工程力学（静力学与材料力学）－6－圆轴扭转.pdf

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1、Nanjing University of TechnologyNanjing University of TechnologyNanjing University of TechnologyNanjing University of Technology工程力学工程力学工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）(静力学与材料力学静力学与材料力学）课堂教学软件课堂教学软件(6)2014年年4月月2日日2014年年4月月2日日返回总目录返回总目录轴向拉伸与压缩回顾轴向拉伸与压缩回顾轴向拉伸与压缩回顾轴向拉伸与压缩回顾由外力及内力由内力及应力应力强度条件应变变形拉伸压缩时的材料力学性能轴

2、力轴力FN和轴力图和轴力图拉伸压缩正应力拉伸压缩正应力 max强度条件强度条件llx应变弹性阶段韧性材料脆性材料NFA max三类强度问题三类强度问题强度校核强度校核l变弹性阶段胡克定律胡克定律EA强度校核强度校核强度设计强度设计确定许可载荷确定许可载荷EAlFlPiiiiEAlFlN伸长量xxE确定许可载荷确定许可载荷EAii工程力学工程力学（静力学与材料力学）（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学第二篇第二篇 材料力学材料力学第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转第第 章章 圆轴扭转圆轴扭转返回总目录返回总目录第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转杆的两端承受大小相等杆的两端承受大小相等、方向相反

3、方向相反、作用平面垂作用平面垂杆的两端承受大小相等杆的两端承受大小相等、方向相反方向相反、作用平面垂作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线 相 对 转 动，这 种 受 力 与 变 形 形 式 称 为 扭 转直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线 相 对 转 动，这 种 受 力 与 变 形 形 式 称 为 扭 转（torsion）。）。MeMe第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴 工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 圆轴扭转时横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析 切应力互等定理剪切胡克定律 切应力互等

4、定理剪切胡克定律 圆轴扭转时横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计与强度设计杆扭转时的变度条件杆扭转时的变度条件 圆圆杆扭转时的变杆扭转时的变形及刚形及刚度条件度条件 结论与讨论结论与讨论第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工

5、具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭转。转。转。转。工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴传动轴传动轴传动轴传动轴传动轴传动轴传动轴传动轴将产生扭转将产生扭转将产生扭转将产生扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴连接汽轮机和发连接汽轮机和发电机的传动轴将产生电机的传动轴将产生连接汽轮机和发连接汽轮机和发电机的传动轴将产生电机的传动轴将产生扭转扭转扭转扭转扭转扭转。扭转扭转。工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第第6章章 圆轴

6、扭转圆轴扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MeMeMe作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递和转递n，则传动轴所受的外加扭，则传动轴所受的外加扭力力矩矩Me可用下可用下式式计计算算：力力e式算式算e9549N mPMn其中其中P为

7、功率为功率单位为千瓦单位为千瓦（kW）为轴的转速为轴的转速单位为转单位为转/其中其中P为功率为功率，单位为千瓦单位为千瓦（kW）；n为轴的转速为轴的转速，单位为转单位为转/分（分（r/min）。）。如果功率如果功率P的单位用马力的单位用马力（1马力马力=735.5 Nm/s），则则如果功率如果功率P的单位用马力的单位用马力（1马力马力 735.5 N m/s），则则e7024N m/i PM 马力er/minn外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转外加扭力矩外加扭力矩M 确定后确定后应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的外加扭力矩外加扭力矩、

8、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图外加扭力矩外加扭力矩Me确定后确定后，应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的内力内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩作用时，横截面上将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩称为扭矩（t i tt）用用M 表示表示称为扭矩称为扭矩（twist moment），用用Mx表示表示。MeMenMxMeMMx x+外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转外加扭力矩外加扭力矩外加扭力矩外加扭力矩MMe e确定后确定后

9、，应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的确定后确定后，应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图外加扭力矩外加扭力矩外加扭力矩外加扭力矩e e确定后确定后，应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的确定后确定后，应用截面法可以确定横截面上的应用截面法可以确定横截面上的内力内力内力内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩MMe e作用时，横截面上作用时，横截面上将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩将产生分布切应力，这些切

