概率论与数理统计试题库附答案.doc

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1、概率论与数理统计试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“”，错误打“”） 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则(AB)-B=A ( ) 若X服从参数为的普哇松分布，则EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） 样本方差=是母体方差DX的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A、B、C是中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来 （1）仅发生，B、C都不发生；（2）中至少有两个发生； （3）中不多于两个发生； （4）中恰有两个发生； （5）中至多有一个发生。三、（15分） 把长为的棒任意折成三段，求它们可

2、以构成三角形的概率.四、（10分） 已知离散型随机变量的分布列为 求的分布列.五、（10分）设随机变量具有密度函数 ， x，求X的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999七、（15分）设是来自几何分布 ，的样本，试求未知参数的极大似然估计. 概率论与数理统计试题（1）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1） （2）或； （3）或； （4）； （

3、5）或 每小题4分；三 解 设三段可构成三角形，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.-5分aS 发生a/2 不等式确定的子域，-10分所以Aaa/20 -15分四 解 的分布列为 . Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；五 解 ，（因为被积函数为奇函数）-4分 -10分六 解 Xb(k;100,0.20), EX=1000.2=20, DX=1000.20.8=16.-5分-10分 =0.994+0.933-1 .-15分七 解 -5分 -10分解似然方程 ，得的极大似然估计 。-15分 概率论与数理统计期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1 设事件仅发生一个的概率为

4、0.3，且，则至少有一个不发生的概率为_.2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_.4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则_，=_.5 设总体的概率密度为 .是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_. 解：1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ，故 . 3设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为所以 4，故 . 5似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与

5、也独立. （B）若，则与也独立. （C）若，则与也独立. （D）若，则与也独立. （ ）2设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）3设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B）. （C）. （D）. （ ）4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. （C） （D）. （ ）5设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ） 解：1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（

6、A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.SABC 事实上由图 可见A与C不独立. 2所以 应选（A）. 3由不相关的等价条件知应选（B）. 4若独立则有YX ， 故应选（A）. 5，所以是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品 则（1） （2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个

7、交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为 .五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度为 （2）利用公式 其中 当 或时xzz=x 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.xy01

8、2 解： （1） ； （2） . 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受.概率论与数理统计期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，则事件、中仅发生或仅不发生的概率为_.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个

9、黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_.（3） 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则_.（4） 设二维离散型随机变量的分布列为 若，则_.（5） 设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：, , , ） 解：（1） 因为 与不相容，与不相容，所以，故 同理 . . （2）设四个球是同一颜色的， 四个球都是白球，四个球都是黑球 则 . 所求概率为 所以 . （3） 其中 ， ， . （4）的分布为 XY1200.40.10.510.20.30.50.60.4这是因为 ，由 得 ， 故 . （5） 即 ，亦即

10、 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、为三个事件，且，则有 （A） （B） （C） （D） （ ）（2）设随机变量的概率密度为 且，则在下列各组数中应取 （A） （B） （C）. （D） （ ）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有 （A） （B） （C） （D） （ ）（4）对任意随机变量，若存在，则等于 （A） （B） （C） （D） （ ）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度为的置信区间为 （A） （B） （C） （D） （ ） 解 （1）由知，故 应选C. （2） 即 故当 时 应选B. （3） 应选C. （4） 应选C. （5）因为方差已

11、知，所以的置信区间为 应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设从箱中任取2件都是一等品 丢失等号 . 则 ； 所求概率为.四、（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） （2）的分布函数为 （3）.五、（12分）设的概率密度为 求（1）边缘概率密度； （2）； （3）的概率密度.x+y=1yy=xx0 解：（1） （2） . （3） zyz=xx0z=2x 当 时 时 所以 六、（10分）（1）设，且与

12、独立，求； （2）设且与独立，求.11yx0 解： （1） ； （2）因相互独立，所以 ，所以.七、（10分）设总体的概率密度为 试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计 故的矩估计为 再求极大似然估计 所以的极大似然估计为 .概率论与数理统计期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设,，则至少发生一个的概率为_.（2） 设服从泊松分布，若，则_.（3） 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则_.（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率

13、为_.（5） 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为_. 解：（1） 得 . （2） 故 . . （3），其中 . （4）设第件元件的寿命为，则. 系统的寿命为，所求概率为 （5）的置信度下的置信区间为 所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （A）. （B）. （C

