工程力学（静力学与材料力学）－7A－弯曲强度1（剪力图与弯矩图）.pptx

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1、课堂教学软件课堂教学软件(7A)2014年年4月月16 日日返回总目录返回总目录工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）NaNanjingnjing UniversitUniversity y ofof TechnologTechnology y弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图返回总目录返回总目录工程力学（静力学与材料力学）第二篇第二篇第第7 7章章A材料力学材料力学杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作 用 时，其 轴 线 将 弯 曲 成 曲 线，这 种 受 力 与 变 形 形 式

2、称 为用 时，其 轴 线 将 弯 曲 成 曲 线，这 种 受 力 与 变 形 形 式 称 为 弯 曲弯 曲 （bending）。主要承受弯曲）。主要承受弯曲的杆件称为的杆件称为梁梁（beam）。）。在外力作用下，梁的横截面上在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。将产生剪力和弯矩两种内力。在很多情形下，剪力和弯矩沿梁在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。长度方向的分布不是均匀的。对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这 些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑些横截面称为危险面

3、。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑 的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必 须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。的。第第7 7章章A 弯曲强度弯曲强度(1(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图弯曲时，弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力 最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最

4、大的 “危险截面危险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危危险点险点”。绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是响是 次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强力有关的强 度问题。度问题。本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方 程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的弯矩之间的 微分关系及其

5、在绘制微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用；剪力图和弯矩图中的应用；然后应用平衡、变然后应用平衡、变 形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍；最后介绍 弯曲强度设计方法。弯曲强度设计方法。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 结论与讨论结论与讨论 载荷集度、剪力、弯矩之载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系间的微分关系 第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 工程中的

6、弯曲构件工程中的弯曲构件第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的大梁可以桥式吊车的大梁可以 简化为两端饺支的简支梁。简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量在起吊重量(集中力集中力FP)及及 大梁自身重量大梁自身重量(均布载荷均布载荷q)的作用下的作用下,大梁将发生大梁将发生弯弯曲。曲。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:石油、化工设备中各种直立式反应塔，石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定底部与地面固

7、定成一体，因此，可以简化为一端固定的成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。作用下，反应塔将发生弯曲变形。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:火车轮轴支撑在铁轨上，火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铁轨对车轮的约束，可以看作 铰链支座，因此，火车轮轴可铰链支座，因此，火车轮轴可 以简化为两端外伸梁。以简化为两端外伸梁。由于轴由于轴 自身重量与车厢以及车厢内装自身重量与车厢以及车厢内装 载的人与货物的重量相比要小载的

8、人与货物的重量相比要小 得多，可以忽略不计，因此，得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。火车轮轴将发生弯曲变形。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理?第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁的内力及其与外力的相互梁的内力及其与外力的相互关系关系第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图应用

9、平衡的概念和截面法，不仅可以确定应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上梁上 任意横截面上的内力任意横截面上的内力 剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确 定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。平衡包括：整体平衡和局平衡包括：整体平衡和局部平衡。部平衡。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系总体平衡与局部平衡的概念刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部 也必然是平衡的。也必然是平衡的。第第7 7章章A

10、 A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系总体平衡与局部平衡的概念 刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。部也必然是平衡的。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系应用截面法可以确定杆件任意横截面上的内力分量 用假想截面从所要求用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部的截面处将杆截为两部 分分 考察其中任意一部分考察其中任意一部分 的平衡的平衡 由平衡

11、方程求得横截由平衡方程求得横截 面的内力分量面的内力分量 Fy0，MC0，第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系FQM应用截面法和平衡的概念，不难应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上的外证明：当梁上的外 力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。所谓外力突变，是指所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突以及分布载

12、荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。变的情形。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 在载荷无突变的一段杆的各截面上内在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规力按相同的规 律变化；律变化；杆件内力变化的 般规律 某一截面上的内力与作用在该截某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件面一侧局部杆件上的外力相平衡；上的外力相平衡；第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互梁的内力及其与外力的相互关系关系杆件内力变化的一般规律根据以上分析

13、，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论：杆件各截面上内力变化规律随着外力杆件各截面上内力变化规律随着外力 的变化而改变。的变化而改变。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩 变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外个外 力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段一段 梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数梁所有横截面上的剪力和弯

14、矩可以用同一个数学方学方 程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：1.1.数学方程数学方程剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程；2.2.图形图形剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。两种描述方法都要：两种描述方法都要：1.1.确定变化区间；确定变化区间；2.2.遵循正负号规则

