第2章-光波导的理论基础.ppt

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1、第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.1 光波导种类光波导种类 2.2 光光波波导导的的射射线线光光学学理理论论 2.3 古古斯斯-汉汉欣欣线线移移和和有有效效厚厚度度原原理理 2.4 光光波波导导的的电电磁磁理理论论 2.5 折折射射率率突突变变波波导导的的基基本本解解 2.6 折折射射率率渐渐变变波波导导的的基基本本解解 2.7 条条形形波波导导的的基基本本解解 2.8 圆圆柱柱形形介介质质光光波波导导的的基基本本解解 第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.1 光波导种类光波导种类 按光波导的形状、折射率分布，可分成不同的种类按光波导的形状、折射率分布，可分成不同的种类

2、 2.1.1 按形状分按形状分 按形状可以将光波导分成平面（板）波导、柱形波按形状可以将光波导分成平面（板）波导、柱形波导和条形波导，而条形光波导又可以分为脊形、镶导和条形波导，而条形光波导又可以分为脊形、镶入形和埋入形，如图入形和埋入形，如图2.1所示。所示。第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.1.2 按折射率分布分按折射率分布分 按折射率分布可以将光波导分成折射率突变波导和折按折射率分布可以将光波导分成折射率突变波导和折射率渐变波导，如图射率渐变波导，如图2.2所示所示 第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础1、折射率突、折射率

3、突变变波波导导：折射率突折射率突变变波波导导指光波指光波导导各各个区的光学性个区的光学性质质是均匀的，只在各是均匀的，只在各层层交界面交界面处发处发生生光学性光学性质质突突变变。图图2.2 a)当中，在当中，在区域折射率区域折射率为为，在，在区域折射率区域折射率为为2、折射率、折射率渐变渐变波波导导：折射率折射率渐变渐变波波导导指波指波导层导层介介质质的光学性的光学性质质是逐是逐渐变渐变化的，其折射率分布一般化的，其折射率分布一般为为抛物抛物线线形和双曲形和双曲线线形。形。图图2.2a)当中，在当中，在区域折射率区域折射率为为，在，在区域折射率区域折射率为为光光 波波 导导 种种 类类第第2章

4、章 光波导的理论基础光波导的理论基础要点要点与与习题习题什么是平面波导？什么是平面波导？什么是条形波导？什么是条形波导？什么是柱形波导？什么是柱形波导？什么是突变波导？什么是突变波导？什么是渐变波导？什么是渐变波导？第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.1 光波导种类光波导种类 2.2 光光波波导导的的射射线线光光学学理理论论 2.3 古古斯斯-汉汉欣欣线线移移和和有有效效厚厚度度原原理理 2.4 光光波波导导的的电电磁磁理理论论 长春理工大学长春理工大学2.2 光波导的射线光学理论光波导的射线光学理论 利用射线光学理论对平面波导进行分析，

5、其利用射线光学理论对平面波导进行分析，其过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。但是对于结构复杂的多层波理意义，容易理解。但是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。结果。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.1 平面（板）波导简介平面（板）波导简介1、平面（板）波导结构：、平面（板）波导结构：平板光波导一般为三层结构，平板光波导一般为三层结构，即衬底层，导光薄膜层和覆盖层。如图即衬底层，导光薄膜层和覆盖层。如图2.3所示。所

6、示。2、制作平面（板）波、制作平面（板）波导导的基本原的基本原则则：3、制作平面（板）波导的目的：、制作平面（板）波导的目的：要在要在m量级介质薄膜量级介质薄膜上完成光的发射，传输，调制和探测等功能。上完成光的发射，传输，调制和探测等功能。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.2 射线光学模型射线光学模型射射线线光学模型光学模型就是光就是光线线在薄膜在薄膜-衬衬底和薄膜底和薄膜-覆盖覆盖层层分界面上分界面上发发生全内反射，沿生全内反射，沿z字形路径在薄膜中字形路径在薄膜中传传播，播，如如图

