工程力学（静力学与材料力学）－6－圆轴扭转.pptx

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1、课堂教学软件课堂教学软件(6)2014年年4月月2 日日返回总目录返回总目录工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）NaNanjingnjing UniversitUniversity y ofof TechnologTechnology y韧性材料 脆性材料 l胡克定律胡克定律A.强度校核强度校核 =x x.确定许可载荷确定许可载荷i由 外 力 由 及 内内 及 力 应 变拉伸压缩时的材料力学性能 轴向拉伸与压缩回顾轴向拉伸与压缩回顾EA ()i弹性阶段变Emax第第 章章 圆轴扭转圆轴扭转返回总目录返回总目录工程力学（静力学与材料力学）第二篇第二篇材料力学材料力学Me杆的两端承

2、受大小相等、方向相反、作用平面垂杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂 直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴轴 线线 相相 对对 转转 动动，这这 种种 受受 力力 与与 变变 形形 形形 式式 称称 为为 扭扭 转转第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转（torsion）。）。Me 圆轴扭转时横截面上的切应圆轴扭转时横截面上的切应力分析力分析 与强度设计与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论结论与讨论 第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 切应力互等定理切应力互等定理

3、 剪切胡克定律剪切胡克定律 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴当两只手用力相等时当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭 转。转。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴将产生扭转将产生扭转传动轴传动轴传动轴传动轴第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴连接汽轮机和发连接汽轮机和发 电机的传动轴将产生电机的传动轴将产生 扭转。扭转。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受

4、扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图第第章章 圆轴扭转圆轴扭转加扭力矩加扭力矩Me可用下式计算可用下式计算：Me =9549 N.m其中其中P为功率为功率 单位为单位为千瓦（千瓦（kW）为轴的转速为轴的转速 单位为转单位为转/分（分（r/min）。）。如果功率如果功率P的单位用马力（的单位用马力（1马力马力=735.5 Nm/s），），则则P马力 /i Me M第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动率有关。在传动 轴计算中，通常给

5、出传动功率轴计算中，通常给出传动功率P和转递和转递n，则传动轴所受的外，则传动轴所受的外nr/minM =7024e,(eN.m ;n(MxMx+,eMe内力内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上作用时，横截面上将产生分布切应力，这些切应力将组成将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩对横截面中心的合力矩,称为扭矩（称为扭矩（t i t t）用用M 表示表示第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩外加扭力矩M 确定后确定后 应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的Metwist

6、moment,。xMentwist momentM外加扭力矩外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上确定后，应用截面法可以确定横截面上的的内力内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上作用时，横截面上将产生分布切应力，这些切应力将组成将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩对横截面中心的合力矩,第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图MxMe称为扭矩称为扭矩(twist moment),用用表示表示_MeMeMxMnx。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图如果

7、只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方 向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外 力偶矩。力偶矩。当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴，轴 各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各 段横截面上的扭矩。段横截面上的扭矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为为扭矩图扭矩图(diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的

8、方法与绘制轴力图的方法相。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相 似。似。例题 1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩各力偶的力偶矩 的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸，尺寸 单位为单位为mm。试试：画出圆轴的扭矩图。画出圆轴的扭矩图。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图解：解：1 确定控制面确定控制面外加力偶处截面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。均为控制面。2 应用截面法，由平衡应用截面法，由平衡 方程方程Mx =0确定各段圆轴内的扭矩确

9、定各段圆轴内的扭矩。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图3 建立建立Mx x 坐标坐标系，系，画出扭矩图画出扭矩图建立建立Mx x 坐标系，其坐标系，其 中中x 轴平行于圆轴的轴线轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将轴垂直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩值，标所求得的各段的扭矩值，标 在在Mx x 坐标系中，得到相坐标系中，得到相 应的点，过这些点作应的点，过这些点作x 轴轴的的 平行线，即得到所需要的扭平行线，即得到所需要的扭 矩图。矩图。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图315 315 11

