分离变量法在微分方程中的应用.doc

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1、题 目： 分离变量法在微分方程中的应用 姓 名： XXXX 学 号： XXXXXX 系 别： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 年级班级： 2010级数应1班 指导教师： XXXX 2014年 5月 23日 周口师范学院本科毕业论文（设计） 14目 录 摘要1引言11 预备知识.3 11问题.3 12分离变量法的定义3 1. 3分离变量法的一般理论.42 分离变量法的具体步骤.42. 1分离变量42. 2解特征值问题.52. 3特解的的叠加6 2. 4系数,的确定.63 不同边界条件下的特征值和特征函数.74 分离变量法在微分方程中的应用.75结束语.12参考文献13致谢14分离变量法

2、在微分方程中的应用摘 要：本文运用分离变量法来求解微分方程中的问题时，要求边界条件是齐次的，如果边界条件是非齐次的，则需要寻找合适的辅助函数,进行一系列的变换使得边界条件齐次化，本文讨论的是一个一般微分方程的定解问题的求解，给出辅助函数的形式，从而达到解决边界条件的齐次化问题，在这个基础上，经过变量分离法求得齐次微分方程在齐次边界条件之下的解. 关键词：分离变量法；问题；特征函数；特征值 Application of separation of variables in the equationsAbstract：When we use the method of separation of

3、variables in the equations to solve the problem, requiring the boundary conditions are homogeneous, if a non-homogeneous boundary conditions, you need to find a suitable helper , making a series of transformation of the boundary conditions homogeneous, this article discusses a definite solution to s

4、olve the problem of a general differential equation is given in the form of an auxiliary function, so as to achieve homogeneous boundary conditions to solve the problem, on this basis, through the variable separation method to obtain homogeneous differential equation in homogeneous solution under th

5、e boundary conditions.Keywords: separation of variables; problems; characteristic function; Eigenvalues 引言在偏微分方程中，求解混合问题的一个最普遍的基本方法之一就是变量分离法，即。分离变量法不仅仅可用在波动方程中，也可以用在热传导方程、调和方程，和一些形式更加复杂的方程和方程组。分离变量法其实质即使将所给问题化成由常微分方程和边界条件组成的特征值问题。若定解问题中是非齐次边界条件，一般情况下构不成特征值问题。所以，求解非齐次混合问题时需要先使非齐次项齐次化，然后再运用分离变量法进行混合问题

6、的求解.很多文献都对在微分方程中的应用这个部分做了概述，文献2主要介绍了施图姆-刘维尔（）问题，文献45分别介绍了变量分离法的定义和一般理论，文献89介绍了分离变量法的具体步骤，文献10-13给出了分离变量法在微分方程中的应用，还有其他的一些结论.从本文可以总结出，分离变量法的特点是经过变量的分离，把微分方程的解分成几个分别只含一个变量的函数的乘积的形式，然后将所得的特解做适当线性组合，就可以得到微分方程的解.本文先通过介绍Sturm-liouville问题，自然地引出分离变量法，介绍了分离变量法的定义、一般理论和具体实施步骤，有队不同边界下经常求的方程的特征值和特征呢过函数进行归纳，直接利用

7、结论可使计算简化，最后用不同的实例展示出分离变量法的具体运用.1 预备知识1.1问题对于问题假设： (1) 和在上连续，； (2) 在上连续并且 0或在内连续，在区间的端点有一阶奇性； (3) 则在上连续且存在无穷多特征值 当 0时，对应的这些特征值有无穷多个特征函数设是特征值对应的特征函数，那么所有的构成一个正交函数系(4)若函数在上有一阶连续的导函数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件，则在内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级数其中1.2变量分离法的定义使用具有变量分离的形式的特解进行构造初边值的问题解的方法被称作分离变量法。1.3分离变量法的一般理论在这里讨论波动方程的问题 首先使用