7、图2.4所示。所示。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.3 光入射到介质界面处的基本定律光入射到介质界面处的基本定律 长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础(2.2-2)(2.2-3)上面的三个式子上面的三个式子给给出了反射波和透射波的出了反射波和透射波的传传播方向以播方向以及它及它们们与入射波的振幅关系。与入射波的振幅关系。(2.2-1)1、斯涅、斯涅尔尔定律（定律（Snells law）。）。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础利用利用Snells law，可以将上面的四个表达式改写为，可

8、以将上面的四个表达式改写为(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)(2.2-7)2、菲涅、菲涅尔尔公式公式(Frensnels formula)。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础对于对于TE模，其电场垂直于波阵面法线和分界面法线构模，其电场垂直于波阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于成的入射面，相当于S波；对于波；对于TM模，其电场平行于波模，其电场平行于波阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于P波。波。(2.2-8)(2.2-9)(2.2-10)(2.2-11)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论

9、基础光波导的理论基础3、全反射（、全反射（Total reflection）。）。(2.2-12)和和(2.2-13)应应当改写当改写为为(2.2-12)(2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.4 全反射时的相移全反射时的相移 由式由式(2.2-14)和和(2.2-15)可知，当可知，当 取复数取复数时时，其模，其模值为值为1，因此，因此，可以表示可以表示为为：，则则在反射在反射时时，TE模模和和TM模的位相模的位相满满足足(2.2-16)(2.2-17)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波

10、导的理论基础图图2.6示出了示出了对对入射角入射角的依的依赖赖关系。关系。对对于固定于固定与与比比值值，随入射角随入射角增大而增大。增大而增大。(2.2-18)(2.2-19)若令若令 则则长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.5 平面波导的导模平面波导的导模 1、波导中的平面波。、波导中的平面波。平面波的表达式为：平面波的表达式为：波矢量的标量形式波矢量的标量形式 由由图图2.4可知，若入射角可知，若入射角为为 ，则则波矢量的波矢量的x分量和分量和z分量分量可写可写为为：(2.2-20)

11、(2.2-21)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础由此，薄膜中的波动场空间部分可写为：由此，薄膜中的波动场空间部分可写为：前面的正前面的正负负号号对应对应斜向上和斜向下。斜向上和斜向下。如图如图2.7所示。所示。(2.2-22)(2.2-23)(2.2-24)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础在在衬衬底底层层和覆盖和覆盖层处发层处发生全反射的生全反射的临临界角分界角分别满别满足足当当 时时，则则平面光波在平面光波在衬衬底和覆盖底和覆盖层层与波与波导层导层的交界面的交界面处处都得不到全反射，而只有部分反射，因此，会都得不到全反射

12、，而只有部分反射，因此，会有一部分光将有一部分光将辐辐射到射到衬衬底和覆盖底和覆盖层层里去，称它里去，称它们为辐们为辐射模射模式，如式，如图图2.7a）所示。此）所示。此时时又称又称为为空气模式空气模式。当当 时时，则则平面光波在覆盖平面光波在覆盖层层与波与波导层导层的交界面的交界面处发处发生全反射，但在生全反射，但在衬衬底和波底和波导层导层的交界面的交界面处处只只发发生部分生部分反射，因此，一部分光波将反射，因此，一部分光波将辐辐射到射到衬衬底里去，如底里去，如图图2.7b）所示。此所示。此时时，称，称为为衬衬底模式底模式。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础

13、当当 时时，则则平面光波在平面光波在衬衬底和覆盖底和覆盖层层与波与波导层导层的交界面的交界面处处都会全反射，此都会全反射，此时时光波被限制在波光波被限制在波导层导层当中当中传传播，如播，如图图2.7c）所示。此）所示。此时时，称，称为为导导波模式或波模式或导导引模式引模式，简简称称导导模模。2、模式本征方程。、模式本征方程。要形成要形成导导模，模，则则在波在波导导中中传传播的光波播的光波必必须满须满足相干条件，即一个周期后，相移的足相干条件，即一个周期后，相移的总总和必和必须须是是的整数倍。因的整数倍。因为为薄膜中相移薄膜中相移为为 ，覆盖，覆盖层层当中的相当中的相移移为为，衬衬底当中的相移底