10、16 486 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律第第章章 圆轴扭转圆轴扭转一一,对力，二者组成一力偶。对力，二者组成一力偶。,。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克剪切胡克定律定律为了平衡这一力偶，微元的为了平衡这一力偶，微元的 上、下面上必然存在切应力上、下面上必然存在切应力 ,二者与其作用面积相乘后形成一二者与其作用面积相乘后形成一体，假设作用在微元体，假设作用在微元左、右面上左、右面上 的切应力为的切应力为 ,这这两个面上的切应两个面上的切应 力与其作用面积的乘积力与其作用面积的乘积 形成形成对力，组成另一力偶。对力，组成另一力偶。为保持

11、微为保持微 元的平衡，这两个力偶的力偶矩元的平衡，这两个力偶的力偶矩 必须大小相等必须大小相等 方向相反方向相反考察承受切应力作用的微元考察承受切应力作用的微元 xzydyx第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克剪切胡克定律定律 dz微元能不能平衡？微元能不能平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？d=(,dx dz)dydy dzdxz第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克剪切胡克定律定律,怎样才能平衡？怎样才能平衡？(dy dz)dx根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论 =yx,y,且数值相等，两者都垂直于且数值

12、相等，两者都垂直于 两个平面的交线，方向则共两个平面的交线，方向则共dyxz第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克剪切胡克定律定律同指向或共同背离这一交线同指向或共同背离这一交线,这就是这就是 切应力成对定理切应力成对定理(pairing principle of shear在两个互相垂直的平面在两个互相垂直的平面 上上 切应力必然成对存在切应力必然成对存在 dzp g p p stresses）。）。切应力成对定理切应力成对定理 =dx前前 章的胡克定律章的胡克定律前一章的胡克定律：前一章的胡克定律：=Y第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 切应力互等定理切应力互等定理

13、剪切胡克剪切胡克定律定律这种线性关系称为剪切胡克定律。这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数比例常数G称为材料的切变模量称为材料的切变模量当在弹性范围内加载时，当在弹性范围内加载时，切切 应力与剪应变成正比应力与剪应变成正比:剪切胡克定律剪切胡克定律=GOEY。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的 切应力分析与强度设计切应力分析与强度设计应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力 分量分量扭矩，但是不能确定横截面上各点切应力的扭矩，但是不能确定横截面上各点切应力的大大 小。为了确定横截面上各点的切应力，在确定了小。为

14、了确定横截面上各点的切应力，在确定了扭矩后扭矩后,还必须知道横截面上的切应力是怎样分布的。还必须知道横截面上的切应力是怎样分布的。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计计计 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设的方法与过程第第章章 圆轴扭转圆轴扭转应力分布应力分布应力公式应力公式应变分布应变分布变变 形形确定横截面上切应力平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计

15、平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克剪切胡克定律定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的切应力表圆轴扭转时横截面上的切应力表达式达式第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计 平面假定平面假定假定：圆轴受扭发生变形后，其横假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依截面依 然保持平面，两相邻然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一横截面刚性地相互转过一 角度。这一假定称为平面角度。这一假定称为平面假定。假定。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切

16、应力分析与强度设 计计计计 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第章章 圆轴扭转圆轴扭转第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计 变形协调方程变形协调方程计计,上述结论，在上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同 的角度的角度d ，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，同，若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱 根据根据 圆轴扭转时横截面上的切应力

17、分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转半径越小者剪应变越小。半径越小者剪应变越小。Y p=p dx计计设到轴线任意远设到轴线任意远p p处的剪应变为处的剪应变为Y Y（p p），），则从图中可得则从图中可得 到如下几何关系：到如下几何关系：d 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第章章 圆轴扭转圆轴扭转()Q第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力

18、分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计剪切胡克定律剪切胡克定律=GYOY=GY Y(P)=P =GY=GPdQ第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计Y P dx第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设G G dQ=Y=p dx计计第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计 静力学方程静力学方程计计A(dA)pMx第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴

19、扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设式中式中 GI 扭转刚度扭转刚度P ；IP横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。计计 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设=GY=GP dxPdQ M xdx GI第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转I =2 dA()dA P=MP P AdQA=x第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计 圆轴扭转时横截面上圆轴扭转时横截面上的的 切应力表达式切应力表达式第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度

