人寿保险的赢利问题.docx
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1、概率论与数理统计大作业研究课题: 人寿保险的赢利问题 课程名称: 概率论与数理统计 班 级: 电气信息 学 号: 姓 名: 摘要:中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们的总和渐近地服从正态分布。对概率论中的三个重要中心极限定理进行了论述,并总结了它们各自在实际中的应用。关键词:中心极限定理;正态分布;概率在概率论中,随机现象的统计规律性只有在对大量随机现象的考察中才能体现出来,往往采用极限的方法去研究这些大量的随机现象。而在客观实际中有许多随机变量,它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响而形成的,而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是很微小的,均匀的,
2、没有一项因素起特别突出的影响,这种随机变量往往近似地服从正态分布。中心极限定理就是用来描述随机变量和的概率分布的极限的一系列定理,就是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们的总和的分布近似地服从正态分布。1 相关定理及其特例1.1 独立同分布的中心极限定理limnpi=1nXinnx=x12et22dt=x该定理表明:当n充分大时,Yn=Snnn的分布近似服从N(0,1),Sn=i=1nXi。又由于Sn=nYn+n,即Sn为Yn的线性函数,故Sn的分布也近似于服从正态分布,且Sn的分布近似于Nn,n2。于是我们知道,相互独立同分布且存在期望和方差的随机变量的和也近似服从正态
3、分布。故而独立同分布的中心极限定理给我们提供了近似计算独立同分布的随机变量之和的概率的方法。Sn近似服从正态分布Nn,n2,当n较大时,可先将Sn标准化,然后再查标准正态分布表得之。这个定理的另一个形式是均值为 ,方差为2的独立同分布序列X1,X2,Xn,其算术平均值X=1ni=1nXi在n充分大时,渐近服从均值为,方差为2n的正态分布,这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。独立同分布的中心极限定理主要适用以下两个方面:应用一:求随机变量之和Sn落在某区间的概率。对这类情形,首先构造一列独立同分布且期望和方差已知的随机变量,其次将所求事件的概率转化为此列随机变量之和Sn在某一区间取值的概率
4、,最后再用正态分布的概率公式计算。应用二:已知随机变量之和Sn取值的概率,求随机变量的个数n。对这类问题,其解法的顺序同上述情形刚好相反。首先是利用独立同分布极限定理将所给概率转换成一个与n有关的标准正态分布的函数值fn,通过查表求出fn,再解出fn中所含的未知数n。1.2 棣莫弗拉普拉斯定理limnPXnnpnp1px=x棣莫弗拉普拉斯定理是独立同分布中心极限定理的一个特例。如果将服从二项分布的随机变量X n看成n个相互独立的服从(0,1)分布的随机变量之和时,棣莫弗拉普拉斯定理就是独立同分布中心极限定理。该定理主要适用于以下几个方面:应用一:近似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概
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