概率论和数理统计课后题答案(全).doc

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1、习 题 一1. 略.见教材习题参考答案.2. 设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：(1) A 发生，B，C 都不发生；(2) A 与 B 发生，C 不发生；(3) A，B，C 都发生；(4) A，B，C 至少有一个发生；(5) A，B，C 都不发生；(6) A，B，C 不都发生；(7) A，B，C 至多有 2 个发生；(8) A，B，C 至少有 2 个发生.【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC（4） ABC= AB C A B C A BC ABCA B CAB C ABC= ABC(5) ABC = A B C(6) ABC(2) A

2、BCA B CAB C AB CA BC A B C ABC = ABC = A B C(3) ABBCCA=AB C A B C ABCABC3. 略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ AB ）.【解】 P（ AB ）=1P（AB）=1P(A)P(AB)=10.70.3=0.65.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： 在什么条件下 P（AB）取到最大值？ 在什么条件下 P（AB）取到最小值？【解】（1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2） 当 AB=时，P（AB）取到最小值为

3、0.3.6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)67= 1 + 1 + 1 1 = 3443 1243. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】p= C5 C3 C3 C2/ C1313 13 13 13524. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求

4、五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A1）= 1 =（ 1 ）5（亦可用独立性求解，下同）757（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故5P（A2）= 675=( 6 )57(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P(A1)=1( 1 )575. 略.见教材习题参考答案.6. 一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示.3021P =602418. 从（0，1）中随机地取两个数，

5、求：61. 两个数之和小于2. 两个数之积小于的概率；51 的概率.4【解】设两数为 x,y，则 0x,y1.6（1） x+y.51 4 4p = 1 2 5 5 = 17 = 0.681(2) xy= 3(3)p = (n 1)! = 1 ; p = 3!(n 2)!, n 31n!n2n!6. 将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为 x,y,axy.则基本事件集为由0xa,0ya,0axy a x yx + (a x y) y y + (a x y) x构成的图形，即0 x a20 y a2 a 2 x + y 乙正）=（甲正乙正）=（n+1甲反

6、n乙反）=（甲反1+乙反）=（甲反乙反） 由对称性知 P（甲正乙正）=P（甲反乙反）1因此 P(甲正乙正)=26. 证明“确定的原则”（Surething）：若 P（A|C）P(B|C),P(A| C )P(B| C )，则 P（A）P(B).【证】由 P（A|C）P(B|C),得P( AC) P(BC ) ,P(C)P(C)即有P( AC) P(BC)同理由 P( A | C) P(B | C ), 得P( AC) P(BC),故P( A) = P( AC) + P( AC) P( BC) + P(BC) = P(B)7. 一列火车共有 n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢

7、.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设 Ai=第 i 节车厢是空的，（i=1,n）,则P( Ai ) =(n 1)knk= (1 1)knP( A A ) = (1 2)ki jnP( A A A ) = (1 n 1 ki ii)1 2n1n其中 i1,i2,in1 是 1，2，n 中的任 n1 个.显然 n 节车厢全空的概率是零，于是nS = P A = n 1 k =1 1 k1i =1( i )(1n )Cn (1n )S = P( A A ) =C2 (1 2 )k21i j n)i jnnS=P( A A A) =Cn1(1 n 1 kn1Sn = 0n1i1 i2 0.试

8、证明：不论0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1.【证】在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1 (1 )n 1(n )9. 袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只， 将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知P(B) =m, P(B) =nm + nm + n则由贝叶斯公式知P( A | B) =1 , P( A | B) = 12rP(B | A) = P( AB) =P( A)mP(B)P( A | B) P(

9、B) P( A | B) + P( B) P( A | B)i 1=m + n 2r=m m i 1m + n 2r+ni1m + nm + 2r n10. 巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？1【解】以 B1、B2 记火柴取自不同两盒的事件，则有 P(B1) = P(B2 ) = 2 .（1）发现一盒已空， 另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B1 盒（已空

10、），nr 次取自 B2 盒，第 2nr+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验，则所求概率为p = 2Cn1. n 1 n r i1 = Cn112nr ( 2 ) ( 2 )2nr 22rr式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2 盒先取空）.（2） 前 2nr1 次取火柴，有 n1 次取自 B1 盒，nr 次取自 B2 盒，第 2nr 次取自 B1盒，故概率为p = 2Cn11 n11 nr 1 = Cn1 1 2nr122nr1( 2)(2)211. 求 n 重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率.2n r1 (2)【解】设在一次试验

11、中 A 出现的概率为 p.则由nnnn(q + p)n = C0 p0qn + C1 pqn1 + C2 p2 qn2 + + Cn pnq0 = 1nnnn(q p)n = C0 p0 qn + C1 pqn1 + C2 p2 qn2 + (1)n Cn pnq0以上两式相减得所求概率为nn1p = C1 pqn1 + C3 p3qn3 + = 1 1 (q p)n 2= 1 1 (1 2 p)n 2若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p = 1 1 + (1 2 p) n .2212. 设 A，B 是任意两个随机事件，求 P（ A +B）（A+B）（

12、A + B ）（A+ B ）的值.【解】因为（AB）（ A B ）=A B A B（ A B）（A B ）=AB AB所求( A + B)( A + B)( A+ B)( A+ B) = ( AB AB) ( AB + AB)= 故所求值为 0.13. 设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且 P（ABC）=9/16，求 P（A）.【解】由 P( A B C) = P( A) + P(B) + P(C) P( AB) P( AC) P(BC) + P(ABC )= 3P( A) 3P( A)2 = 9161311故 P( A) =或4

13、,按题设 P（A）4,故 P（A）=.2414. 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A不发生的概率相等，求 P（A）.【解】P( AB) = P( A B) = 1 P( A B) = 19P( AB) = P( AB)故P( A) P( AB) = P(B) P( AB)故P( A) = P( B)由 A,B 的独立性，及、式有1 = 1 P( A) P(B) + P( A)P(B)9= 1 2P( A) +P( A)2= 1 P( A)2故1 P( A) = 1324故P( A) =或 P( A) =（舍去）33即 P（A）= 2 .32ax x215. 随机地向半圆 0y(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于/4 的概率为多少？【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 1 a2.阴影部分面积为2 a2 + 1 a242故所求概率为 a2 + 1 a2p = 42= 1 + 1 1 a22