【精品】结构动力学.doc

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1、第九章 结构动力学9.1概述一、结构动力计算的特点和内容前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。结构的内力和位移是位置和时间的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化

2、的。从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作

3、用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。研究结构的自由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。二、动力荷载的分类根据动力荷载的变化规律及其对结构作用的变化特点，将其分为以下几类：、简谐性周期荷载它是按简谐规律随时间连续变化其量值的荷载，可以用正弦或余弦函数表示，也称为简谐荷载，是工程中最常见的动力荷载。如图9-1所示具有偏心质量的回转

4、机器，当其匀速转动时，传到结构上的由偏心质量产生的离心力，它的垂直分力和水平分力就是简谐荷载。图9-1、一般周期荷载图9-2它是指除了简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。如图9-2a所示的曲柄连杆机构，当其匀速转动时，产生的水平干扰力的变化规律即为图9-2b所示的周期性多波形。、冲击荷载它是短时间内作用于结构上，荷载值急剧增大或急剧减小的荷载。如各种爆炸荷载、锻锤对机器的碰撞等都属于这类荷载。图9-3所示为一种爆炸荷载，荷载值急剧减小。图9-3、随机荷载它是指荷载值随时间的变化极不规律，任一时刻的数值不能事先确定的荷载。因为不能将荷载与时间的关系做出准确的数学描述，又称为非确定荷载。如风荷载、地

5、震作用等都属于随机荷载。分析随机荷载，需要应用概率和数理统计的方法。三、动力计算中体系振动的自由度在动力计算中，需要考虑质量的惯性力，而惯性力又与质量的运动状态有关，因此，必须确定质量的分布情况并计算质点的位移。在动力计算中，总是以质点的位移作为基本未知量，结构上全部质量有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为体系振动的自由度。一切实际结构都具有分布质量，严格说来都是具有无限自由度的体系。但在一定条件下，可以略去次要因素而使问题简化。将实际结构简化为有限自由度体系的方法很多，最常见的方法是将分布质量集中为有限个质点，集中质点

6、数目可以根据具体情况及精度要求来确定。图9-4a所示简支梁，跨中安装一台电动机。当梁本身的质量远小于机器的质量时，可以 图9-4略去不计取图9-4b所示的计算简图。如果不考虑梁的轴向变形并略去机器的转动惯性，集中质量可以视为质点。在梁作小变形振动的前提下，该质点只能在竖直方向振动，即质点的位置可以由挠度确定，故体系的振动自由度等于。这种体系称为单自由度体系。同理，图9-5所示体系的振动自由度也等于，虽然体系有三个集中质量，但它们的位置只用一个几何参数便可确定。图95图9-6a所示两层平面刚架，在水平力作用下作水平振动时，其横梁沿竖直方向的振动很小，可以忽略不计。计算时把梁柱的质量集中在结点上，

7、则简化后的体系有四个集中质量，图9-6计算简图如图9-6b所示。若忽略梁和柱的轴向变形，则质点有四个水平位移，且，故体系有两个振动自由度。图9-7所示悬臂刚架的计算简图。梁端部有一集中质量，刚架振动时，集中质量既有水平位移又有竖向位移。决定质点位置有两个独立的几何参数，因此，体系具有两个振动自由度。图9-7除了上述杆件体系外，在实际工程中，时常遇到具有质量块的体系。图9-8所示构架式基础，计算时将顶板简化为一刚性质量块。当不考虑地基变形时，顶板只能沿水平面运动。此时，将柱的质量集中在柱顶，质量集中在柱底，则板的运动情况可用其质心在水平面的两个分位移、及板的扭转角表示，故体系的振动自由度等于3。

8、凡具有两个以上且为有限数目振动自由度的体系称为多自由度体系。 图9-8 图9-9图9-9所示具有连续分布质量的体系，可将其视为无限多个质点，而每个质点的位移又是独立的，因而其振动自由度有无限多个，这种体系称为无限自由度体系。需要考虑杆件本身质量的结构（称为质量杆）都是无限自由度体系。严格的讲，一切弹性体系都是无限自由度体系。由上述讨论可见：、体系的振动自由度数目不一定等于体系的集中质量数目；、体系的振动自由度数目与体系是静定或超静定无关；、体系的振动自由度数目与计算精度有关，如图9-6b所示刚架，若考虑梁和柱的轴向变形，体系的振动自由度数目将增加。9.2单自由度体系的无阻尼自由振动实际工程中的