14、当中的相移为为 。因此，形成。因此，形成导导模模的条件的条件为为：(2.2-25)即即(2.2-26)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础式式(2.2-25)和和(2.2-26)称称为为模式本征方程。模式本征方程。对于对于TE模，由式（模，由式（2.2-18）知在衬底层和覆盖层因反射）知在衬底层和覆盖层因反射而形成的相移满足而形成的相移满足(2.2-27)因为因为 若令若令，(2.2-28)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础则则(2.2-27)式可以改写为式可以改写为 因此，衬底层和覆盖层中相移为因此，衬底层和覆盖层中相移为 上

15、式代入上式代入(2.2-26)式当中，得到式当中，得到TE模的模式本征方程模的模式本征方程(2.2-29)(2.2-30)(2.2-31)同样可以得到同样可以得到TM模的模式本征方程。模的模式本征方程。(2.2-32)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础下面对下面对TE/TM模的模式本征方程进行讨论：模的模式本征方程进行讨论：2）在式）在式(2.2-31)和和(2.2-32)当中，在厚度当中，在厚度h确定的情况下，确定的情况下，平板波平板波导导所能所能维维持的持的导导模数量是有限的，模数量是有限的，对对于于给给定的定的m，就有确定的就有确定的，由式，由式(2.2

16、-23)可以得到可以得到，称称为为m阶导阶导模模的模角，即形成的模角，即形成m阶导阶导模的入射角，模的入射角，称称为为m阶导阶导模的模的传传播常数。播常数。1）在式）在式(2.2-31)和和(2.2-32)当中，由于当中，由于m只能取有限个正整只能取有限个正整数，而数，而，又是又是 的函数，由此可看出，只有的函数，由此可看出，只有满满足方足方程程(2.2-26)的人射角，才的人射角，才为为波波导导所接受。所以所接受。所以导导模模对对入射入射角有角有选择选择性，因此，性，因此，导导模数量也是有限的。模数量也是有限的。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础 ，考，考虑

17、虑全全反射反射时时有：有：3、有效折射率（模折射率）。、有效折射率（模折射率）。由于由于，可知，可知的的变变化范化范围为围为 即导模的传播常数介于平面波在衬底和薄膜的波数之间。即导模的传播常数介于平面波在衬底和薄膜的波数之间。定义有效折射率定义有效折射率根据式根据式(2.2-33)可以知道，有效折射率变化范围为可以知道，有效折射率变化范围为(2.2-33)(2.2-34)(2.2-35)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础利用式利用式(2.2-34)，可将式，可将式(2.2-31)和和(2.2-32)表示的表示的TE模模和和TM模的模式本征方程改写为模的模式本征

18、方程改写为 这些不同形式的平面波导模式本征方程可以用来研究波导这些不同形式的平面波导模式本征方程可以用来研究波导的各种不同性质。的各种不同性质。(2.2-36)(2.2-37)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.6 模式本征方程的图解模式本征方程的图解 对于平面波导的基模（对于平面波导的基模（m=0），由式），由式(2.2-26)得其本征方得其本征方程变为程变为 对对于于对对称波称波导导，即，即，式，式(2.2-38)又可以写又可以写为为 将满足式将满足式(2.2-38)和式和式(2.2-39)的方程作在同一张图上，的方程作在同一张图上，如图如图2.8所

19、示。所示。图图2.8表示对称和非对称波导基模的模式本征表示对称和非对称波导基模的模式本征方程图解。图中画出了关于入射角的两种相移曲线。方程图解。图中画出了关于入射角的两种相移曲线。(2.2-38)或或(2.2-39)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础即光在波即光在波导层导层中的横向穿越相移中的横向穿越相移 (图图中的点中的点线线画出画出)和光在和光在衬衬底底层层和覆盖和覆盖层层的全反射相移和的全反射相移和。下面就对称波导和非对称波导的两种情况分别加以分析。下面就对称波导和非对称波导的两种情况分

