几类常微分方程的典型解法开题报告.doc

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1、 开题报告几类常微分方程的典型解法一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势)常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具区解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.常微分方程是17世纪与

2、微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.文献一中提到,常微分的发展主要可以分为四个阶段: 常微分的经典阶段-以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段-以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段-以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段-以定性与稳定性理论为研究内容.微分方程的发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼兹(Leibniz)曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉(Euler)则试图用积分因子统一处理,伯努利(Bernoulli)、里卡蒂(Riccati)微分方程就是在研究

3、初等积分时提出后人们以他们的名字命名的方程.早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔(Liouville)于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断.加上柯西(Cauchy)初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“适定性理论”阶段.19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹(Rudolph Lipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿跟皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件

4、下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题. 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.如:贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)多项式等.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通

5、解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱(Henri Poincare,1854-1912)就开始了微分方程的定性研究.由于希尔伯特(Hilbert)提出20世纪23个数学问题中关于极限个数的第16个问题,大大促进了定性理论的发展.同时,常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫(1857-1918)创立的运动稳定性理论,主要用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解的趋向问题,在天文、物理及工程技术中得到广泛应用,先后在前苏联、美国受到极大重视.同时,伯克霍夫(Birkhoff)在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域,由

6、于拓扑方法的渗入,20世纪50年代后经阿诺德(Aronold)、斯梅尔(Smale)等大数学家的参与而得到蓬勃发展.除定性、稳定性和动力系统理论外,还有非线性振动理论、摄动与奇异摄动理论及变换群理论在20世纪也得到迅速发展.常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定

7、性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文研究的基本内容为:一、 绪论,主要包括常微分方程的背景、由来以及发展动态.二、 几类常微分方程的一般解法,主要内容有常微分方程的基本概念、变量分离法、变量代换法、常数变易法.三、 几类常微分方程的特殊解法,主要是介绍凑全微分法、积分因子法.四、 几类解法的应用,主要是应用前面的几类解法来求解伯努利方

8、程.常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.20世纪以来,随着大量的边缘学科诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等的产生和发展,出现不少新型的微分方程.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程.现在微分方程已经在各个方面的应用越来越广泛.后来数学家们发现微分方程有无穷多个解,但发觉不是所有的微分方程的通解都能求解出来.从以前的“求通解”到“求定解问题”的转变,所以能求出微分方程的解是十分重要的.所以,本文通过总结几类常微分方程的典型解法,来加深对其的了解.通过查阅文献,了解常微分方程历史背景、发展现状,

9、同时,在了解常微分方程的定义及其基本解法的基础上,总结出几类常微分方程的典型解法.并且将这几种典型解法应用于求解伯努利方程之中.三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标一、本课题的研究以综述法为主,采用的技术路线是:首先在大量阅读文献的基础上,了解常微分方程的历史背景、发展动态、研究意义.然后在了解常微分方程的定义及其基本解法的基础上,总结归纳出几种典型解法,掌握它们的特点,并将它们应用到伯努利方程的求解当中.二、研究的主要难点是在几种典型解法的归纳总结以及将他们应用于伯努利方程的求解.三、预期达到的目标,通过本课题的研究,总结归纳出前人研究所得的成果,总结出几种比较典型的解法,形成

10、自己的观点和认识.并将这些典型解法应用于伯努利方程的求解当中,巩固对这些解法的理解.四、论文详细工作进度和安排（一）第七学期第9-10周:确定论文题目;开始查阅文献资料,收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理,形成系统材料;确定外文翻译资料;（二）第七学期第11-12周:收集常微分方程求解的相关资料,仔细研读,分析资料,完成外文翻译;（三）第七学期第13-17周:认真阅读文献资料,加以归纳总结,深入了解常微分方程的典型解法,完成文献综述及开题报告; （四）第七学期第18周:完成网上确认;上传外文翻译,文献综述、开题报告. （五）寒假期间:全面开展课题研究,按照研究方案和路线撰写论文

11、,对常微分方程的典型解法做具体的分析、总结及相关应用,完成论文初稿;（六）第八学期第1-3周:修改论文初稿,继续完善论文初稿,把常微分方程的典型解法做详细整理,对常微分方程的解法进行相关应用,完成研究任务,并确定进入实习阶段;（七）第八学期第4-10周:进入实习单位进行毕业实习,对论文再次进行修改;（八）第八学期第11周:完成毕业实习返校,并递交毕业实习报告;（九）第八学期第12-14周:对论文进一步修改,并定稿;（十）第八学期第15-16周:准备并完成毕业答辩.五、主要参考文献:1 张良勇,董晓芳.常微分方程的起源与发展J.高等函授学报(自然科学版).2006,20(3):34-39.2 王

12、高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程M.第二版.北京:高等教育出版社,2006:30-61.3 焦宝聪、王在洪、时红廷.常微分方程M.北京:清华大学出版社,2008:10-33.4 钱祥征、黄立宏.常微分方程M.长沙:湖南大学出版社,2007:9-36.5 江磊.几类应用变量代换求解的常微分方程J.成都纺织高等专科学报.2005,22(4):19.6林武忠、汪志鸣、张九超.常微分方程M.北京:科学出版社,2003:16-34.7 邓小青.一类常微分方程的初等解法浅析J.教师.2009,“”(8).8 邹黎桥.求常微分方程解的方法J.内江师范学院报.2010,25(zl):114-115.9

13、 王春草.常数变易法求二阶常系数线性微分方程的特解J.杨凌职业技术学院报.2009,8(4):22-23.10 展丙军.常微分方程求解过程的简化及特解的公式化J.通化师范学院报.2005,26(6):10-11.11 刘久方,刘学生.常微分方程中常数变易法的推广J.大连大学学报.2009,(6):10-12.12 郭玲玉、赵森平.常微分方程的一题多解J.科学之友.2007,05(B):151-152.13 丁崇文.常微分方程精品课堂M.厦门:厦门大学出版社,2008:28.14 窦霁虹.常微分方程导教导学导考M.第二版.西安:西北工业大学出版社,2007:12-13.15 徐彬.一阶常微分方程具有一种乘积形式积分因子的求解J.黄冈师范学院报,2009,29(3):13-15.16 W.Walter.Ordinary Differential EquationsM.Springer-Verlag,2003.17 常秀芳,李高.关于伯努利方程的几种新解法J.雁北师范学院报,2007,23(2):89-91.18 杨艳红.伯努利方程的一种新解法J.科学技术与工程,2009,9(18).19 韩拥军. 伯努利(Bernoulli)方程的几种新解法的探讨J.铜陵职业技术学院报. 2009,(3):76,80.