9、很多动力问题都可以简化为单自由度体系进行近似计算。单自由度体系的动力分析又是多自由度体系动力分析的基础。本节讨论单自由度体系的无阻尼自由振动。一、运动微分方程的建立图9-10a所示为一单自由度体系，梁本身的质量忽略不计。当其未受外界干扰时，梁将在质点重量的作用下处于虚线所示的静平衡位置，质点的静力位移为。如果质点在外界干扰下离开了静平衡位置，干扰消失后，由于梁的弹性作用，质点将在静平衡位置附近作往返运动。这种在运动过程中不受干扰力作用，而由初始位移或初始速度或两者共同作用下所引起的振动称为自由振动或固有振动。它可以用图9-10b所示的理想模型（称为弹性体系）图9-10表示。此时，梁对质量提供的

10、弹性力用弹簧来表示。因此，弹簧的刚度系数（使弹簧伸长或缩短单位长度需要的力）与梁在端点处的刚度系数（使端点产生单位竖向位移时在端点处施加的竖向力）相等。下面介绍两种建立自由振动微分方程的方法。、刚度法取质量为隔离体，如图9-10c所示。在振动的任意时刻，作用与质量上的力有：（）重力；（）弹性力。它的方向与位移的方向相反，其值为：（）惯性力。它的方向恒与加速度的方向相反，其值为：根据达朗伯原理，列出隔离体的动力平衡方程为：+= W （a）式中是由产生的静力位移，故有，则式（a）简化为： （b）（b）式表明，建立体系的运动方程时以静平衡位置为计算位移的起点，所得动力位移的微分方程与重力无关。为计算

11、方便，略去表示动力位移的下标“”，这样（b）式可改写为： （9-1）式（9-1）即为单自由度体系在不考虑阻尼情况下的自由振动方程。这种由力系平衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。2、柔度法以体系为研究对象，由变形协调条件列出位移方程。用表示弹簧的柔度系数（单位力作用下弹簧产生的位移），则作用于质点上的惯性力。此时，质点的动位移可视为由惯性力引起的，即 （c）整理得： （9-2）式（c）表明：质点在运动过程中任一时刻的位移，等于此时惯性力作用下的静位移。对单自由度体系来说，柔度系数与刚度系数的关系为： （d）将式（d）代入式（9-2）可得到式（9-1）。由此可见，两种方法所得到的运动方程实质

12、是一致的，只是表现形式不同。这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法，所建立的运动方程又称为位移方程，其物理意义是质点的动位移与其加速度要互相协调。二、自由振动微分方程的解单自由度体系无阻尼自由振动的微分方程（9-1）可改写为： （9-3）式中 （9-4）式（9-3）是二阶常系数齐次微分方程，其通解为： （e）其中、为积分常数，可以由运动初始条件确定。设=时质点有初位移和初速度，即及。代入（e）式可得：，于是，动位移的表达式为： （9-5）将上式改写成单项式的形式 （9-6）式中：， （9-7）式（9-6）表明，无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式中A表示体系振动时质点

13、的最大动位移，称为振幅。称为初始相位角，又称初相角，称为相位角。三、结构的自振周期和频率式（9-6）表示的简谐振动是周期运动，质点的位移是周期性的，其周期为： （9-8）可以导出： 这表明：在自由振动过程中，每经过一段时间T后，质点又重复原来的运动情况，因此，T被称为结构的自振周期。自振周期的倒数称为工程频率： （9-9）表示体系每秒钟的振动次数，单位是1/秒（1/S），或称为赫兹（Z）。由式（9-9）可得： （9-10）表示秒内体系振动的次数，被称为体系自由振动的圆频率或角频率，简称为自振频率或频率。由式（9-4）可得出结构自振频率的计算公式为： （9-11）相应地，结构的自振周期T的计算公

