高数答案总结——电气(机电)工程学院生活权益部(1).doc

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1、总 习 题 一（A）1. 下列集合是空集的是( B ). . 且. . 且2. 设,下列式子中正确的是( B ). . . . 3. 下列函数中，不是单调函数的是( C ). . . . 4. 函数是( B ). 奇函数 . 偶函数 . 单调函数 . 有界函数5. 下列与是相同函数的是( C ). . . . 6. 设，则的定义域为( A ). . 0,2 . 0,4 . 2,47. 下列函数中不是初等函数的是( C,D ). . . . 注意：若将选项修改为：，则y也可以表示为，因此这时只有D是正确的.8.函数的定义域是( D ). 9.下列函数中是奇函数的是( C ). . . .10.下

2、列函数中互为反函数的是( D ). . . .11设函数，下列说法中错误的是( B ). .为奇函数 .为偶函数 .为连续函数 .为有界函数12. 大于25的所有实数的集合是 （略） 13. 椭圆外部的一切点的集合是 （略） 14. 抛物线与直线交点的集合是 （略） 15. 函数的定义域是 16. 函数的反函数是 17. 函数的周期是 18. 函数的有界性是 有界 15. 若，则 （B）(略)习题2-31.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解：不一定. 如: 当时, ,.2.根据定义证明：（1） 为当时的无穷小.证明：对于任意给定的 要使,只要取则当时, 总有. 所以， 为当时的无穷

3、小.（2）为当时的无穷小.证明：对于任意给定的 要使,只要取则当时, 总有. 所以，为当时的无穷小.3.函数在内是否有界？这个函数是否为时的无穷大？为什么？解: .函数在内无界.因为当 (无论它多么大), 在内总可以找到,使(只要).但函数却不是时的无穷大. 这是因为, 取, 当时, ,而 .4.求函数的图形的渐近线.(略)习题2-4 1.计算下列极限：(1) . 解：= . (2) .解：=-5.(3) .解： =. (4) .解： =.(5) .解：=.(6) .解：=.(7) .解：,.(8) .解：=.(9) .解：=.(10) .解: 又是有界量, 2. 求下列极限（1）.解: .（

4、2）.解: =.（3）.解: .3.已知, 求a, b的数值.解: 时, ;时, ;时, .习题2-5 1.计算下列极限：(1) (略)； (2) ；（略）(3) （略）； (4) .解:(4) =.(5) .解: =. (6) .解: .2.计算下列极限：(1) .解: .(2) .解: .(3) .解: . (4) .解: =.(5) .解: 原式= =.(6) .解: =.3.利用极限存在准则证明：(1) .解: ，又，由夹逼准则可知.(2) .解: 而,所以.(3) .解: 当时, ,当时, ,所以, (4) 为的整数部分.解: 当时 ,当时 ,习题2-61.当时，与相比，哪一个是高阶

5、无穷小？解： ，当时，是比高阶的无穷小.2.当时，无穷小和(1),(2)是否同阶？是否等价？解： ,当时和(1)同阶,与(2)等价.3.证明：当时，有(1) ,(2) .(略)4.利用无穷小的性质，求下列极限：(1) .解： =. (2) .解：=.(3) .解：(4) .解：=.习题2-71.求的间断点，并判断其类型.解： 都是其间断点.由于, 所以，是第一类间断点中的可去间断点，是第一类间断点中的无穷间断点.2.讨论 在点处的连续性.解: 由于, 而,所以,因此是函数的间断点,且为第一类间断点中的可去间断点.3.讨论 的连续性.解: 因为,所以函数在处右连续. 又,所以是第一类间断点中的跳

6、跃间断点., 所以是连续点.4. 研究 的连续性，若有间断点则判断其类型.解:因为 =,即,所以, 都是其间断点,并且都为第一类间断点中的跳跃间断点.5.已知函数在处的连续，求的值.解: 因为而函数在处的连续,所以=1.6.求下列极限：（1）.解: =1.（2）.解: =-.（3）； 解: = = . （4）.解: （5） .解: = =（6）.解: =.（7）.解: =.（8）.解: =（9） .解: =1.（10）.解: 令,则,于是, 原式=.（11）.解: （12）.解: 令,则原式=.习题3-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔0, t内转过的角度为q, 从而转角q是t的函数: q

7、=q(t). 如果旋转是匀速的, 那么称为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？ 解 在时间间隔t0, t0+Dt内的平均角速度为 , 故t0时刻的角速度为 . 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t), 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？ 解 物体在时间间隔t0, t0+Dt内, 温度的改变量为 DT=T(t+Dt)-T(t), 平均冷却速度为 , 故物体在时刻t的冷却速度为 . 3. 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的