20、别加以分析。1）对对于于对对称光波称光波导导，点，点线线与与实线实线交点交点给给出了基模的入射出了基模的入射角角值，表明，对称平面波导的基模是不会截止的。值，表明，对称平面波导的基模是不会截止的。2）对对于非于非对对称光波称光波导导，点，点线线与点划与点划线线交点交点给给出基模的入出基模的入射角射角值，可以看到，非对称平板波导并不总能维持导模，值，可以看到，非对称平板波导并不总能维持导模，也就是说，即使是基模也会截止。也就是说，即使是基模也会截止。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础截止条件截止条件 即即时不会有导模存在。时不会有导模存在。如果将光波导的归一化角

21、频率表示为如果将光波导的归一化角频率表示为在导模截止时，有效折射率在导模截止时，有效折射率。(2.2-40)(2.2-41)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础光波导的归一化有效折射率表示为光波导的归一化有效折射率表示为由式由式(2.2-35)可知，可知，0nl。光波导的非对称参量表示。光波导的非对称参量表示为为 a描述波描述波导结导结构的非构的非对对称性。波称性。波导导完全完全对对称，即称，即时时，a=0；而波；而波导导极不极不对对称，即称，即时时，a。通过定义以上归一化参量，平板波导通过定义以上归一化参量，平板波导TE导模的模式本征导模的模式本征方程方程(2

22、.2-36)可改写成如下形式可改写成如下形式(2.2-42)(2.2-43)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础而而TM模的模式本征方程（模的模式本征方程（2.2-37）可改写为）可改写为 通过数值计算，通过数值计算，TE模的归一化有效折射率模的归一化有效折射率n随归一化频率随归一化频率的变化关系，被称为归一化色散曲线，如图的变化关系，被称为归一化色散曲线，如图2.9所示，曲所示，曲线以线以a为参数。由图可见，在对称波导为参数。由图可见，在对称波导(a=0)情况下，情况下，TE0模不会截止。而非对称波导，存在截止频率。模不会截止。而非对称波导，存在截止频率。(2

23、.2-44)(2.2-45)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础TE模和模和TM模的色散曲线如图模的色散曲线如图2.10所示。由图可以看出，所示。由图可以看出，对于同一个归一化频率，对于同一个归一化频率，TE模的归一化有效折射率略大模的归一化有效折射率略大于于TM模的归一化有效折射率。模的归一化有效折射率。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.2.7 应用实例应用实例图图2.11表示表示ZnS波导的模式方程曲线，图中每一条曲线波导的模式方程曲线，图中每一条曲线表示一个模式，实线和虚线分别表示表示一个模式，实线和虚线分别表示TE模

24、和模和TM模。模。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础1、从波导层厚度、从波导层厚度h的任一给定值上画一水平线，此水平的任一给定值上画一水平线，此水平线与模式曲线的交点给出模折射率线与模式曲线的交点给出模折射率N和入射角和入射角i的值。可的值。可以看到以看到m=0的模式具有最大的的模式具有最大的N和和i，而对较高模序的模，而对较高模序的模式来说，式来说，N和和i的数值较小。的数值较小。2、随着波导层厚度、随着波导层厚度h的增加，水平线将向上移动，这时的增加，水平线将向上移动，这时将相交更多的模式曲线，表示波导将容纳更多的导模将相交更多的模式曲线，表示波导将容纳更

25、多的导模 3、所有的模式曲线在左边始于、所有的模式曲线在左边始于N=n2，在右边终于，在右边终于N=n1而且它们是单调递增的函数。因此，模式曲线在而且它们是单调递增的函数。因此，模式曲线在N=n2处处所对应的薄膜厚度是为了让该导模在波导中传播所要求所对应的薄膜厚度是为了让该导模在波导中传播所要求的最小厚度，称为的最小厚度，称为“截止厚度截止厚度”。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础4、在、在N=n2处处，i=SC，这这就是薄膜就是薄膜衬衬底分界面上的底分界面上的全反射全反射临临界角。当界角。当i小于此小于此临临界角界角时时，所有的，所有的导导模都截模都截止。止