14、式为： （9-12）由自振周期和自振频率的计算公式可见：它们只与结构的质量和刚度有关，与外界的干扰因素无关，是结构本身固有的属性。所以，自振周期、自振频率也称为固有周期、固有频率，可以说T和是反映结构动力特性的重要参数。【例9-1】图9-11a为一水塔的简化图形。设顶端集中重物重，塔身截面的抗弯刚度EI为常数。求塔顶重物的水平自振周期。图9-11【解】该水塔的计算简图如图9-11b所示。由式（9-11）求得自振频率自振周期为【例9-2】图9-12为三种不同支承情况的单跨梁，EI=常数，在梁中点有一集中质量，不计梁的质量，试比较三者的自振频率。图9-12【解】根据前面学习过的方法计算出三种情况下

15、的静力位移分别为：，由式（9-11）求得三种情况下的自振频率分别为：，由此可得：:1.512:2【例9-3】图9-13a为一门式刚架。两个立柱的截面抗弯刚度分别为E1I1和E2I2，横梁的截面抗弯刚度EI=，横梁的总质量为，立柱的质量不计。求刚架作水平振动时的频率。图9-13【解】图9-13a所示体系，如果忽略杆件的轴向变形，则横梁上各质点的水平位移相等。由表4-1查得，当横梁产生单位位移时，左右两柱的柱端剪力分别为，。因而，使刚架产生单位水平位移所施加的力（图9-13b）为：由式（9-11）求得刚架水平振动时的自振频率为：四、简谐自由振动的特性由式（9-6）可导出 又惯性力 以上各式表明：在

16、无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都是按正弦规律作相位角相同的同步运动。因此，这三者同时达到各自的最大值（幅值）。即当时： （9-13）利用这个特性，可以在幅值处建立运动方程。此时，方程中将不包含时间因素，从而微分方程转化为代数方程，使计算得到简化。【例9-14】求图9-14a所示体系的自振频率。图9-14【解】该体系的振动方式是绕点往复转动，设体系振动时转角的幅值为（图9-12b）。当转角达到幅值时，质点的位移也达到幅值，质量和上的惯性力也同时达到幅值，其大小可由（9-13）式求得：在幅值处列出动力平衡方程如下：+由上式求得：9.3单自由度体系的无阻尼受迫振动体系在动力荷载作用下所产生的

17、振动称为受迫振动。本节讨论单自由度体系的无阻尼受迫振动。图9-15图9-15a所示为单自由度体系无阻尼振动模型，取图9-15b所示隔离体，列出运动微分方程为：改写为 （9-14）式（9-14）即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中。下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。一、简谐荷载当为简谐荷载时，其表达式为： （a）式中为简谐荷载的幅值，为简谐荷载的圆频率。将式（a）代入式（9-14）得： （b）这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，它的解由两部分组成：一部分是对应齐次方程的通解，即式（9-6）；另一部分是它的特解。设特解为： （c）将式（c）代入式（b），得： （d）故特

18、解为： （9-15）因此，微分方程（9-14）的通解为： （9-16）式中积分常数、初相位可由初始条件确定。式（9-16）由两部分组成，第一部分是按自振频率进行自由振动，是伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动；第二部分是按简谐荷载的频率进行的振动，称为纯受迫振动。在实际振动过程中，由于阻尼作用不可避免，自由振动部分将逐渐消失，只剩下纯受迫振动。振动刚开始时两种振动同时存在的阶段称为过渡阶段；随着自由振动的消失，只按简谐荷载频率振动的阶段称为稳定阶段。稳定阶段的振幅和频率都是恒定的，此阶段的振动又称为纯受迫振动或稳态受迫振动。下面只讨论纯受迫振动的情况。此时 （e）由于故 （f）为将干扰力