15、。遵循正负号规则。根据以上分析根据以上分析 在在 段杆上段杆上 内力按某内力按某 种函数规种函数规,在一段杆上，在一段杆上，内力按某一种函数规内力按某一种函数规 律变化，这一段杆的两个律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截）。据此，下列截面均可为控制面：面均可为控制面：第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起

16、点和终点处的截面。变化区间 控制面 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面；、。变化区间 控制面第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力、集中力偶集中力、集中力偶 作用点作用点 分布荷载的起点和终点处的横截面分布荷载的起点和终点处的横截面动者为负。动者为负。剪力剪力 或或 )的确定：使截开部分杆的确定：使截开部分杆第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关

17、系FQFQQQzQy、y z变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负。剪力与弯矩的正负号规则的确定：使梁产生上的确定：使梁产生上凹凹弯矩弯矩下凸下凸或或MMM)(第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系rNrNQrQr 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 指定横截面上弯矩和剪力的确指定横截面上弯矩

18、和剪力的确定定 剪力方程和弯矩方程的建剪力方程和弯矩方程的建立立第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 指定横截面上弯矩和剪力指定横截面上弯矩和剪力的确定的确定应用截面法确定某一指定横应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 ,首先，需要用假想横截面从首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。第第7 7章章A A

19、弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程(cantilever beam)。梁承受集中力。梁承受集中力FP 及集及集 中力偶中力偶MO 的作用。的作用。ll一端固定另一端自由的一端固定另一端自由的 梁梁 称为称为悬臂梁悬臂梁试确定试确定:截面截面C及截面及截面D上上 的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。C、D截面与截面与D加力点无限接近。加力点无限接近。例 题 1MO=2FPlA CPBF,Cl,MA 0。因为外力与梁轴线都在同因为外

20、力与梁轴线都在同 一平面内，而且没有沿杆件轴一平面内，而且没有沿杆件轴.程确定固定端的约束力。程确定固定端的约束力。D2.应用截面法确定应用截面法确定C截面上截面上FP第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程的内力分量的内力分量用假想截面将梁用假想截面将梁C截面截面处处 截开截开 以左边部分为平衡对象以左边部分为平衡对象线方向的外力作用，所以横截线方向的外力作用，所以横截 面上没有轴力和扭矩，只有剪面上没有轴力和扭矩，只有剪 力和弯矩两种内力分量。力和弯矩两种内力分量。MO=2FPl F 解：解：1 应用静力学平衡方应

21、用静力学平衡方Al lA CMA 0FPBP是正确的。是正确的。FP第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程。衡建立平衡方程：衡建立平衡方程：l l Fy0，假设截开横截面上的假设截开横截面上的剪力和弯剪力和弯 矩均为正方向矩均为正方向 根据截开的局部平根据截开的局部平解：解：2.应用截面法确定应用截面法确定C截面上截面上 的内力分量的内力分量所得结果均为正值，这表明所假设所得结果均为正值，这表明所假设 的的C截面上的剪力和弯矩的正方向截面上的剪力和弯矩的正方向A C MC0，MCMAFP 根 l0M =2F lO P

22、DP QCF F 0FPA CMA 0MA 0M F lC PFQCPBQC PF FMCFl 解：解：3.应用截面法确定应用截面法确定D 截面上的内力分量截面上的内力分量AFPll第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程All用假想截面将梁用假想截面将梁D截面处截面处截截 开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。MO=2FPlD M =2F lO PDMA 0MA 0PBFPFCMO=2FPl F 解：解：3.应用截面法确定应用截面法确定D第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪

23、力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程截面上的内力分量截面上的内力分量假设截开横截面上的剪力假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向和弯矩均为正方向 根据根据截开截开。的局部平衡建立平衡方程的局部平衡建立平衡方程：Fy0，FQDFP0llMD0MDMA +MO -FP 2l0M =2F lO PDDCFQDFPl lMD0MA 0FPFQDPBM 0MDFPA=AA。FP第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程本例中所选择的研究对象都本例中所选择的研究对象都 是是C、D截面以左部截面以左部分梁，因而分梁，因

