，又为非齐次线性方程组的个线性无关解求证：是其导出组的一个基础解系6证明：设有，则，由线性无关，知，故线性无关。由于是非齐次线性方程组的解，故是导出组的个线性无关解。而（其中是的解空间），故是导出组的一个基础解系。线性代数练习题（8）矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵与矩阵的对角化姓名 学号 班级 1填空题（1）设0是矩阵的特征值，则 ；的另一个特征值是 （1）1，2；（2）若阶方阵与相似，且，则 （2）；（3）设是阶可逆阵，是的特征值，则必有特征值 （3）；（4）若是三阶方阵，且的特征值为2，4，6，则 （4）；（5）已知与相似，且，则 （5）4。2求方阵的特征值与特征向量2解：由

21、，即 得特征值：，。当时，由，解得，。当时，由，解得，。当时，由，解得，。3已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数的值3 解：设对应于的特征向量的特征值为，则，于是故，解得或4设与相似，求与4 解：由得，又由，得，解方程组得5设是实正交矩阵，是它的一个实特征值，试证：（提示：利用矩阵的特征值与特征向量的定义）5 证明：设与特征值对应的特征向量为，显然，故，即，从而，即。线性代数练习题（9）实对称矩阵的对角化、二次型、正定矩阵姓名 学号 班级 1填空题（1）二次型的矩阵是 ，二次型的秩为 （1）；（2）的矩阵是 （2）；（3） 是正定矩阵，则满足条件 （3）；（4）实二次型的秩为 ，正惯性指

22、数为 ，负惯性指数为 （4）3，2，12试求一个正交相似变换矩阵，将对称矩阵化为对角阵2解：， 对应于，由 得；对应于，由 得 ；对应于，由 得 取，有3求正交变换，化二次型为标准型3解：， 对应于，由 得；对应于，由 得 ；对应于，由 得 取，有4判断二次型的正定性4解：由于，故为负定的5设为阶实对称矩阵，且，试证：（提示：相似于对角矩阵）5证明：因为为阶实对称阵，所以存在阶正交阵，使得，从而，故，于是，因此，所以6证明：若是正定二次型，则也是正定二次型6证明：不妨设是阶正定二次型，则存在正交阵，使得，在上式两边取逆阵，得，从而是正定二次型第六章自测试题姓名 学号 班级 1选择题（1）设3阶

23、方阵A有特征值，它们所对应的特征向量分别为，令，则为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）（1）(A)；（2）设, ，则下述结论正确的是（ ）（A）A与B等价，且A与B相似； （B）A与B等价，但A与B不相似；（C）A与B不等价，且A与B不相似； （D）A与B不等价，但A与B相似（2）(B)；（3）n阶方阵A有n个互异的特征值是A能与对角矩阵相似的（ ）（A）充分必要条件； （B）充分而非必要条件；（C）必要而非充分条件； （D）既非充分也非必要条件（3）(B)；（4）设A, B为n阶方阵，且A与B相似，则下述结论正确的是（ ）（A）； （B）A与B有相同的特征值和特征向量；（C）A与B都

24、能与一个对角矩阵相似；（D）对任意常数k，与相似（4）(D)；（5）设A, B均为n阶实对称矩阵，则A, B合同的充要条件是（ ）（A）A, B均为可逆矩阵； （B）A, B有相同的秩；（C）A, B有相同的正惯性指数，相同的负惯性指数；（D）A, B有相同的特征多项式（5）(C)。2填空题（1）设是正定矩阵，则的取值是 （1）；（2）设经正交变换化为标准形，则A= （2）0； (3)若矩阵为正定矩阵，则m必定满足 （3）且；(4)设矩阵与矩阵相似，则x= ，y= （4）； (5)若方阵A有一个特征值为，则A+E= （5）0； (6)已知3阶矩阵A的特征值为， 且A不能与对角矩阵相似，则 ，

25、（6）2,2； (7)已知二次型的秩为2，则 （7）。3设矩阵A与B相似，其中, （1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵P，使3解：（1）由与相似，知将代入中，有，故或若，则，的特征值为，而的特征值为，与不相似，所以（2）对应于，由，得，对应于，由，得取，则有。4已知3阶矩阵A的特征值为，求（1）矩阵的特征值；（2）4解：令，则，故的特征值为，从而。5已知是3阶实对称矩阵A的3个特征值，向量, 是A的属于的特征向量（1）求A的属于特征值-1的特征向量；（2）求出矩阵A5解：将正交化，单位化得。由于的属于的特征向量是的解，因此可得的属于的特征向量。取，则，所以。6已知3阶方阵A的特征值为，所对应的特征向量分别为, , 求（1），其中k为任意正整数；（2）；（3）6解：取，则，且。记。于是（1）；（2），；（3）。40