19、幅值视为静力荷载作用于结构时所引起的最大静位移。将式（f）代入式（e）得： （9-17）令： （9-18）式（9-17）可改写为 （9-19）由式（9-19）可知，在简谐荷载作用下，动力位移的幅值等于最大静位移乘上系数，故称为位移动力系数或放大系数。可以证明，对于干扰力作用于质量上的单自由度体系来说，它所承受的干扰力和产生的惯性力可以合并为一个外力。因而内力和位移是按照同一比例变化的，故内力动力系数和位移动力系数完全相同，统称为动力系数。对于多自由度体系而言，不仅内力动力系数和位移动力系数不同，而且不同截面上的内力动力系数和位移动力系数也各不相同（后面将讨论）。请读者注意：此时，不能用同一的动

20、力系数去计算结构的动力反应。从（9-19）式中可见，动力系数是描述受迫振动的一个重要指标。为进一步说明单自由度体系在简谐荷载作用下的动力特性，现在来分析动力系数的变化规律。令： 称为频比。则式（9-18）可改写为： （9-20）以为横坐标，以的绝对值为纵坐标，绘出图9-16所示图形。根据图9-16可以分析结构在简谐荷载作用下无阻尼稳态受迫振动的规律。图9-16（1） 当，即，时此时，动力位移的方向与干扰力的方向相同，而且动力位移恒大于干扰力幅值所产生的静位移。当，即时即干扰力的频率很小时，结构的动力反应与干扰力幅值所产生的静力反应趋于一致。例如，时，与很接近。因此，当简谐荷载的周期大于结构的自

21、振周期五倍以上时，可视为静力荷载。（2）当，即，时此时，动力位移的方向与干扰力的方向相反。当时，表明质量只在静平衡位置附近作极微小的振动。某些测量位移的测振仪器就是按照这一原理设计的。（3）当，即，时此时，干扰力的频率与结构的自振频率相等，动位移与动内力将无限增加，这种现象称为共振。实际情况是，由于阻尼不可避免的存在，共振发生时内力和位移虽然很大，但不会趋于无限大。然而，由于共振时将产生较大的位移和内力，在工程设计中应该设法避免这种情况的发生。一般规定，与的值至少应相差25%。下面分两种情况讨论单自由度体系在简谐荷载作用下内力和位移的计算。1、 简谐荷载直接作用在质点上图9-17所示为单自由度

22、体系，当简谐荷载作用在质点上时，荷载与惯性力作用点和作用线相同。在竖向单位力的作用下，质点的竖向位移为，故在荷载和惯性力共同作用下，质点的位移幅值为： （g）式中，为简谐荷载的幅值，为惯性力的幅值。由式（9-19）得： （9-21）比较式（g）与（9-21），得： （h）因此，只要将加在梁上质点处，便可按照静力学方法计算动内力和动位移的幅值。【例9-5】图9-17所示，简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重35kN，转速为400r/min。转动时由于偏心产生的离心力=10kN，离心力的竖向分力。梁的截面抗弯刚度EI=1.57104kN.m2。忽略梁的自重，求梁中点的总位移和总弯矩。图9-17【

23、解】简支梁的柔度系数为：跨中质点的静力位移为：结构的自振频率为：简谐荷载的频率为：动力系数梁跨中总位移等于动位移幅值（振幅）与自重引起的静位移之和，梁跨中总弯矩等于动弯矩幅值与自重引起的静弯矩之和，2、 简谐荷载不直接作用在质点上图9-18图9-18a所示单自由度体系，简谐荷载不直接作用在质点上。如图9-18b、c、d所示，根据叠加原理，结构在简谐荷载和惯性力共同作用下，质点的竖向位移为：整理得 （i）该方程纯受迫振动的解为： （9-22）式中振幅为： （9-23）【例9-6】图9-19a所示简支梁跨中有一集中质量，梁右端作用一个简谐变化的力矩。梁的截面抗弯刚度EI为常数。作出梁的动弯矩幅值图

24、。图9-19【解】梁的柔度系数为：； 结构的自振频率为：动力系数振幅惯性力幅值根据叠加原理，跨中动弯矩幅值为：动弯矩幅值图如图9-17b所示。二、一般动力荷载在一般动力荷载作用下，式（9-14）的特解可利用瞬时冲量作用下的振动来推导。图9-20a所示为一瞬时荷载，当荷载作用于结构的时间很短即时，将称为瞬时冲量。一个静止的体系，在瞬时冲量作用下的振动可视为一个由初始条件引起的自由振动。因而，需要先确定由瞬时冲量引起的初位移和初速度。图9-20根据牛顿第二定律由此式中，为速度的增量。如果质量在瞬时冲量的作用前=0时处于静止状态，则为受作用后质量在=时的速度。由此，可求出时间内的平均速度为：则质量在