8、边界条件齐次化方法化，将非齐次条件齐次化：然后，因为方程及条件均是线性的，所以由解的叠加性原和方程齐次化原理，可将上述的波动方程问题转化成下面的混合问题（1.1） （1.1）因此只需要讨论的是问题（1.1）的求解。下面运用分离变量法求解问题（1.1）2 分离变量法的具体步骤下面来详细的介绍一下用变量分离法求解定解问题的主要步骤：2.1变量分离设问题（1.1）存在非零变量分离解. （4）将（4）式代入到方程（1）可得到即 （1.5）由于在（5）式中，左边仅是关于的函数，右边仅是关于的函数，左右两边要相等，只有同为一个函数的情况下才可能，记作，于是可得到关于和的微分方程 （1.6） （1.7） 由

9、式（1.1）中的边界条件，得，因为，所以 . （1.8）2.2解特征值问题这里求解由（7）式和（8）式组成的常微分方程的边值问题，即求解 （1.9）其中是待定常数.该问题被称为特征值（或固有值或本征值）问题.使该问题有非零解的值，称作特征值（或固有值或本征值），而和值相应非零的解称作特征函数（或固有函数或本征函数）.下面求解问题(1.9)的非零解.分三种情况加以讨论.（1） 当这时方程（1.9）的通解是 其中是任意常数.由（1.9）中边界条件，得由此解得所以在0时，不符合非零解要求，因此不可以小于零.（2） 当时，方程（1.9）的通解是由于边界条件（1.8）得，所以同样这不是所要求的解.（3）

10、时，方程（1.9）的通解为 由于边界条件，得又有，得.为求得非零解，故设所以和，. 因此所求特征值为 （1.10）对应的特征函数是 ， （1.11）将特征值代入式（1.6），得 （1.12）其通解为 （1.13）于是就求得原定解问题（1.1）中方程及齐次边界条件的变量分离形式的特解为 （1.14）其中，为任意常数，.2.3特解的叠加为求出定解问题（1.1）的解，需要把所有形如（1.14）的函数叠加起来，可得到 （1.15）如果式（1.15）的右端收敛，且关于和均能逐项的微分两次，则也满足式（1.1）中的方程和边界条件.2.4系数的确定现在来选取适当的系数，使也满足于定解问题（1.1）中的条件.

11、由于同理， .最终得到级数形式表达的微分方程的解为.其中 .3 不同边界条件下的特征值和特征函数随着和在不同的边界条件下的方程的特征值和特征函数如下4 变量分离法在微分方程中的运用例 1求解下面齐次初边值问题：解 所给的边界条件齐次且是第一类的的，令可得特征函数为，且 ， 于是，由初始条件可以确定常数及，由初始值可得，.所以 （当时）所以所求的解为.例 2 求解下列非齐次初边值问题： （2.1）解 我们可以运用所谓的特征函数法求解这个问题.因为当=0时，定解就变成（1.1），对应特征函数系是.所以设定解问题（2.1）的形式解是 （2.2） 其中是待定函数.表达式（2.2）满足于边界条件将式子（

12、2.2）代入到（2.1）中的方程，得 ， (2.3) 其中，等式(2.3)两边同时乘以，然后在上关于积分 ，得运用三角函数系的正交性，我们可以得到因此得 （2.4） 其中 . （2.5） 接下来确定.有初始条件可以得由此可得 （2.6） 其中下面我们利用拉普拉斯变换的方法来求解.记的拉普拉斯变换为和的拉普拉斯变换为对于方程（2.4）两边同时取拉普拉斯变换，并利用（2.6），得，所以.两边取拉普拉斯的逆变换，则有 . (2.7) 则定解问题（2.1）的形式解是 ， (2.8) 其中，由（2.6）式确定.若记，则，容易知道，是定解问题（2.6）的形式解，而是 （2.9）的形式解.因为定解问题（1.