8、导数f(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f(x)的实际意义. 解 f(x+Dx)-f(x)表示当产量由x改变到x+Dx时成本的改变量. 表示当产量由x改变到x+Dx时单位产量的成本. 表示当产量为x时单位产量的成本. 4. 设f(x)=10x2, 试按定义, 求f (-1). 解 . 5. 证明(cos x)=-sin x. 解 . 6. 下列各题中均假定f (x0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A表示什么: (1); 解 . (2), 其中f(0)=0, 且f (0)存在; 解 . (3). 解 =f (x0)-f (x0)=2f (x0). 7. 求下列函数的导数:

9、(1)y=x4; (2); (3)y=x1. 6; (4); (5); (6); (7); 解 (1)y=(x4)=4x4-1=4x3 . (2). (3)y=(x1. 6)=1.6x1. 6-1=1.6x 0. 6. (4). (5). (6). (7). 8. 已知物体的运动规律为s=t3(m). 求这物体在t=2秒(s)时的速度. 解v=(s)=3t2, v|t=2=12(米/秒). 9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明 当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以 , 从而有2f (0)=0, 即f (0)=0. 10. 求曲线y=sin x

10、在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: , x=p. 解 因为y=cos x, 所以斜率分别为 , . 11. 求曲线y=cos x上点处的切线方程和法线方程式. 解y=-sin x, , 故在点处, 切线方程为, 法线方程为. 12. 求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程. 解y=ex, y|x=0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y-1=1(x-0), 即y=x+1. 13. 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解 y=2x, 割线斜率为. 令2x=4, 得x=2. 因此抛物线y=x2上点(2, 4)

11、处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性: (1)y=|sin x|; (2) . 解 (1)因为 y(0)=0, , , 所以函数在x=0处连续. 又因为 , , 而 , 所以函数在x=0处不可导. （2）解 因为, 又y(0)=0, 所以函数在x=0处连续. 又因为 , 所以函数在点x=0处可导, 且y(0)=0. 15. 设函数为了使函数f(x)在x=1处连续且可导, a, b应取什么值？ 解 因为 , , f(1)=a+b, 所以要使函数在x=1处连续, 必须a+b=1 . 又因为当a+b=1时 , , 所以要使函数在x=1处可导, 必须a=2, 此时b

12、=-1. 16. 已知求f+(0)及f-(0), 又f (0)是否存在？ 解 因为 f-(0)=, f+(0)=, 而f-(0)f+(0), 所以f (0)不存在. 17. 已知f(x)=, 求f (x) . 解 当x0时, f(x)=x, f (x)=1; 因为 f-(0)=, f+(0)=, 所以f (0)=1, 从而 f (x)=. 18. 证明: 双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 . 解 由xy=a2得, . 设(x0, y0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为 . 令y=0, 并注意x0y0=a2, 解得, 为切线在x轴上的距. 令x=0,

13、 并注意x0y0=a2, 解得, 为切线在y轴上的距. 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 . 习题 3-2 1. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)=-csc2x ; (csc x)=-csc xcot x . 解 . . 2. 求下列函数的导数: (1); (2) y=5x3-2x+3ex ; (3) y=2tan x+sec x-1; (4) y=sin xcos x ; (5) y=x2ln x ; (6) y=3excos x ; (7); (8); (9) y=x2ln x cos x ; (10); 解 (1) . (2) y=(5x3-2x+3ex)=15x2

14、-2x ln2+3ex. (3) y=(2tan x +sec x-1)=2sec2x+sec xtan x=sec x(2sec x+tan x). (4) y=(sin xcos x)=(sin x)cos x+sin x(cos x) =cos xcos x+sin x(-sin x)=cos 2x. (5) y=(x2ln x)=2xln x+x2=x(2ln x+1) . (6) y=(3excos x)=3excos x+3ex(-sin x)=3ex(cos x-sin x). (7). (8). (9) y=(x2ln x cos x)=2xln x cos x+x2cos x

15、+x2 ln x(-sin x) 2x ln x cos x+x cos x-x2 ln x sin x . (10). 3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y=sin x-cos x , 求和. (2),求. (3), 求f (0)和f (2) . 解 (1)y=cos x+sin x, , . (2), . (3), , . 4. 以初速v0竖直上抛的物体, 其上升高度s与时间t的关系是. 求: (1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v(t)=s(t)=v0-gt. (2)令v(t)=0, 即v0-gt=0, 得, 这就是物体达到最高点的时刻. 5