26、。5、从图、从图2.11中同样可以看出，同一模序数的中同样可以看出，同一模序数的TM模的模的模折射率小于模折射率小于TE模的模折射率。模的模折射率。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础要点要点与与习题习题1、平面波导结构、平面波导结构2、制作平面波导的基本原则、制作平面波导的基本原则3、制作平面波导的目的、制作平面波导的目的4、射线光学模型、射线光学模型5、全反射时的相移、全反射时的相移 6、空气模式、空气模式7、衬底模式、衬底模式8、导波模式或导引模式、导波模式或导引模式9、模式本征方程、模式本征方程10、有效折射率、有效折射率长春理工大学长春理工大学第第2章

27、章 光波导的理论基础光波导的理论基础第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.1 光波导种类光波导种类 2.2 光光波波导导的的射射线线光光学学理理论论 2.3 古古斯斯-汉汉欣欣线线移移和和有有效效厚厚度度原原理理 2.4 光光波波导导的的电电磁磁理理论论 长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.3古古斯斯-汉汉欣欣线线移移和和有有效效厚厚度度原原理理 u光在光波光在光波导导中中传输时传输时，传传播路径如播路径如图图2.12所示。从所示。从图图中可以看出入射点和反射点不再在同一点，而是中可以看出入射点和反射点不再在同一点，而是发发生生了一个位移，了一个位

28、移，该该位移称位移称为为古斯古斯汉汉欣欣线线移。移。u光也不是在两种介光也不是在两种介质质的交界面的交界面处处反射，而是存在一反射，而是存在一个穿透深度。个穿透深度。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.3.1古斯古斯-汉欣线移汉欣线移古斯古斯-汉欣线移是理想反射点和实际反射点之间的距离。汉欣线移是理想反射点和实际反射点之间的距离。若全反射时相移为若全反射时相移为 ，则光束位移，则光束位移 对于对于TE波，根据式波，根据式(2.2-27)可得可得 对式对式(2.3-2)微分可得微分可得(2.3-1)(2.3-2)(2.3-3)长春理工大学长春理工大学第第2章章

29、 光波导的理论基础光波导的理论基础因此，得到因此，得到 同理同理 又因为，又因为，所以光从波导层到覆盖层产生的横所以光从波导层到覆盖层产生的横向位移为向位移为=(2.3-4)=(2.3-5)(2.3-6)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础光从波导层到衬底层产生的横向位移为光从波导层到衬底层产生的横向位移为两条基本的结论两条基本的结论1、由于、由于 的存在，表明入射点和反射点不再在同的存在，表明入射点和反射点不再在同一点，一点，和和 称为称为Goos-Hanchen线移。线移。2、由于由于 的存在，表明波导层以外存在电磁场。的存在，表明波导层以外存在电磁场。即入

30、射波在波导层表面不仅有反射而且有透射。即入射波在波导层表面不仅有反射而且有透射。(2.3-7)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.3.2有效厚度有效厚度 对于平面波对于平面波 ，其从波导层到覆盖，其从波导层到覆盖层的透射波分量可写成层的透射波分量可写成式中，式中，是折射角。因是折射角。因为为 这样，式这样，式(2.3-8)可以改写为可以改写为(2.3-8)(2.3-9)(2.3-10)得到得到长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础同理，从波导层到衬底层的透射波分量同理，从波导层到衬底层的透射波分量得到两条结论得到两条结论1、透射

31、波为衰减波，在覆盖层和衬底层的穿透深度分、透射波为衰减波，在覆盖层和衬底层的穿透深度分别为和别为和 。2、由于存在穿透深度，使波导层具有比由于存在穿透深度，使波导层具有比h大的有效厚大的有效厚度：度：。(2.3-11)(2.3-12)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础要点与习题要点与习题 1、什么是古斯汉欣线移、什么是古斯汉欣线移2、什么是有效厚度、什么是有效厚度3、推导古斯汉欣线移、推导古斯汉欣线移4、推导有效厚度、推导有效厚度长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.1 光波导种类光