25、=时的位移为：当时，荷载已经不在结构上，因而结构的振动是以和为初始条件的自由振动。因为为一无穷小量，则为高阶无穷小量可以忽略不计。因此，以，代入式（9-5），其动力位移可表示为： （9-24）式（9-24）即为在=0时瞬时冲量引起的结构动力反应。利用式（9-24）即瞬时冲量作用下的位移计算公式，可求得任意干扰力作用下的振动方程。图9-20b为一按任意规律变化的干扰力图形，如果将时间划分为无限多个微段，则在每一个微段内的值可视为常量，其瞬时冲量=。因而，图9-20b所示的干扰力可以看作是由无限多个瞬时冲量所组成的。根据线性微分方程的特性，利用叠加原理，其位移方程可以用单个瞬时冲量的作用叠加求出。

26、考察某一时间的位移，计算时应考虑时间以前的各个瞬时冲量的影响。由式（9-24）可知，单个瞬时冲量所产生的位移为： （j）式中之所以用来代替式（9-24）中的，是因为式（9-24）中的是从加载的瞬时算起的，而现在从加载瞬时到所求位移经过了时间。将上式积分后，求得总反应如下： （9-25）式（9-25）称为杜哈梅积分。它是初始时刻处于静止状态的单自由度体系在任意动力荷载作用下的位移计算公式。如果初位移和初速度不为零，则总位移应为： （9-26）下面应用式（9-26）讨论几种动力荷载作用下的动力反应。（1）突加荷载突然施加在结构上并继续作用于结构的荷载称为突加荷载。它可以表示为： （k）如果原结构的

27、初位移和初速度均为零，则在突加荷载作用下的受迫振动可以按照式（9-25）计算，将式（k）代入式（9-25）后，求得动力位移为： （9-27）式中： 为静力荷载作用下产生的静力位移。由式（9-27）可得，即突加荷载作用下动力系数。（2）短时荷载作用于结构上时间很短的荷载称为短时荷载。它可以表示为： （l）它可以认为是：=0时，有突加荷载作用在结构上，持续到时刻；时，有一个大小相等、方向相反的突加荷载作用在结构上。因而，可以利用上述突加荷载作用下的计算结果叠加求得体系的振动方程。设=0时，体系处于静止状态；时，荷载作用与突加荷载相同，则由式（9-27）求得：如果，则当时，动力系数。时，由上所述，有

28、 （9-28）由上式可得，最大位移发生在时，其值为：由此可得动力系数为：值与短时荷载作用在结构上的时间有关。表9-1列出了与的关系值。由上述讨论可知，短时荷载作用下结构的动力反应取决于荷载作用时间的长短，确切地说，取决于的值。当时，体系的最大动力反应与突加荷载相同，即动力系数。（3）爆炸荷载处值很大，迅速衰减为零的荷载称为爆炸荷载。其图形如图（9-21）所示，表达式为： （m）在初始位移和初始速度为零时，爆炸荷载引起的动力反应可以由杜哈梅积分式（9-25）求得。 图9-19 图9-22当时 （9-29a）当时 （9-29b）结构的动力反应与荷载作用时间有关。通过求极值，可以求得的最大值并由此得

29、到结构的动力系数。为了应用方便，图9-22给出了动力系数与的关系图形。由图可知，动力系数随着的增加而增大。当时，；当时，已经接近它的极限值。可以认为，当趋于无限时，爆炸荷载转化为突加荷载。9.4阻尼对振动的影响前两节讨论体系的振动问题时，没有考虑阻尼的影响。实际上，结构振动时总会产生一些对振动的阻力，不断地消耗体系的能量，这种物理现象称为阻尼作用。阻尼的概念是建立在振动过程中能量发生损耗的基础上的。振动过程中产生阻尼的主要原因有：结构振动过程中材料之间的内摩擦力；支座、结点等构件联结处的摩擦力；地基土等的内摩擦力；周围介质对振动的阻力以及人为设置的阻尼等。阻尼的性质比较复杂，而且对于一个结构来

