线性代数教材.doc

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1、目录第一章 n阶行列式11 全排列及其逆序数2123，132，213，231，312，321.2例1 求排列32514的逆序数.3 各项的正负号与列标的排列对照：4例3 证明下三角行列式7例4 设83 对 换94 行列式的性质12例5 计算16例6 计算17例7 计算185 行列式按行（列）展开18例8 计算23例9 证明范德蒙行列式256 克莱姆法则28例10 解线性方程组30习 题 一331. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：333. 计算下列各行列式：334. 证明：346. 用克莱姆法则解下列方程组：36第一章 n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它

2、们来解二元、三元线性方程组. 为了研究元线性方程组，需要把行列式推广到n阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. 1 全排列及其逆序数先看一个例子. 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法； 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有种放法. 这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.

3、在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示. 有引例的结果可知 P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 为了得出计算Pn的公式，可以仿照引例进行讨论：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；又从剩下的n1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取

4、法. 于是 Pn=n .（n1）. . 3 . 2 . 1 = n! .对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 为这n个自然数的一个排列，考虑元素 ，如果比大的且排在前面的元素有个，就说这个元素的逆序数是. 全体元素的

5、逆序数之总和，即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，3排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1；5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3；4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；于是排列的逆序数为 . 2 阶行列式的定义为了给出阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：容易看出： （1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成. 这里第一下标（称行标）排成标准排列，而第二个下标（称列标

6、）排成，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。 各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列. 因此各项所带的正负号可以表示为，其中为列标排列的逆序数. 总之，三阶行列式可以写成，其中为排列的逆序数，表示对1、2、3三个数的所有排列取和. 仿此，我们可以把行列式推广到一般情形. 定义 设有个数，排成行列的表作出表中位于不同行不同列的个数的乘积，并冠以符号；得到形如 的项，其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数. 由

7、于这样的排列共有个，因而形如（2）式的项共有项. 所有这项的代数和 称为阶行列式，记作 ，简记作. 数称为行列式的元素. 按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的. 当时，注意这里不是的绝对值. 例2 证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是，未写出的元素都是0） ； .证 第一式是显然的，下面证第二式. 若记 则依行列式定义 其中为排列 的逆序数，故 . 证毕对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样. 例3 证明下三角行列式.证 由于当时，故中可能不为0的元素，其下标应有，即在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一

8、个自然排列，所以中可能不为0的项只有一项，此项的符号，所以 . 例4 设 证明 .证 记 ，其中 ， ，.考察的一般项 ,由于当时，因此只有在中选取时，该项才可能不为零. 而当在中选取时，只能在中选取. 于是中可能不为零的项可以记作 .这里，而为排列的逆序数. 以、分别表示排列及的逆序数，应有. 于是 3 对 换为了研究阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系. 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形. 设排列为，对换与，变

9、为. 显然，；这些元素的逆序数经过对换并不改变，而、两元素的逆序数改变为：当时，经对换后的逆序数增加1而的逆序数不变；当时，经对换后的逆序数不变而的逆序数减少1. 所以排列与排列的奇偶性不同. 再证一般对换的情形. 设排列为，把它作次相邻对换，调成，再作次相邻对换，调成. 总之，经过次相邻对换，排列调成排列，所以这两个排列的奇偶性相反. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0），因此得知推论成立. 证毕利用定理1，我们来讨论行列式定义的另一种表示法. 对于行列式的任一项 ，

10、其中为自然排列，为排列的逆序数，对换元素与成 ，这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换. 设新的行标排列的逆序数为，则. 故，于是. 这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性. 经过一次对换如此，经过多次对换还是如此. 于是，经过若干次对换，使：列标排列（逆序数为）变为自然排列（逆序数为0）；行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为，其逆序数为，则有 .又，若，则（即）. 可见排列由排列所唯一确定. 由此可得定理2 阶行列式也可定义为 ，其中为行标排列的逆序数. 证 按

11、行列式定义有 ，记 .按上面讨论知：对于中任一项，总有且仅有中的某一项与之对应并相等；反之，对于中的任一项，也总有且仅有中的某一项与之对应并相等，于是与中的项可以一一对应并相等，从而. 4 行列式的性质记 ，行列式称为行列式的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证 记的转置行列式 ，即，按定义.而由定理2，有，故 . 证毕由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 证 设行列式 是由行列式交换两行得到的，即当时，；当时，. 于是其中为自然排列，为排列的逆序数.设排列的逆

12、序数为，则，故. 证毕以表示行列式的第行，以表示行列式的第列. 交换两行记作，交换两列记作. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证 把完全相同的两行（列）互换，有，故. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式. 第行（或列）乘以，记作（或）. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如 ，则等于下列两个行列式之和：.性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）上去，行列式的值不变. 例如以数乘第列加到第列上去（记作），有（以数乘第行加到