24、而 需要首先确定左端的约束力需要首先确定左端的约束力 如如果以果以C、D截面以右截面以右部分梁作为部分梁作为 平衡对象，则无需确定约束力，平衡对象，则无需确定约束力，计算过程会更简单计算过程会更简单ll解：解：4.讨论讨论M =2F lPBO PMA=0FDAC。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程的建立的建立。确定了分段之后，首先，在每一段中任意取确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设一横截面，假设 这一横截面的坐标为这一横截面的坐标为x；然后从这一；然后从这一

25、横截面处将梁截开，并假设所横截面处将梁截开，并假设所,Q 。为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其坐标系，其 中中O为为坐标原点，坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点点O一般取在梁一般取在梁 的左端，的左端，x坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅坐标轴铅垂向上。垂向上。截开的横截面上的剪力截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应都是正方向；最后分别应 用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和

26、弯矩和弯矩 M(x)的表达式的表达式 这就是所这就是所要求的剪力方程要求的剪力方程F (x)和弯矩方程和弯矩方程M(x)第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程时，建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力需要根据梁上的外力(包括载荷包括载荷 和约束力和约束力)作用状况，确定控制面，从作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分而确定要不要分段，以及分然后从这然后从这 横截面处将梁截开横截面处将梁截开几段建立剪力方程和弯矩方几段建立剪力方程和弯矩方程程这这 横截面的坐标为横截面的坐标为建立剪

27、力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的和弯矩的方法和过程是相似的,所不同的，现在的指定横截面是坐标为所不同的，现在的指定横截面是坐标为x 的横截面。的横截面。需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中程中，x是变量是变量，而而FQ(x)和和M(x)则是则是x的函数的函数。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程试写出：试写出：梁的剪力方程和弯矩梁的

28、剪力方程和弯矩方程。方程。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程悬臂梁在悬臂梁在B、C两处分别承受集中力两处分别承受集中力FP 和集中力偶和集中力偶M2 2FPl 的作用。梁的全长为的作用。梁的全长为2l。llB CM =2F l题O P例2FAP.本例将通过考察截开本例将通过考察截开截面的右截面的右 边部分平衡建立剪力方程和弯矩方边部分平衡建立剪力方程和弯矩方第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程AC B束力、自由端束力、自由端B处作用有

29、集中力、处作用有集中力、中点中点C处作用有集中力偶，所以，处作用有集中力偶，所以，程，因此可以不必确定左端的约束程，因此可以不必确定左端的约束 力。力。由于梁在固定端由于梁在固定端 处作用有约处作用有约需要分为需要分为AC和和CB两段建立剪力和两段建立剪力和 弯矩方程。弯矩方程。截面截面A、B、C均为均为控制面。因此，控制面。因此，解：解：1 确定控制面确定控制面和分段和分段MO=2FPll lFPAOyx第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程x 以梁的左端以梁的左端A为坐标原点，为坐标原点，Fr 解：解：2 建立建

30、立Oxy坐标系坐标系建立建立Oxy坐标系。坐标系。MO=2FPlC Bl lAOy第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程FQ(x1)、FQ(x2)和弯和弯矩矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后都是正方向，然后考考察截察截 开的右边部分梁的平衡开的右边部分梁的平衡，由平由平在在AC和和CB两段分别以坐标两段分别以坐标 为为x1和和x2 的横截面将梁截的横截面将梁截开，并开，并 在截开的横截面上，假设剪力在截开的横截面上，假设剪力C B l l衡方程即可确定所需要的剪力衡方程即可确定所需要的剪力 方程和弯矩方程。方程

31、和弯矩方程。x2MO=2FPl FP解：解：3 建立剪力方程建立剪力方程和弯和弯Ax1矩方程矩方程Oyx 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程MO=2FPl FPl l 。根据平衡方程根据平衡方程x1C BFQ(x)2lx1对于对于AC段梁的剪力和弯矩方程段梁的剪力和弯矩方程，在在x1处截开后，考察右边部分的平衡处截开后，考察右边部分的平衡第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图ABOCM0 M(x1)MFP 根(2l-x1)0解解 建立剪力方程和弯矩建立剪力方程和弯矩方程方程Fy0 FQ (x1)-FP0MO=2FPl：3.M(x)FPyxl第第7 7章

32、章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程FQ(x1)FPM(x1)MFP(2l-x1)2FPl FP(2l-x1)FPx1FQ(x1)解：解：3 建立剪力方程和弯建立剪力方程和弯 矩方程矩方程-M(x1)MFP 根(2l-x1)0得到得到AC段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程：FQ(x1)-FP0l2lx1(0 x1 l)(0 x1 l)MO=2FPlM0 Fy0M(x1)B C FPy第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程P .对于对于CB