20、设 计计(p)=M x p IPG G dQ=Y=p dxdQ M xdx GIP =第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设(p)=计计第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设M x pmax Mx =P PWp 扭转截面模量扭转截面模量。WP =max I W最大切应力最大切应力计计第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计截面的极惯性矩与扭转截面模量 对于直径为对于直径为 d 的实心圆截面的实

21、心圆截面32 16P ,PI =D 4(1a4)W =D 3(1a4)IP =,WP =对于内、外直径分别为对于内、外直径分别为d 和和 D 的圆环截面的圆环截面a=d/D,靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大切应力靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大切应力 max 限制在一限制在一 定的数值以下，即：定的数值以下，即：n/计计x,maxmaxp =W这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则 或称圆轴扭转的或称圆轴扭转的强度条件。强度条件。受扭圆轴的强度设计准则与抗压杆的强度设计相似与抗压杆的强度设计相似 为了保证圆轴扭转时安全可为了保证圆轴扭转时安全可 圆轴扭转时

22、横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设这这 关系式称为受扭圆轴的强度设计关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，准则，第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转M maxmax 是指圆轴所有横截面上最大切应力中的最大者，对是指圆轴所有横截面上最大切应力中的最大者，对于等于等 截面圆轴，最大切应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；截面圆轴，最大切应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大切应力不一对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大切应力不一定发生在扭矩定发生在扭矩 最大的截面，这时需要根据最大的截面，这时需要根据扭矩扭矩Mx和相应扭转截面模量和相应扭转截面模量W

23、P 的数值的数值 综合考虑才能确定。综合考虑才能确定。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设 计计受扭圆轴的强度设计准则max =M ax pmWx,为许用切应力；为许用切应力；计计例 题 2已知：已知：P 7.5kW,n=100r/min,最最 大切应力不得超过大切应力不得超过40MPa,空心圆空心圆 轴的内外直径之比轴的内外直径之比 =0.5。二轴。二轴 长度相同。长度相同。求求:实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D2；确定二轴的重量之比；确定二轴的重量之比。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转

24、时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设计计M 16Mmax1 P1 1解：解：首先根据轴所传递的功率首先根据轴所传递的功率 计算作用在轴上的扭计算作用在轴上的扭矩矩 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第章章 圆轴扭转圆轴扭转16 716.26=T=9549 40 10=0.045m=45mm实心轴实心轴=9549 W d3=716.2N.m7.5100Pnd =Mx 31=0 046m=46mmD =16 X 716.2()d 0.5D=23 mm2计计解：解：对于空心轴，则有对于空心轴，则有16MD3 (1 一 C4

25、)x 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第章章 圆轴扭转圆轴扭转0.046m 46mm4 40 106C X X2 23 mmP 2MxW3 1-算得算得=40MPamax2 =22计计空心轴空心轴 D2 46 mm d2 23 mm解：解：确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之截面面积之 比：比：=D (1d-a2 )=(|（-根 1-.52 1.282-2101330011根根65442221AA 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时

26、横截面上的切应力分析与强度设强度设第第章章 圆轴扭转圆轴扭转实心轴实心轴 d=45 mm1=45 mmP1 14kW,n1=n2=120 r/min,z1=36,120 r/min,z3=12;d1=70mm,d 2=50mm,d3=35mm.求求:各轴横截面上的最大切应力。各轴横截面上的最大切应力。计计例 题 33 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转已知：已知：P=14kW P=P=P/2=7 kW n=n=120r/min1 ,2 3 1 2计计zn3n1 根 z1|(120 根 36 )|r/min360r/min 圆

27、轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转解解 计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速（12)1/2 7 kW3:3计计Mx2=T2=557 N.mM =T=185 7 N m解：解：计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩Mx1=T1=1114 N.mx3 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转3=185.7 N.m3计计解：解：计算各轴的横截面上计算各轴的横截面上的最大切应力的最大切应力(E)Mx1 (|16 根1114 )|Pa 16 54MPa=根10-9)()max H