30、说，往往同时存在几种不同性质的阻尼因素，这使得阻尼的计算十分困难，而且要用简化的阻尼模型。目前应用比较简便的是粘滞阻尼理论，它假设阻尼力与质点的速度成正比，与质点的运动方向相反，即式中，称为粘滞阻尼系数，通常由实验测定。粘滞阻尼理论假设阻尼力与质点的速度成正比，这样得到的运动方程仍是线性的，因而便于振动问题的求解。对于其它类型的阻尼力，可将其化为等效粘滞阻尼力来分析。 (a) (b)图9-23图9-23a为具有阻尼的单自由度体系的振动模型，体系的阻尼作用用阻尼减震器表示，阻尼系数为。取图9-23b所示的隔离体，作用在质量上的力有：弹性力：阻尼力：惯性力：干扰力：列动力平衡方程有 （9-30）下

31、面分别讨论阻尼对自由振动及受迫振动的影响。一、阻尼对自由振动的影响在式（9-30）中，令即得有阻尼作用时单自由度体系的运动方程为 （a）令： （9-31）则式（a）整理为 （9-32）上式为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为解得 （b）方程（9-32）的解取决于式（b）中根号内的数值，其值可能为正、负或零，下面分别讨论。1、（弱阻尼情况）此时，、为一对共轭复数，分别为令： （9-33）则方程（9-32）的通解为 （c）积分常数、可由初始条件求得。设=0时，可得式（c）可写为 （9-34）式（9-34）也可以写成单项式 （9-35）式中 （9-36）由上述的解答，对弱阻尼自由振动作如下讨论

32、：a）由式（9-35）可知，弱阻尼的自由振动是一个衰减振动。严格地说这不是一个周期运动，由于质点在相邻两次通过静平衡位置的时间间隔相等，习惯上称为周期，为圆频率，并称这种振动为衰减性的周期振动。图9-24给出了弱阻尼自由振动的曲线。图9-24b）由式（9-33）通常的值与相比很小，可以忽略不计，于是有即，阻尼对自振频率的影响很小，可以忽略不计。此时，。c）用n表示某一时刻n的振幅，n+1表示经过一个周期后的振幅，则有 （9-37）上式表明，相邻两个振幅的比值为常数，即振幅是按等比数列递减的。有阻尼的振动问题中，是一个重要的参数，称为阻尼比。实际工程中，常由式（9-37）确定阻尼比。对式（9-3

33、7）两边取自然对数，得令 （9-38）称为振幅对数递减量，则由此得 （9-39）由式（9-38）和式（9-39）即可根据实测的振幅来计算。2、（临界阻尼情况）此时，方程（9-32）的解为引入初始条件，得图9-25其曲线如图（9-25）所示，它表示体系从初始位移开始运动，逐渐返回静平衡位置不再产生运动，这是由于阻尼的作用较大，体系受到干扰后离开平衡位置所积蓄的能量在恢复到平衡位置的过程中全部消耗于克服阻尼的作用，再没有多余的能量引起振动。这时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用表示。在式（9-31）中令，得 （9-40）则有 说明阻尼比即为阻尼系数与临界阻尼系数的比值。、（强阻尼或过渡阻尼情况）此时，

34、、为两个负的实根，方程（9-31）的解为 （9-41）其曲线形状与图9-23相似，它也无振动产生。由于实际问题中很少有这种情况，故不再进一步讨论。【例9-7】图9-26所示刚架，横梁，质量集中于横梁。在横梁处施加一水平力，测得，然后突然卸载使刚架产生水平自由振动。测得周期及一个周期后刚架的侧移。求刚架的阻尼比和阻尼系数c。图9-26【解】1）由式（9-38）的对数减缩率则阻尼比为 2） 则阻尼系数为【例9-8】设有一基础作竖向自由振动，已知自振频率，阻尼比，初速度。求经过多少时间后该基础停止振动。【解】因为，则基础自由振动时的方程由式（9-34）有振动周期相邻两个振幅的比值为当t经过时()，位