33、段梁的剪力和弯矩方程段梁的剪力和弯矩方程，在在x2处截开后，考察右边部分的平处截开后，考察右边部分的平衡。衡。x2M =2F l F 解：解：3 建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程FQ(x2)FP (l x2 2l)B-M(x2)FP 根(2l-x2)0M(x2)FP(2l-x2)(l x2 2l)得到得到CB段的剪力方程与弯矩方程段的剪力方程与弯矩方程：FQ(x2)-FP0根据平衡方程根据平衡方程A BCl Fy0M02lx2()FQ x2M(x2)O PFPOxl第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程A

34、C段的剪力方程与弯矩方程段的剪力方程与弯矩方程：上述结果表明，上述结果表明，AC段和段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程段的剪力方程是相同的；弯矩方程 不同，但都是不同，但都是x 的线性函数。的线性函数。M(x1)FPx1 (0 x1 l)CB段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程：FQ(x1)FPM(x2)FP(2l-x2)(l x2 2l)FQ(x2)FP(0 x1 l)(l x2 2l)一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁简支梁 (simple supported beam)。梁上承受集度为。梁上承受集度为q的均布载

35、荷作用，梁的的均布载荷作用，梁的 长度为长度为2 2l。试写出：试写出：该梁的剪力方程该梁的剪力方程和弯矩方程。和弯矩方程。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程例题例题 3qAlClBq第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程约束力相同。约束力相同。于是，根据平衡条件不于是，根据平衡条件不难求得：难求得：FRAFRBql因为只有铅垂方向的外力，因为只有铅垂方向的外力，所以支座所以支座A的水平约束力等于零。的水平约束力等于零。又因为梁的结构及

36、受力都是对称的，故支座又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座与支座B处铅垂方向的处铅垂方向的FRA解：解：1 确定约束力确定约束力B ll l lFRBAC.因为梁上只作用有连续分因为梁上只作用有连续分 布载荷布载荷(载荷集度没有载荷集度没有突变突变)，y没有集中力和集中力偶的作用没有集中力和集中力偶的作用,所以，从所以，从A到到B梁的横截面上梁的横截面上 的剪力和弯矩可以分别用一个的剪力和弯矩可以分别用一个第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程的剪力和弯矩可以分别用的剪力和弯矩可以分别用 个个 方程描述，因

37、而无需分段建立方程描述，因而无需分段建立 剪力方程和弯矩方程。剪力方程和弯矩方程。C Bl lFRB3 建立建立Oxy坐标系坐标系以梁的左端以梁的左端A为坐标原点，为坐标原点，解解 2 确定控制面和分段确定控制面和分段建立建立Oxy坐标系坐标系，AFRAOqx:.y以以A、B之间坐标为之间坐标为x 的的任意截任意截 面为假想截面，将梁截开，面为假想截面，将梁截开，取左段取左段M(x)第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程为研究对象，在截开的为研究对象，在截开的截面上标出截面上标出 剪力剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x

38、)的正方向。的正方向。由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件RBFQ(x)解：解：4 确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程-RAQF qxF (x)0RAM x -F 根 x+qx 根 x0Fy =0Cl M0OB()根 +根FRAAFF2RAqxxxlxy()M x qlxM x -FRA 根 x+qx 根 得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为矩方程矩方程 x由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件.第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图llFQ(x)FRA -qx ql qx 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程Fy =

39、0FRA -qxFQ (x)0确定剪力方程和弯确定剪力方程和弯A C B(0 x 2l)(0 x 2l)M0O解：解：4=0 2()FQ(x)M(x)FRAFRBFRAqxOA C B第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程这一结果表明，梁上的剪力方程是这一结果表明，梁上的剪力方程是x 的线性函数；的线性函数；弯矩方程弯矩方程 是是x 的二次函数。的二次函数。FQ(x)FRA -qx ql qxC Bl FRBM(x)qlx(0 x 2l)(0 x 2l)AlFRAyqx 载荷集度、剪力、弯矩之间的载荷集度、剪力、弯矩