13、1）的解已由式（1.10）给出，所以求解式（2.1），只需要求解定解问题（2.9）的解，然后与（1.1）的解相加即可.注：这里求非齐次方程解的方法，其本质是把未知函数按齐次边界的条件所对应正交函数系展开的.因此该方法称作特征函数法（或固有函数法）.运用该法需提前知相应的特征函数系.例3 在上例中，取，.求出.解 我们由（2.5）得，由正交性，得=0，.由于.由（2.7）式得及.又因为，所以由式（2.6）可得.因此由式（2.8），则所求的解是.显然，当时，无界.结束语本文借助于的问题结论以波动方程的初边值的问题作为例子介绍分离变量法，分离变量法还可以用于解决热传导方程的初边值问题，在数学物理方程

14、中的应用非常广泛，又对不同的边值条件下常求的方程的特征值及特征函数进行归纳，直接运用此结论即可使得计算简化，最后用实例具体展现出变量分离法的运用过程.参考文献1朱长江，邓引斌.偏微分方程教程M.北京：科学出版社，2005，（6）：6-16.2(美)莱文（Levine,H）著，葛显良译.偏微分方程M.北京：高等教育出版社，2007，（13）：11-21.3周蜀林.偏微分方程M.北京：北京大学出版社，2005,(4)：16-12.4陈祖墀.偏微分方程M.合肥：中国科技大学出版社，2002，（8）：12-15.5廖玉麟.数学物理方程M.武汉：华中理工出版社，1995，（14）：10-22.6蔡天亮.

15、数学物理方程M上海：上海科学技术文献出版社，1996，（7）：8-11.7 徐永权.数学物理方程的变量分离法J.青海师范大学学报，2007，（3）：17-19.8张健，王得田.带有非齐次边界条件的定解问题齐次化的若干注记J.天津理工学院学报，1990，（1）:24-29.9刘德鹏，边界条件齐次化辅助函数的统一形式J.高等数学研究，2006，9(3):52-54.10陈贻汉，对非齐次边界条件齐次化J.高等函授学报，1998，（2）：17-20.11桂秉珍.偏微分方程初边值问题的简化J.哈尔滨师范大学自然科学学报，1990,6（1）:10-16.12韩峰，刘志刚，苗婷.泛定方程边界齐次化处理中代换

16、的选择J.佳木斯大学学报，2008,26（1），92-93.13陈杰，陈丽华非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式J.武汉工程大学学报，2008,30（1）：111-112.14陆立柱.第一、二、三类非齐次线性边界条件的齐次化J.山西师范大学学报，2001,15（4）：17-20.15刘礼书，边界条件的齐次化方法.江西教育学院学报，2001，22（3）:25-27.致谢转眼间即将毕业了，快乐时光总会是太短暂学校的每一方面都使我记忆深刻无论学校的学习环境，还是生活环境，都让我感到在这里进行学习是多么快乐的事情，在这里她不仅让我学会了很多专业知识，也让我学到许多的社会经验，磨练了我，锻炼了我，

17、让我真正成熟起来，具备了某些专业知识和一些独立处理问题的能力这段时间以来的求学生涯，将会是我人生的道路上一大笔财富感谢母校！首先我要感谢阮传同老师给予我的悉心指导和辛勤培育，使我进入到了研究变量分离法的殿堂，阮老师他在学术上悉心地指导我、启迪我，使我顺利地完成了变量分离法的研究和学习可以说本文自选题、开展研究直至关键问题的顺利解决无不凝聚着阮老师的大量心血同时阮老师渊博的知识、思考问题的独特方式、严谨治学的作风、正直无私的品格、豁达宽广的胸襟也深深地影响了我，这都将使我终身受益在此我向阮老师致以崇高的敬意和感谢！同时还要感谢在学习期间曾帮助过我、指导过我的每一位老师！正是他们的无私帮助和默默奉献给我提供了良好的学习环境衷心的感谢我的室友们让我拥有一个和谐互助的学习和生活条件！感谢我的父母在我成长的道路上付出最博大且无私的爱！没有他们就没有今天的我最后，向各位评审组的各位教师致以诚挚的谢意，并献上我永远的祝福：祝你们身体健康！工作顺利！合家欢乐！忽略此处.