10、应力将组成对横截面中心的合力矩作用时，横截面上作用时，横截面上将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩将产生分布切应力，这些切应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩称为扭矩（称为扭矩称为扭矩（twist momenttwist moment），），用用），），用用MM 表示表示。表示表示。称为扭矩称为扭矩（称为扭矩称为扭矩（twist momenttwist moment），），用用），），用用MMx x表示表示。表示表示。MeMeMMeMx_ _nMx外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩如果只在轴的两个端

11、截面作用有外力偶矩则沿轴线方则沿轴线方外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各这时需用截面法确定各扭矩沿杆轴线方向变化的图形扭矩沿杆轴线方向变化的图形称为称为扭矩图扭矩图(dif各段横截面上的扭矩将是不

12、相等的各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。段横截面上的扭矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为称为扭矩图扭矩图(diagram oftorsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转例题例题 1 1外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图例题例题 1 1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中的大小和方

13、向均示于图中，其中力偶矩的单位为其中力偶矩的单位为N.m，尺寸尺寸的大小和方向均示于图中的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为其中力偶矩的单位为N.m，尺寸尺寸单位为单位为mm。试试试试：画出圆轴的扭矩图画出圆轴的扭矩图。试试试试：画出圆轴的扭矩图画出圆轴的扭矩图。外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图解：解：解：解：1 1确定控制面确定控制面外加力偶处截面外加力偶处截面A外加力偶处截面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。均为控制面。2 2应用截面法，由平衡应用截面法，由平衡方程方程方程方程0 xM确定各段

14、圆轴内的扭矩确定各段圆轴内的扭矩确定各段圆轴内的扭矩确定各段圆轴内的扭矩。外加扭力矩外加扭力矩扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转外加扭力矩外加扭力矩、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图3 3建立建立坐标系坐标系，3 3建立建立Mxx坐标系坐标系，画出扭矩图建立画出扭矩图建立Mxx坐标系，其坐标系，其中中 轴平行于圆轴的轴线轴平行于圆轴的轴线中中x轴平行于圆轴的轴线轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在在M坐标系中坐标系中得到相得到相在在Mxx坐标系中坐标系中，得到相得到相应的点，过这些点作应的点，过这些点作

15、x轴的平行线，即得到所需要的扭轴的平行线，即得到所需要的扭矩图矩图矩图矩图。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转考察承受切应力作用的微元考察承受切应力作用的微元切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律考察承受切应力作用的微元考察承受切应力作用的微元体，假设作用在微元左、右面上的切应力为体，假设作用在微元左、右面上的切应力为，这两个面上的切应，这两个面上的切应力与其作用面积的乘积力与其作用面积的乘积形成形成力

16、与其作用面积的乘积力与其作用面积的乘积，形成形成一对力，二者组成一力偶。一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在切应力为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在切应力，二者与其作用面积相乘后形成二者与其作用面积相乘后形成一一二者与其作用面积相乘后形成二者与其作用面积相乘后形成对力，组成另一力偶。为保持微元的平衡，这两个力偶的力偶矩对力，组成另一力偶。为保持微元的平衡，这两个力偶的力偶矩必须大小相等必须大小相等方向相反方向相反必须大小相等必须大小相等，方向相反方向相反。切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转y切应力互等定理切应力

17、互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律微元能不能平衡微元能不能平衡？微元能不能平衡微元能不能平衡？哪些力互相平衡哪些力互相平衡？哪些力互相平衡哪些力互相平衡？怎样才能平衡怎样才能平衡？xdy微元能不能平衡微元能不能平衡？微元能不能平衡微元能不能平衡？哪些力互相平衡哪些力互相平衡？哪些力互相平衡哪些力互相平衡？怎样才能平衡怎样才能平衡？dxdzzdx切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律y怎样才能平衡？怎样才能平衡？根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论xdyyzxdddxzydddxdzzdx切应力互等定理切应力