28、 =0-9 Pa=22.69MPa117根根55003根556根根1P2 (C)=Mx3 =(|16 根185.7 )|Pa=21.98MPa 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转max WP3 (根 353 根10-9)WP1 (16.54MPa根 703max=3由两种不同材料组成的圆轴，里层由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变和外层材料的切变 模量分别为模量分别为G1和和G2，且，且G1 2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动

29、。关于横截面 上的切应力分布，有图中（上的切应力分布，有图中（A）、（）、（B）、（）、（C）、（）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设计计例例 题题 4计计,、，二者形成一个整体，同时产生扭转变形二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直持平面，即其直 径保持为直线径保持为直线 但要相当于原来的位置转但要相当于原来的位置转过过 角度

30、角度 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设圆轴受扭时圆轴受扭时 里里 外外层之间无相对滑动层之间无相对滑动 这表明这表明,但要相当于原来的位置转过一角度。但要相当于原来的位置转过一角度。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转解：解：题例4计计,、。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环于外层（圆环 截面）的剪切弹性模量（截面）的剪切弹性模量（G1 2G2），），所以内层在二者交所以内层在二者交 界处的切应力界处的切应力 定大于外层在二者交界处的切应力定大于外层在二者交界处的切应力 据此据此,答案（答案（A）和（）和

31、（B）都是不正确的。）都是不正确的。界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设因此因此 在里在里 外层交界处二者具有相同的剪应变外层交界处二者具有相同的剪应变第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转解：解：题例4解：解：在答案（在答案（D D）中，外中，外层在二者交界处的切应力等层在二者交界处的切应力等 于零，这也是不正确的，因为外层于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变在二者交界处的剪应变 不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。不为零，根据剪切胡克定律，切应力

32、也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（根据以上分析，正确答案是（C C）。）。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的切应力分析与圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设强度设计计例 题 4 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第章章 圆轴扭转圆轴扭转第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受扭圆轴的相对扭转角圆杆受扭矩作用时，圆杆受扭矩作用时，dxdx微段的两微段的两截面绕轴线相对转动的角截面绕轴线相对转动的角 度称为相对扭转角度称为相对扭转角沿轴线方向积分，得沿轴线方向积分，得到到=d =dxl l pd =Mx dx

33、GIP第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受扭圆轴的相对扭转角对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭端面的相对扭 转角为：转角为：对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴，轴两端面的相对扭转角为轴两端面的相对扭转角为：=i ilPiIxGM=MxlGIP=dx=GIp第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转轴扭转 变形的程度

34、，因而更多采用单位长度扭转角变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭单位长度相对扭单位长度的相对扭转角d Mx转角为：转角为：第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受扭圆轴的刚度设计准则为了机械运动的稳定和工作精度，为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。扭转刚度设计是将单位长度扭转刚度设计是将单位长度上的相对

35、扭转角限制在允许的范围上的相对扭转角限制在允许的范围 内，即必须使构件满足内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：刚度设计准则或称刚度条件：对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：又可以写成：=第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受扭圆轴的刚度设计准则其中，其中，为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的 工作要求而定。例如，精密机械的轴工作要求而定。例如，精密机械的轴 (0.250.5)(。)m；一般传动轴一般传动轴 (0.51.0

36、)(。)m；刚度要求不高的轴；刚度要求不高的轴 =2（。）m。=m m，（180/)180/)。需要注意的是需要注意的是 刚度设计中要注意单位的刚度设计中要注意单位的一致性一致性 上式不等上式不等号左边的单位为号左边的单位为radrad/m/m；而右边通常所用的单位为；而右边通常所用的单位为(。)m m。因此，。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用在实际设计中，若不等式两边均采用radradm m，则必须在不等式右，则必须在不等式右 边乘以边乘以（180180）若两边均采若两边均采用用(。)则必须在左边乘以则必须在左边乘以第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形

37、及刚度条件：刚度设计中要注意单位的刚度设计中要注意单位的 致性。致性。受扭圆轴的刚度设计准则=;第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件例例 题题 5钢制空心圆轴的外直径钢制空心圆轴的外直径D 100 mm，内直径，内直径d 50 mm。若要求轴在若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过1.5。，材料的剪，材料的剪 切弹性模量切弹性模量G 80.4 GPa。1.求该轴所能承求该轴所能承受的最大扭矩；受的最大扭矩；2.2.确定此时轴横截面上的最大切应力确定此时轴横截面上的最大切应力。解：解：1 1 确定轴所能承受的最大扭矩确