32、波导种类 2.2 光光波波导导的的射射线线光光学学理理论论 2.3 古古斯斯-汉汉欣欣线线移移和和有有效效厚厚度度原原理理 2.4 光光波波导导的的电电磁磁理理论论 长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.4 光光波波导导的的电电磁磁理理论论 l电磁理论即波动光学理论从电磁场的基本方程出发，电磁理论即波动光学理论从电磁场的基本方程出发，通过一系列的理论推导和计算，得到光在光波导中通过一系列的理论推导和计算，得到光在光波导中传播的波动方程，从而为光波导中光传输模式的讨传播的波动方程，从而为光波导中光传输模式的讨论提供理论基础。论提供理论基础。l本节在介绍电磁过程的

33、基本方程之后，推导平面波本节在介绍电磁过程的基本方程之后，推导平面波导中的波动方程，并对平面波导中可能存在的模式导中的波动方程，并对平面波导中可能存在的模式进行分析和讨论。进行分析和讨论。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.4.1 电磁过程的基本方程电磁过程的基本方程 1、麦克斯韦方程组（、麦克斯韦方程组（Maxwells equations）。对于。对于有源场微分形式的麦克斯韦方程为：有源场微分形式的麦克斯韦方程为：(2.4-1)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础对于有源场，其边界条件为：对于有源场，其边界条件为：(2.4

34、-2)对于无源场微分形式的麦克斯韦方程为：对于无源场微分形式的麦克斯韦方程为：(2.4-3)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础对于无源场，其边界条件为：对于无源场，其边界条件为：上式表明，在两种介质的分界面上电磁场整个地是不连上式表明，在两种介质的分界面上电磁场整个地是不连续的，但在界面没有自由电荷和面电流的情况下，续的，但在界面没有自由电荷和面电流的情况下，和和 的法向分量及的法向分量及 和和 的切向分量则是连续的。电磁场的切向分量则是连续的。电磁场的物质方程为：的物质方程为：(2.4-4)(2.4-5)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光

35、波导的理论基础2、波动方程（、波动方程（Wave equation）对式对式(2.4-3)第三式两边取旋度，并利用第三式两边取旋度，并利用(2.4-5)式，式，并把并把(2.4-3)式第四式代入其中，可得：式第四式代入其中，可得：(2.4-6)利用旋度公式将上式左边展开得到：利用旋度公式将上式左边展开得到：利用式利用式(2.4-3)第一式，则有第一式，则有(2.4-7)(2.4-8)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础同理可以得到同理可以得到 把把 和和 代入上两式得代入上两式得(2.4-9)(2.4-10)(2.4-11)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光

36、波导的理论基础光波导的理论基础上两式可以写为上两式可以写为(2.4-12)式和式和(2.4-13)式称为电磁场的波动方程，它式称为电磁场的波动方程，它们反映了电磁场随时间和空间的变化规律。们反映了电磁场随时间和空间的变化规律。(2.4-12)(2.4-13)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础3、亥姆霍兹方程（、亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）设场随时间变化，角频率为设场随时间变化，角频率为 ，则电磁场矢量写为，则电磁场矢量写为代入波动方程代入波动方程(2.4-12)和和(2.4-13)，(2.4-16)和和(2.4-17)称为电磁场的亥姆霍

37、兹方程，它称为电磁场的亥姆霍兹方程，它们反映了电磁场随空间变化的基本规律。们反映了电磁场随空间变化的基本规律。(2.4-14)(2.4-15)(2.4-16)(2.4-17)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.4.2 平面波导中的亥姆霍兹方程平面波导中的亥姆霍兹方程1、平面波导中折射率分布。、平面波导中折射率分布。为了使讨论方便，假设光为了使讨论方便，假设光波导中的折射率沿波导中的折射率沿x方向变化。即方向变化。即2、平面波导解的基本模式。、平面波导解的基本模式。按前面假设，麦氏方程解与按前面假设，麦氏方程解与y无关，且可分离变量，则电磁场的标量形式可以写为