13、第行上，记作）性质3至性质6的证明，请读者自行完成. 这些性质可用于简化行列式的计算. 例5 计算 .解 例6 计算 .解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行： 例7 计算 解 从第4行开始，后行减前行： 5 行列式按行（列）展开一般说来，低价行列式的计算比高价行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到用低价行列式来表示高价行列式的问题. 为此，先引进余子式和代数余子式的概念.在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作；记 ，叫做元素的代数余子式.例如四阶行列式中元素的余子式和代数

14、余子式分别为，.引理 一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这个行列式等于与它的余子式的乘积，即.证 先证位于第1行第1列的情形，此时.这是例4中当时的特殊情形，按例4的结论，即有.又 ，从而 .再证一般情形，此时.为了利用前面的结果，把的行列作如下调换：把的第行依次与第行、第行、第1行对调，这样就调到原来的位置上，调换的次数为. 再把第列依次与第列、第列、第1列对调，这样就调到左上角，调换的次数为. 总之，经过次对调，把调到左上角，所得的行列式，而元素在中的余子式仍然是在中的余子式. 由于位于的左上角，利用前面的结果，有，于是 .定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应

15、的代数余子式乘积之和，即,或 .证 ，根据引理可知 类似地，若按列证明，可得这个定理叫做行列式按行（列）展开法则. 利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算. 下面，我们用此法来计算例5的行列式. 我们保留，把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开： 例8 计算 .解 按第1行展开，有 ，以此作递推公式，即可得 .例9 证明范德蒙行列式 其中记号“”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法. 因为，所以当时（3）式成立. 现在假设（3）式对于阶范德蒙行列式成立，要证（3）式对阶范德蒙行列式也成立. 为此，设法把降阶：从第行开始，后行减去前行的倍，有 ，按第1列展开，并把每列的公因子

16、（）提出，就有.上式右端的行列式是阶范德蒙行列式，按归纳法假设，它等于所有（）因子的乘积，其中. 故.由定理3，还可得下述重要推论：推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即， 或 .证 把行列式按第行展开，有,在上式中把换成，可得当时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式为零，即得上述证法如按列进行，可得6 克莱姆法则含有个未知数的个线性方程的方程组 与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用阶行列式表示，即有克莱姆法则 如果线性方程组（4）的系数行列式不等于零，即，那么，方程组（4）有唯一解 （5） 其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右

17、端的自由项代替后所得到的阶行列式，即 .证 用中第列元素的代数余子式依次乘方程组（4）的个方程，再把它们相加，得根据代数余子式的重要性质可知，上式中的系数等于，而其余的系数均为；又，等式右端即是. 于是 . （6）当时，方程组（6）有唯一的一个解（5）.由于方程组（6）是由方程组（4）经乘数与相加两种运算而得，故（4）的解一定是（6）的解。 今（6）仅有一个解（5），故（4）如果有解，就只能是解（5）.为证明（5）是方程组（4）的唯一解，还需验证解（5）确是方程组（4）的解，也就是要证明，为此，考虑有两行相同的阶行列式，它的值为0. 把它按第1行展开，由于第1行中的代数余子式为，所以有 ，即

18、.例10 解线性方程组解 ,于是得 克莱姆法则有重大的理论价值，撇开求解公式（5），克莱姆法则可叙述为下面的重要定理. 定理4 如果线性方程组（4）的系数行列式，则（4）一定有解，且解是唯一的. 定理4的逆否定理为定理 如果线性方程组（4）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 线性方程组（4）右端的自由项不全为零时，线性方程组（4）叫做非齐次方程组，当全为零时，线性方程组（4）叫做齐次方程组. 对于齐次线性方程组 （7）一定是它的解，这个解叫做齐次方程组（7）的零解. 如果一组不全为零的数是（7）的解，则它叫做齐次方程组（7）的非零解. 齐次方程组（7）一定有零解，但不一定有非零解.

19、把定理4应用于齐次方程组（7），可得定理5 如果齐次方程组（7）的系数行列式，则齐次方程组（7）没有非零解.定理 如果齐次方程组（7）有非零解，则它的系数行列式必为零. 定理5（或定理）说明系数行列式是齐次方程组非零解的必要条件. 在第三章中我们还将证明这个条件也是充分的. 例11 问取何值时，齐次方程组 （8）有非零解？解 由定理可知，若齐次方程组（8）有非零解，则（8）的系数行列式. 而= =,由，得.不难验证，当时，齐次方程组（8）确有非零解.习 题 一1. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1） 1 2 3 4； （2） 4 1 3 2；（3） 3 4 2 1； （4） 2 4 1 3；（5） ；（6） .2. 写出四阶行列式中含有因子的项.3. 计算下列各行列式：（1）； （2）；（3）； （4）.4. 证明：（1）；（2）；（3）；（4）=；（5） =.5. 计算下列各行列式（为阶行列式）：（1），其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；（2）；（3）； 提示：利用范德蒙行列式的结果.（4）；（5），其中；（6），其中.6. 用克莱姆法则解下列方程组：（1）（2）7. 问取何值时，齐次方程组 有非零解？8. 问取取何值时，齐次方程组 有非零解？37