14、）. （D）. （ ）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（4）设随机变量的概率分布为 . 且满足，则的相关系数为 （A）0. （B）. （C）. （D）. （ ）（5）设随机变量且相互独立，根据切比 雪夫不等式有 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 解：（1）（A）：成立，（B）： 应选（B） （2）. 应选（C） （3） 应选（D） （4）的分布为 X2X110110000100 ，所以， 于是 . 应选（A） （5） 由切比雪夫不等式 应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每

15、一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解：设一天中恰有个顾客购买种商品 一天中有个顾客进入超市 则 .四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列. （2）和. 解：（1），其中 由 得 ，即，故 所以 . 故的分布列为 （2），.五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布， （1）求边缘密度和，并说明与是否独立. （2）求.y01e2xy=1/xD 解：区域的面积 的概

16、率密度为 （1） （2）因，所以不独立. （3） .六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求的概率密度。yx+y=z101xD1 解1： 的概率密度为 设的概率密度为，则 11zy0y 当 或时 当 时 所以的密度为 解2：分布函数法，设的分布函数为，则 故的密度为 七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随机样本 （1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解：（1）先求矩估计 再求极大似然估计 得的极大似然估计 ， （2）对矩估计 所以矩估计 是的无偏估计.八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到

17、右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求. 解：设从左到右的顺序将机床编号为 为已经修完的机器编号，表示将要去修的机床号码，则 于是 概率论与数理统计试题（5）一、 判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“”，错误打“”） 设A、B是中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则AB=AABB ( ) 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) 样本均值= 是母体均值EX的一致估计 （ ） XN(,) , YN(,) ，则 XYN(0,

18、 ) （ ） 二、 计算（10分）（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.三、（10分） 设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999五、（15分） 设的概率密度为 问是否独立？ 六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列

19、为 ，求与 七、（15分）设总体服从指数分布 试利用样本，求参数的极大似然估计. 八概率论与数理统计试题（5）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1）设他们的生日都不相同，则 -5分 （2）设至少有两个人的生日在同一个月，则 ；或 -10分三 证 若、互不相容，则，于是所以 、不相互独立.-5分 若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.-5分四 解 -3分 -7分所求概率为 -12分 =2（1）-1=20.841-1=0.682-15分五 解 边际密度为 -5分 -10分因为 ，所以独立.-15分六 解1 -8分其中 由函数的幂级数展开有 ，所以 -12分因为 -16分所以 -20分七

20、 解 -8分 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为-15分概率论与数理统计试题（6）一、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“”，错误打“”） 设A、B是中的随机事件，则A （ ） 对任意事件A与B，则有P(AB)=P(A)+P(B) （ ） 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( ) X N（，2 ），X1 ，X 2 ，Xn是X的样本，则 N（，2 ）（） X为随机变量，则DX=Cov（X，X）-（ ）二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.三、（15分）在

21、平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.四、（15分） 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.五、（15分）设二维随机变量（，）在圆域x2+y2a2上服从均匀分布，（1）求和的相关系数；（2）问是否独立？ 六、（10分）若随机变量序列满足条件 试证明服从大数定律.七、（10分） 设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。 八、（10分）某种零件的尺寸标准差为=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数

22、据（毫米）：=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下x 0 1.56 1.96 2.33 3.1 (x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999概率论与数理统计试题（6）评分标准一 ； ； ； ； 。二解 设任取一枚硬币掷次得个国徽， 任取一枚硬币是正品，则 ，-5分所求概率为 .-10分三 解 设针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，则ayay ，不等式确定了平面上xy0yAS 的一个区域.-6分 发生，不等式确定的子域-10分 故 -15分四

23、解 ，分布律为即 -5分的分布函数为 -有所不同-10分 -15分五 解 的密度为 -3分 （1） 故 的相关系数.-9分 （2）关于的边缘密度为 关于的边缘密度的 因为，所以不独立.-15分六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的有 -5分所以对任意的 故服从大数定律。-10分七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的有 -5分于是 即 依概率收敛于，故是的相合估计。-10分八 解 问题是在已知的条件下检验假设：=26 查正态分布表，1=0.975, =1.96-5分1u1=1.081.96,应当接受，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。-15分模拟试题A一.单项选择题（每小题3分，共9分）1. 打靶 3 发，事件 表示“击中 i 发” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件 表 示 ( )。( A ) 全 部 击 中 ； ( B ) 至少有一发击中；( C ) 必 然 击 中； ( D ) 击 中 3 发2.设离散型随机变量 x 的分布律为 则 常 数 A 应 为 ( )。 ( A ) ； (