35、移达到第一次幅值当t又经过时，位移达到第二次幅值同理：；此时，认为振动已经接近停止，振动的总时间为即经过0.2041后，基础停止振动。二、阻尼对受迫振动的影响阻尼（设）对体系受迫振动的动力反应有一定的影响。在一般动力荷载作用下，其动力位移可以表示为杜哈梅积分。由式（9-34），初始位移为零，初始速度为。所引起的振动为由上述有阻尼的自由振动方程，可以导出由于瞬时冲量作用的动力位移公式为 （）把一般动力荷载看作是由无限多个瞬时冲量所组成的，对到的时间微段上的而言，它引起的动力位移由式（）可知积分后，即得初始为静止状态的单自由度体系有阻尼的受迫振动方程为 （9-42）式（9-42）即为有阻尼时的杜哈

36、梅积分。下面用它来计算初始为静止状态后承受简谐荷载的有阻尼受迫振动。将代入式（9-42），得 （）式中 （9-43）式（）表示振动由两部分组成，第一部分振动的频率与干扰力的频率一致，第二部分振动的频率与体系的自振频率一致。由于阻尼的作用，频率为的振动（称为伴生自由振动）含有因子，振动很快衰减消失，只留下频率为的振动（称为纯受迫振动或稳态受迫振动）。下面讨论纯受迫振动的性质。由式（）得纯受迫振动的方程为 （）将式（）写成单项式 （9-44）式中： （9-45）有阻尼纯受迫振动的振幅；位移与干扰力之间的相位差。由， 令 （9-46）则振幅可写为 （9-47）由式（9-46）可知，动力系数不仅与频比

37、有关，还与阻尼比有关。图9-27给出了与及的关系曲线。从图中可见：图9-271）时，。表明体系振动很慢，可以近似的将作为静力荷载计算。2）时，。表明体系接近于不动或作极微小的振动。3）时，增加很快。此时，阻尼比对的影响极大。当（称此区域为共振区）时，阻尼力大大减小了受迫振动的位移。在此范围以外，阻尼对的影响很小，可以按照无阻尼计算。4）的最大值不发生在时。对式（9-46）取极值，当时，得到最大值。在弱阻尼时，通常很小，故可以近似的将时的值作为最大值，称此时的振动为共振，其动力系数由式（9-46）得 （9-48）由式（9-45）得位移与干扰力的相位差为时，；时，；时，。可以说，只要有阻尼存在，位

38、移总是滞后于干扰力。共振时，位移方程可以改写为 （）相应的惯性力为弹性力为上式中，即共振时惯性力与弹性力平衡。共振时，则阻尼力为 上式说明共振时，干扰力与阻尼力平衡，所以振动是平衡的。而在无阻尼受迫振动中，没有与干扰力平衡的阻尼力，因而，共振时位移和内力趋近于无穷大。9.5无阻尼多自由度体系的自由振动以上各节中，讨论了单自由度体系的振动。在实际工程中，有些结构可以简化成为单自由度体系进行计算，但也有很多结构必须按多自由度体系来处理，才能得到符合实际情况并且比较精确的计算结果。例如，柔度较大的高耸结构、多层房屋（图9-28a）及不等高厂房（图9-28b）等结构的振动问题都必须将结构简化为符合实际的多自由度体系来处理。 (a) (b)图9-28多自由度体系是指具有两个或两个以上自由度的体系。在此，首先研究两个自由度体系的自由振动，然后再推广到个自由度体系。一、两个自由度体系的自由振动图9-29a所示为两个自由度体系（梁的质量不计），质点和的竖向动位移为和。下面将分别用柔度法和刚度法建立体系的振动微分方程并求解。图9-29、柔度法在体系自由振动过程中的任一时刻，质点和的位移和是由惯性力和共同作用产生的。利用叠加原理，列位移方程如下： （9-49）式中，的物理意义如图9-29c、d所示，它们是结构的柔度系数。将式（9-49）整理得 （9-50）