38、无关，且可分离变量，则电磁场的标量形式可以写为(2.4-18)(2.4-19)(2.4-20)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础代入代入Helmholtz方程得：方程得：上式两边除以上式两边除以 得得令式令式(2.4-22)等于等于 ，则有，则有(2.4-21)(2.4-22)(2.4-23)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础即，即，积分可以求得，积分可以求得第一项无穷远处无穷大，属非正常波，因此只保留第二项，第一项无穷远处无穷大，属非正常波，因此只保留第二项，代回场方程式代回场方程式(2.4-19)和和(2.4-20)，得，

39、得（1）是电磁场沿是电磁场沿z方向的传播常数，因此方向的传播常数，因此 。(2.4-24)(2.4-25)(2.4-26)两个基本结论：两个基本结论：（2）相速度）相速度长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础3、平面波导中亥姆霍兹方程、平面波导中亥姆霍兹方程。根据式。根据式(2.4-3)，无源场微，无源场微分形式的麦氏方程为分形式的麦氏方程为 电磁场满足的物质方程为电磁场满足的物质方程为将式将式(2.4-19)和和(2.4-20)表示的电磁场方程可以改写为表示的电磁场方程可以改写为(2.4-27)(2.4-28)(2.4-29)(2.4-30)长春理工大学长春理工

40、大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础将将(2.4-32)代入代入(2.4-29)，再代入，再代入(2.4-27)；(2.4-31)代入代入(2.4-30)，再代入，再代入(2.4-28)，得，得把把(2.4-25)和和(2.4-26)式代入以上两式，注意：式代入以上两式，注意：；可以得到可以得到(2.4-31)(2.4-32)(2.4-33)(2.4-34)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础整理后，可得到两组独立的方程整理后，可得到两组独立的方程(2.4-35)(2.4-36)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础式式

41、(2.4-37)中含中含 ，称为，称为TE波。波。(2.4-37)(2.4-38)式式(2.4-38)中含中含 ，称为，称为TM波。波。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础将将TE波和波和TM波方程组的前两式代入第三式当中，就可以波方程组的前两式代入第三式当中，就可以求得求得TE模中的模中的 和和TM模中的模中的 所满足的方程。下面以所满足的方程。下面以TE波为例来求解波为例来求解 所满足的方程。所满足的方程。由由(2.4-37)第一式可以得到第一式可以得到由由(2.4-37)第二式可以得到第二式可以得到(2.4-39)(2.4-40)长春理工大学长春理工大学第

42、第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础将以上两式得到的将以上两式得到的 代入代入(2.4-37)第三式得第三式得(2.4-41)式两边同乘式两边同乘 ，得，得利用利用 得到得到(2.4-41)(2.4-42)(2.4-43)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础则式则式(2.4-42)可以改写为可以改写为因此，得到光波导各层因此，得到光波导各层TE波标量亥姆霍兹方程为：波标量亥姆霍兹方程为：同样，可以得到光波导各层同样，可以得到光波导各层TM波标量亥姆霍兹方程为：波标量亥姆霍兹方程为：(2.4-44)(2.4-45)(2.4-46)注意：注意：(2.4-45)

43、和和(2.4-46)适用于无源、无损耗、各适用于无源、无损耗、各向同性和非磁性的介质平面波导。向同性和非磁性的介质平面波导。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础4、平面波导中模式的定性讨论。、平面波导中模式的定性讨论。波导的亥姆霍兹方波导的亥姆霍兹方程是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为：程是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为：即：即：，当，当 时，特征方程有两个时，特征方程有两个不相等的实根。不相等的实根。(2.4-47)则平面波导的亥姆霍兹方程的通解取为指数形式：则平面波导的亥姆霍兹方程的通解取为指数形式：(2.4-48)(2.4-49)(2.4-5

44、0)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础当当 时，特征方程有复根。时，特征方程有复根。此时，平面波导的亥姆霍兹方程的通解取为简谐形式：此时，平面波导的亥姆霍兹方程的通解取为简谐形式：(2.4-51)(2.4-52)(2.4-53)因此，根据因此，根据 与与 的关系，可以得到不同形式的解。的关系，可以得到不同形式的解。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础以以TE波为例，讨论式波为例，讨论式(2.4-45)，由于在波导的不同区域，由于在波导的不同区域有着不同的折射率，根据传播常数的不同取值范围，使得有着不同的折射率，根据传播常数的不同