16、. 求曲线y=2sin x+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程. 解 因为y=2cos x+2x, y|x=0=2, 又当x=0时, y=0, 所以所求的切线方程为 y=2x, 所求的法线方程为 , 即x+2y=0. 6. 求下列函数的导数: (1) y=(2x+5)4 (2) y=cos(4-3x); (3); (4) y=ln(1+x2); (5) y=sin2x ; (6); (7) y=tan(x2); (8) y=arctan(ex); (9) y=(arcsin x)2; (10) y=lncos x. 解 (1) y=4(2x+5)4-1(2x+5)=4(2x+5)3

17、2=8(2x+5)3. (2) y=-sin(4-3x)(4-3x)=-sin(4-3x)(-3)=3sin(4-3x). (3). (4). (5) y=2sin x(sin x)=2sin xcos x=sin 2x . (6) . (7) y=sec2(x2)(x2)=2xsec2(x2). (8). (9) y. (10). 7. 求下列函数的导数: (1) y=arcsin(1-2x); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9) y=ln(sec x+tan x); (10) y=ln(csc x-cot x). 解 (1). (2) . (3)

18、. (4). (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 8. 求下列函数的导数: (1); (2); (3); (4); (5)y=sinnxcos nx ; (6); (7); (8) y=lnln(ln x) ; (9); (10). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) y=n sinn-1x(sin x)cos nx+sinnx(-sin nx)(nx) =n sinn-1xcos x cos nx+sinnx(-sin nx)n =n sinn-1x(cos xcos nx-sin xsin nx)= n sinn-1xcos(n+1)

19、x . (6). (7) . (8) . (9) . (10) . 9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f2(x)+g2(x)0, 试求函数的导数. 解 . 10. 设f(x)可导, 求下列函数y的导数: (1) y=f(x2); (2) y=f(sin2x)+f(cos2x). 解 (1) y=f (x2)(x2)= f (x2)2x=2xf (x2). (2) y=f (sin2x)(sin2x)+f (cos2x)(cos2x) = f (sin2x)2sin xcos x+f (cos2x)2cosx(-sin x) =sin 2xf (sin2x)- f (cos2x). *11

20、. 求下列函数的导数: (1) y=ch(sh x ); (2) y=sh xech x; (3) y=th(ln x); (4) y=sh3x +ch2x ; (5) y=th(1-x2); (6) y=arch(x2+1); (7) y=arch(e2x); (8) y=arctan(th x); (9); (10) 解 (1) y=sh(sh x)(sh x)=sh(sh x)ch x . (2) y=ch xech x+sh xech xsh x=ech x(ch x+sh2x) . (3). (4) y=3sh2xch x+2ch xsh x =sh xch x(3sh x+2) .

21、 (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 12. 求下列函数的导数: (1) y=e-x(x2-2x+3); (2) y=sin2xsin(x2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9) ; (10). 解 (1) y=-e-x(x2-2x+3)+e-x(2x-2) =e-x(-x2+4x-5). (2) y=2sin xcos xsin(x2)+sin2xcos(x2)2x =sin2xsin(x2)+2xsin2xcos(x2). (3). (4). (5). (6). (7) . (8) . (9). (10) .习题 3-3 1

22、. 求函数的二阶导数: (1) y=2x2+ln x; (2) y=e2x-1; (3) y=xcos x; (4) y=e-t sin t; (5); (6) y=ln(1-x2) (7) y=tan x; (8); (9) y=(1+x2)arctan x ; (10); (11); (12). 解 (1), . (2) y=e2x-1 2=2e2x-1, y=2e2x-1 2=4e2x-1. (3) y=xcos x ; y=cos x-xsin x, y=-sin x-sin x-xcos x=-2sin x-xcos x . (4) y=-e-tsin t+e-tcos t=e-t(

23、cos t-sin t) y=-e-t(cos t-sin t)+e-t(-sin t-cos t)=-2e-tcos t . (5), . (6) , . (7) y=sec2 x, y=2sec x(sec x)=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x . (8), . (9), . (10), . (11), . (12), . 2. 设f(x)=(x+10)6, f (2)=? 解f (x)=6(x+10)5, f (x)=30(x+10)4, f (x)=120(x+10)3, f (2)=120(2+10)3=207360. 3. 若f (x)存在, 求下列函数y

24、的二阶导数: (1) y=f(x2); (2) y=lnf(x) . 解 (1)y= f (x2)(x2)=2xf (x2), y=2f (x2)+2x2xf (x2)=2f (x2)+4x2f (x2). (2), . 4. 试从导出: (1); (2). 解 (1). (2) . 5. 已知物体的运动规律为s=Asinwt(A、w是常数), 求物体运动的加速度, 并验证: . 解 , . 就是物体运动的加速度. . 6. 验证函数y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常数)满足关系式: y-l2y=0 . 解 y=C1lelx-C2le-lx, y=C1l2elx+C2l2e-l