38、定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，根据刚度设计准则，有有=第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件例 题 5 解：解：1 1 确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，根据刚度设计准则，有有 根 rad/m由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为Ip=1-4)，=轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩 根GIp 根 rad/m 根G 根 1-4)1.5 根 根80.4 根10 根(100mm 根10 )1-2 根 180 根 3244

39、92=-3第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 =根 rad/mIp=1-4)，=9.68810=9.688103 3 N.mN.m9.6889.688 kNkN.m.m轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为例例 题题 5Mx 结论与讨论结论与讨论第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴强度与刚度设计的一般过程圆轴强度与刚度设计的一般过程 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力矩形截面杆扭转时横截面上的切应力 关于公式的应用条件关于公式的应用条件 开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论圆

40、轴强度与刚度设计的一般过程.根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在用在 轴上的外加力偶的力偶矩。轴上的外加力偶的力偶矩。.应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作 用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩矩时，需要画出扭矩 图。图。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论圆轴强度与刚度设计的一般过程.根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的 扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。扭

41、矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。.计算危险截面上的最大切应力或单位长度上的相对扭计算危险截面上的最大切应力或单位长度上的相对扭 转角。转角。.根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴 进行强度与刚度校核进行强度与刚度校核，设计轴的直径以及确定许用载荷。，设计轴的直径以及确定许用载荷。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论圆轴强度与刚度设计的一般过程需要指出的是需要指出的是，工程，工程结构与机械中有些传动轴都是通过结构与机械中有些传动轴都是通过 与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作与之连接的零件或部件承受外

42、力作用的。这时需要首先将作 用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。在这用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。在这 种情形下，种情形下，圆轴将同时承受圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主扭转与弯曲，而且弯曲可能是主 要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。此外，还有一些圆轴所受的外力此外，还有一些圆轴所受的外力(大小或方向大小或方向)随着时间随着时间 的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论关于公式的应用条件扭转切应力公式是圆轴在弹性范围内导扭

43、转切应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，出的，其适用条件是：其适用条件是：1.1.必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调 公式公式第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论Y(P)=P 将不再成立。将不再成立。,=GY Y(p)=p 二者结合才会得到切应力沿半径方向线性分布的结论，才会二者结合才会得到切应力沿半径方向线性分布的结论，才会 得到反映作用力分布的切应力公式，即得到反映作用力分布的切应力公式，即2.2.材料必须满足胡材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有这样只有这样 切应力和剪应

44、变的正比关系才成立：切应力和剪应变的正比关系才成立：第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论关于公式的应用条件M x pIP(p)=矩形截面杆扭转时横截面上的切应力1.1.变形特征变形特征翘曲翘曲扭转后，横截面将不再保持平面。扭转后，横截面将不再保持平面。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论矩形截面杆扭转时横截面上的切应力2.由平衡直接得到的结论由平衡直接得到的结论角点切应力等于零；角点切应力等于零；边缘各点切应力沿切线方向。边缘各点切应力沿切线方向。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论矩形截面杆扭转时横截面上的切应力3.切应力分布与切应力公式切应力分布与切

45、应力公式角点切应力等于零角点切应力等于零;边缘各点切应力沿切边缘各点切应力沿切 线方向线方向;最大切应力发生在长边最大切应力发生在长边 中点。中点。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论矩形截面杆扭转时横截面上的切应力3.切应力分布与切应力公式切应力分布与切应力公式长边中点处长边中点处 =M x max C1 hb 2短边中点处短边中点处1 max第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论,=Cmax3Mxmax =h2 第第章章 圆轴扭转圆轴扭转 结论与讨论结论与讨论矩形截面杆扭转时横截面上的切应力max =M xC1hb 2C1 0.333 4.狭长矩形截面 厚度hNaNanjingnjing UniversitUniversity y ofof TechnologTechnology y返回总目录返回总目录返回返回