45、取值范围，使得方程方程(2.4-45)具有不同形式的解：具有不同形式的解：1）当）当 时，由于时，由于 ，因此，因此 在覆盖层、在覆盖层、波导层和衬底层中的解均为式波导层和衬底层中的解均为式(2.4-50)所表示的形式，所表示的形式，即为指数形式。即为指数形式。(2.4-54)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2）当）当 时，在覆盖层和衬底层中，时，在覆盖层和衬底层中，的解的解为式为式(2.4-50)，即指数形式。而在波导层中，即指数形式。而在波导层中，的解为的解为式式(2.4-53)，即简谐形式。，即简谐形式。(2.4-55)3）当）当 时，在覆盖层中，时，

46、在覆盖层中，的解为式的解为式(2.4-50)，即指数形式；而在波导层和衬底层中解为，即指数形式；而在波导层和衬底层中解为式式(2.4-53)，即简谐形式。，即简谐形式。(2.4-56)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础4）当）当 时，在覆盖层、波导层和衬底层中，时，在覆盖层、波导层和衬底层中，的解均为式的解均为式(2.4-53)，即简谐形式。，即简谐形式。此时，方程的解对应于图此时，方程的解对应于图2.13的空气模式。光能量将的空气模式。光能量将流入上、下限制层，即覆盖层和衬底层内，形成辐射流入上、下限制层，即覆盖层和衬底层内，形成辐射模式，此时又称空气模式。

47、模式，此时又称空气模式。(2.4-57)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础导波模式导波模式空气模式空气模式衬底模式衬底模式辐射模式辐射模式hn1n2n3x=0 x=-h图图2.13 光波导中可能存在的模式光波导中可能存在的模式长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础要点要点与与习题习题1、什么是光波导的电磁理论？、什么是光波导的电磁理论？2、电磁过程的基本方程有哪些？、电磁过程的基本方程有哪些？3、什么是波动方程、什么是波动方程4、什么是亥姆霍兹方程、什么是亥姆霍兹方程5、突变平面波导中折射率分布、突变平面波导中折射率分布6、对平面

48、波导中模式进行定性讨论、对平面波导中模式进行定性讨论长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.5 折折射射率率突突变变光光波波导导的的基基本本解解 2.6 折折射射率率渐渐变变光光波波导导的的基基本本解解 2.7 条条形形光光波波导导的的基基本本解解 2.8 圆圆柱柱形形介介质质光光波波导导的的基基本本解解 第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.5 折折射射率率突突变变光光波波导导的的基基本本解解 p折射率突变光波导在平面波导、条形波导和柱形折射率突变光波导在平面波导、条形波导和柱形波导

49、当中都占有相当多的比重。波导当中都占有相当多的比重。p本节将讨论折射率突变光波导中本节将讨论折射率突变光波导中TE导模的场分布导模的场分布和它的模式本征方程。和它的模式本征方程。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础2.5.1 TE导模的场分布导模的场分布以三层平面波导的以三层平面波导的TE模为例。平面波导三层电场分布模为例。平面波导三层电场分布可写为：可写为：(2.5-1)长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础于是，于是，B，C，D都可用都可用A表示。因此，电场分布可写表示。因此，电场分布可写成如下形式：成如下形式：时时即即(2.5

50、-2)时时 即即(2.5-3)时时 即即(2.5-4)利用场及其导数在薄膜衬底和薄膜覆盖层界面利用场及其导数在薄膜衬底和薄膜覆盖层界面处连续边界条件，可得：处连续边界条件，可得：长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基础A可以通过对场的功率的归一化消去。可以通过对场的功率的归一化消去。各层的磁场分量各层的磁场分量 ，可根据式（，可根据式（2.4-37）求得求得(2.5-5)(2.5-6)和和(2.5-7)这样就解决了这样就解决了TE导模的场分布，即突变光波导的基本解。导模的场分布，即突变光波导的基本解。长春理工大学长春理工大学第第2章章 光波导的理论基础光波导的理论基