25、x. y-l2y=(C1l2elx+C2l2e-lx)-l2(C1elx+C2e-lx) =(C1l2elx+C2l2e-lx)-(C1l2elx+C2l2e-lx)=0 . 7. 验证函数y=exsin x满足关系式: y-2y+2y=0 . 解 y=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x . y-2y+2y=2excos x-2ex(sin x+cos x)+2exsin x =2excos x-2exsin x-2excos x+2exsin x=0 . 8. 求下列函数的n阶

26、导数的一般表达式: (1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an-1x+an (a1, a2, , an都是常数); (2) y=sin2x ; (3) y=xln x ; (4) y=xex . 解 (1) y=nxn-1+(n-1)a1xn-2+(n-2)a2xn-3+ +an-1, y=n(n-1)xn-2+(n-1)(n-2)a1xn-3+(n-2)(n-3)a2xn-4+ +an-2, , y(n)=n(n-1)(n-2) 21x0=n! . (2) y=2sin x cos x=sin2x , , , , , . (3) , , y=(-1)x-2, y(4)=(-1)(

27、-2)x-3, , y(n)=(-1)(-2)(-3) (-n+2)x-n+1. (4) y=ex+xex , y=ex+ex+xex=2ex+xex , y=2ex+ex+xex=3ex+xex , , y(n)=nex+xex=ex(n+x) . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y=excos x, 求y(4) ; (2) y=x2sin 2x, 求y(50) . 解 (1)令u=ex, v=cos x , 有 u=u=u=u(4)=ex; v=-sin x , v=-cos x , v=sin x, v(4)=cos x , 所以 y(4)=u(4)v+4uv+6uv+4uv

28、+uv(4) =excos x+4(-sin x)+6(-cos x)+4sin x+cos x=-4excos x . (2)令u=x2 , v=sin 2x, 则有 u=2x, u=2, u=0; , v(49)=249cos 2x, v(50)=-250sin 2x , 所以 . 10(略)习题3-4 1. 求由下列方程所确定的隐函数y的导数: (1) y2-2x y+9=0; (2) x3+y3-3axy=0; (3) xy=ex+y ; (4) y=1-xey. 解 (1)方程两边求导数得 2y y-2y-2x y =0 , 于是 (y-x)y=y, . (2)方程两边求导数得 3x

29、2+3y2y-2ay-3axy=0, 于是 (y2-ax)y=ay-x2 , . (3)方程两边求导数得 y +xy=e x+y(1+y), 于是 (x-ex+y)y=ex+y-y, . (4)方程两边求导数得 y=-e y-xeyy, 于是 (1+xe y)y=-e y, . 2. 求曲线在点处的切线方程和法线方程. 解 方程两边求导数得 , 于是 , 在点处y=-1. 所求切线方程为 , 即. 所求法线方程为 , 即x-y=0. 3. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数: (1) x2-y2=1; (2) b2x2+a2y2=a2b2; (3) y=tan(x+y); (4) y=1+

30、xey. 解 (1)方程两边求导数得 2x-2yy=0, y=, . (2)方程两边求导数得 2b2x+2a2yy=0, , . (3)方程两边求导数得 y=sec2(x+y)(1+y), , . (4)方程两边求导数得 y=e y+xe yy, , . 4. 用对数求导法求下列函数的导数: (1) ; (2); (3); (4). 解 (1)两边取对数得 ln y=xln|x|-xln|1+x|，两边求导得 , 于是 . (2)两边取对数得 , 两边求导得 , 于是 . (3)两边取对数得 , 两边求导得 , 于是 (4)两边取对数得 , 两边求导得 , 于是 . 5. 求下列参数方程所确定

31、的函数的导数: (1) ; (2) . 解 (1). (2). 6. 已知求当时的值. 解 , 当时, . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: (1) , 在处; (2) , 在t=2处. 解 (1). 当时, , , ,所求切线方程为 , 即; 所求法线方程为 , 即. (2), , . 当t=2时, , , , 所求切线方程为 , 即4x+3y-12a=0; 所求法线方程为 , 即3x-4y+6a=0. 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) , 设f (t)存在且不为零. 解 (1) , . (2) , . (

32、3) , . (4) , . 9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数: (1); (2). 解(1), , . (2), , . 10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s, 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？ 解 设波的半径为r, 对应圆面积为S, 则S=pr2, 两边同时对t求导得 S t=2prr. 当t=2时, r=62=12, rt=6, 故S t|t=2=2126p=144p (米2/秒). 11. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中, 其速率为4m2/min . 当水深为5m时, 其表面上升的速度为多少？ 解 水深为h时, 水面半径为, 水面面积为, 水的体积为, , . 已知h=5(m)，(m3/min), 因此 (m/min). 12. 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm时, 其表面下降的速率为1cm/min. 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多