18、互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转y切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律切应力成对定理切应力成对定理切应力成对定理切应力成对定理在两个互相垂直的平面在两个互相垂直的平面上上切应力必然成对存在切应力必然成对存在xdy上上，切应力必然成对存在切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共dxdz同指向或共同背离这一交线，这就是切应力成对定理（同指向或共同背离这一交线，这就是切应力成对定理（pairingprincipleofshearzpgppstresses）。）。切应力互等定理切应

19、力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律前章的胡克定律前章的胡克定律E前前一一章的胡克定律章的胡克定律：E剪切胡克定律剪切胡克定律G当在弹性范围内加载时，切应力与剪应变成正比:当在弹性范围内加载时，切应力与剪应变成正比:G这种线性关系称为剪切胡克定律。这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数比例常数G称为材料的切变模量称为材料的切变模量O比例常数比例常数G称为材料的切变模量称为材料的切变模量。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计切应力分析与强度设计切应力分析与强度设计切

20、应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量分量扭矩，但是不能确定横截面上各点切应力的大扭矩，但是不能确定横截面上各点切应力的大小小。为了确定横截面上各点的切应力为了确定横截面上各点的切应力，在确定了扭矩后在确定了扭矩后小小。为了确定横截面上各点的切应力为了确定

21、横截面上各点的切应力，在确定了扭矩后在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的切应力是怎样分布的。，还必须知道横截面上的切应力是怎样分布的。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转确定横截面上切应力圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计确定横截面上切应力的方法与过程应力分布应力分布应力分布应力分布变变形形变变形形应变分布应变分布应变分布应变分布平面假平面假定定物性关系物性关系静力方程静力方程应力公式应力公式应力公式应力公式圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度

22、设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计平面假定平面假定圆轴扭转时横截面上的切应

23、力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一两相邻横截面刚性地相互转过一然保持平面然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。角度。这一假定称为平面假定。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截

24、面上的切应力分析与强度设计计圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计变形变形协协调方调方程程协程协程圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱根据根据圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的

25、圆柱，根据根据上述结论，在上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小半径越小者剪应变越小半径越小者剪应变越小半径越小者剪应变越小。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计d设到轴线任意远设到轴线任意远 处的剪应变为处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：），则从图中可得到如下几何关系

26、：xdd圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计剪切胡克定律剪切胡克定律GO O圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转

27、时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计d xddGGGdxd圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计xGGddxd圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计静力学方程静力学方程圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转

28、圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计AdAxMAx圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转d圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计xGGddAxMAdAAId2PPddGIMxxPdGIx式中式中 GI扭转刚度扭转刚度式中式中 GIP扭转刚度扭转刚度；IP横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面

29、上的切应力分析与强度设计计圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的切应力表达式切应力表达式切应力表达式切应力表达式圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计GGddMxGGddPddGIMxx IMx PI圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计 IMx PI圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面

30、上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力PPmaxmaxWMIMxxPPIW maxWp 扭转截面模量。扭转截面模量。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转截面的极惯性矩与扭转截面模量圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计截面的极惯性矩与扭转截面模量 对于直径为对于直径为d的实心圆截面的实心圆截面16323P4PdWdI,对于内、外直径分别为对于内、外直径分别

31、为d 和和 D的圆环截面的圆环截面4344=d/D16132143P44PDWDI,圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转受扭圆轴的强度计准则圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计受扭圆轴的强度设计准则与抗压杆的强度设计相似与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可为了保证圆轴扭转时安全可与抗压杆的强度设计相似与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大切应力靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大切应力 max限制在一定的数

32、值以下，即：限制在一定的数值以下，即：M,maxmaxp xMW这这一一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则关系式称为受扭圆轴的强度设计准则或称圆轴扭转的或称圆轴扭转的这关系式称为受扭圆轴的强度设计准则这关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的或称圆轴扭转的强度条件。强度条件。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计受扭圆轴的强度计准则,max xM受扭圆轴的强度设计准则maxp W 为许用切应力；为许用切应力；是指圆轴所有横截面上最大切应力中的最