40、之间的 微分关系微分关系第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图绘制剪力图和弯矩图有两种方法绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法第一种方法是是：根据剪力方程和弯矩方程，在：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和和M-x坐标系中坐标系中 首先标出剪力方程和弯矩方程定义域首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力两个端点的剪力 值和弯矩值，得到相应的点；然后按值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方照剪力和弯矩方 程的类型，绘制出相应的图线，便得程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力到所需要的剪力 图与弯矩图。图与弯矩图。第第7 7章章A

41、A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系绘制剪力图和弯矩图的第绘制剪力图和弯矩图的第二种方法二种方法是：先在是：先在FQ-x 和和M-x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后 应用载荷集度、剪力、弯矩应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制之间的微分关系，确定控制 面之间的剪力和弯矩图线的面之间的剪力和弯矩图线的形状，因而无需首先建立剪形状，因而无需首先建立剪 力方程和弯矩方程。力方程和弯矩方程。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图

42、与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系根据相距根据相距d dx x的两个横截面截取微段的平衡，的两个横截面截取微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的、弯矩之间存在下列的 微分关系：微分关系：dFQdx q dM F dx Q d 2 M =dx2 q第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分

43、载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系-q ql-qxFQ q将将FQ(x)对对x求一次导数，将求一次导数，将M(x)对对x求一次和二次导数，得到求一次和二次导数，得到A Cl lFRAx M(x)qlxq22xFQ(x)qlqxOFRBByqQ因此规定：因此规定：对于向上的均布载荷，微分关系对于向上的均布载荷，微分关系式中的载荷集度式中的载荷集度q为正为正 值；对于向下的均布载荷，载荷集度值；对于向下的均布载荷，载荷集度q为负值为负值。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系式中等号右

44、边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是向下的。式中等号右边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是向下的。dx q -qxFQ2M(x)qlxqx2F (x)qlqxdM(x)ldx -q=-qdFQ(x)d2Mdx2=第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图图线的图线的 几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。dFQdx q dM F dx Q d2 M =dx 2 q 剪力图的斜率等于作用

45、在梁上的均布载荷集度剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某；弯矩图在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。如果一段梁上没有分布载荷作用如果一段梁上没有分布载荷作用，即，即q 0，这一段梁上剪力，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的 剪力图为平行于剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直轴的水平直线；弯矩图为斜直线。线。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩

46、之间的微分关系关系 如果一段梁上作用有均布载荷，即如果一段梁上作用有均布载荷，即q常数，这一段梁上剪力常数，这一段梁上剪力 的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x 的线的线性函数，因此，这一性函数，因此，这一 段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。弯矩图二次抛物线的凸弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度凹性与载荷集度q 的正负有关：当的正负有关：当q为为 正正(向上向上)时，抛物线为凹时，抛物线为凹曲线，凹的方向与曲线，凹的方向与M坐标正方向一致坐标正方向一致，：，：当当q为负为负(向下向下)时，抛物线为凸曲线，凸

47、的时，抛物线为凸曲线，凸的方向与方向与M坐标正方向一致坐标正方向一致。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系关系第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁 的横截面上只有剪力的横截面上只有剪力FQ和弯矩和弯矩M两两种内力分量。表示剪种内力分量。表示剪 力和弯矩沿梁轴线方向变化力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力图的图形，分别称为剪

48、力图(diagram of shearing forces）和弯矩图（）和弯矩图（diagram of bending moment）。）。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图大体相似，但和扭矩图大体相似，但 略有差异。主要步骤如下：略有差异。主要步骤如下：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法

49、确定控制应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值面上的剪力和弯矩数值(假定剪力和弯矩假定剪力和弯矩 都为正方向都为正方向)。建立建立FQ-x 和和M x 坐标系，并坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标将控制面上的剪力和弯矩值标 在相应的坐标系中。在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形和弯矩图的形 状，进而画出剪力图与弯矩图状，进而画出剪力图与弯矩图。1kN m,的最大值。的最大值。第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图1.5m 1.5m 1.5m试画出

50、试画出 其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图 并确定剪力和弯矩绝对值并确定剪力和弯矩绝对值简支梁受力的大小和方向如图简支梁受力的大小和方向如图 所示所示2kNFRA。FRF例 题 4F 1kN.mA:解：解：1 确定约束力确定约束力根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程MA0,MF0求得求得A、B 两处的约束力两处的约束力 FRA 0.89 kN,FRF 1.11 kN1kN.m第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图A1.5m1.5mF2kN1.5mFRFFRAO x处的两侧截面以及支座反力内处的两侧截面以及支座反力内 侧截面均为控制