工程与科学计算历年试题.doc

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1、 20032008工程与科学计算历届试题类型2.迭代法例1. 设线性方程组为 ， 写出求解线性方程组的Jacobi迭代格式，并确定当取何值时Jacobi迭代格式收敛.例2. 写出求解线性方程组的Seidel迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中为 3.插值例 1. 已知（1）试用二次插值多项式计算的近似值（数据保留至小数点后第5位）（2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位）例 2. 由下列插值条件1246741011求4次Newton插值多项式, 并写出插值余项.4. RungeKutta格式例 写出标准方法解初值问题 的计算格式5. 代数精度例 1. 数值求积公式形如 试确定其

2、中参数使其代数精度尽量高, 并确定代数精度.例 2. 验证数值求积公式 是Gauss型求积公式.6Romberg方法例 对积分，用Romberg方法计算积分的近似值，误差不超过并将结果填入下表（结果保留至小数点后第五位）. 0 1 2 3 47证明 （1）设为上关于权函数的次正交多项式，以的零点为节点建立插值基函数，证明： 证明: 设n次正交多项式的零点为，则以这n个零点为节点建立的插值基函数是n-1次多项式，是2n-2次多项式. 故当取和时Gauss型求积公式 等号成立, 即 则有 （2）对线性方程组，若是阶非奇异阵，是的精确解，是的近似解。记证明： 证明：由于是的精确解，则 ，又是阶非奇异

3、阵，则 ，且，则 故 （3）初值问题有解，若，是用Euler格式解得的在处的近似值，证明： .证明：记 ，且， Euler格式为 则有 . （4）设为非奇异阵，试证：线性方程组的数值解可用Seidel迭代方法求得.证明：因为为非奇异矩阵，故与是同解方程组，而正定，则Seidel格式收敛，即用Seidel方法一定能求得的解.（5）试导出求解初值问题 的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题 所得数值解为证明 将 在 上积分, 得 将右端的积分用梯形公式计算其近似值, 并用分别代替, 得 将代入梯形公式得 , 则有 得 因为 , 得 .（6）设，证明证明：的二次Lagrange插值多项式及余项形式为 其二阶导数为注意到，有 即 （7）证明求积公式 是稳定的.（8）设初值问题 中的区域D上关于满足Lipschitz条件，证明：格式 是收敛的.5