33、大者是指圆轴所有横截面上最大切应力中的最大者对于等对于等 max max 是指圆轴所有横截面上最大切应力中的最大者是指圆轴所有横截面上最大切应力中的最大者，对于等对于等截面圆轴，最大切应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；截面圆轴，最大切应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴对于变截面圆轴如阶梯轴如阶梯轴最大切应力不一定发生在扭矩最大切应力不一定发生在扭矩对于变截面圆轴对于变截面圆轴，如阶梯轴如阶梯轴，最大切应力不一定发生在扭矩最大切应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。

34、的数值综合考虑才能确定。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计例例 题题 2 2已知：已知：已知：已知：P7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过最大切应力不得超过40MPa,空心圆空心圆轴的内外轴的内外直直径径之比之比=0.5。二。二轴轴轴的内外径轴的内外径轴轴长度相同。长度相同。求求求求:实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外和空心轴的外直径直径确定轴的重量之比确定轴的重量之比直径直径D2；确定确定二二轴的重量之比轴的重量之比。圆轴

35、扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计解：解：解：解：首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴实心轴实心轴7 595499549716 2N m100.xPMTn实心轴实心轴实心轴实心轴max13111640MPaxxPMMWd31616 716 20 045m=45mm40 10.d1640 10圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭

36、转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计解：解：解：解：对于空心轴，则有对于空心轴，则有对于空心轴，则有对于空心轴，则有max234221640MPa1xxPMMWD算得算得算得算得316 716 20 046m=46mm.Dd20.5D2=23 mm32460 046m 46mm 1-40 10.Dd20.5D223 mm圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转实心轴实心轴d=45 mm圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计空心轴空心轴D246

37、mm d223 mm实心轴实心轴d1=45 mm解：解：确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28.15.01110461045122332222121DdAA圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计3例例 题题 3 3已知已知：已知已知：P114kW,n1=n2=120 r/min,z1=36,已知已知：已知已知：P114kW

38、,n1 n2 120 r/min,z136,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求求求求:各轴横截面上的最大切应力。各轴横截面上的最大切应力。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计3解解计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速P=14kW P=P=P/2=7 kWn1=n2=120r/min解解：计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速P114kW,P2 P3 P1/2 7 kWn1n2 120r/min360r/minr/m

39、in1236120113znn1233z圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计3Mx1=T1=1114 N.m解：解：计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩Mx2=T2=557 N.mM=T=185 7 N mMx3=T3=185.7 N.m圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计3 16 54MPaPa111416E

40、1Mx解：解：计算各轴的横截面上的最大切应力计算各轴的横截面上的最大切应力 16.54MPaPa1070E9-31PmaxW.69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWMx10502PW.98MPa12Pa1053718516C9-33P3max.WMx圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转例例例例 题题题题 4 4圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计例例例例 题题题题 4 4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模

41、量分别为模量分别为G1和和G2，且，且G12G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布力分布，有有图图中中（A）、（）、（B）、（）、（C）、（）、（D）力分布力分布有中有中所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转例例 题题 4 4圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计例例 题题 4 4解解：解解：圆

42、轴受扭时圆轴受扭时里里外层之间无相对滑动外层之间无相对滑动这表明这表明解解：解解：圆轴受扭时圆轴受扭时，里里、外层之间无相对滑动外层之间无相对滑动，这表明这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线径保持为直线但要相当于原来的位置转过角度但要相当于原来的位置转过角度径保持为直线径保持为直线，但要相当于原来的位置转过但要相当于原来的位置转过一一角度角度。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强

43、度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转例例 题题 4 4圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计例例 题题 4 4解解：解解：因此因此在里在里外层交界处二者具有相同的剪应变外层交界处二者具有相同的剪应变解解：解解：因此因此，在里在里、外层交界处二者具有相同的剪应变外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G12G2），所以内层在二者交），所以内层在二者交界处的切应力定大于外层在二者交界处的切应力界处的切应力定大于外层在二者交界

44、处的切应力据此据此界处的切应力界处的切应力一一定大于外层在二者交界处的切应力定大于外层在二者交界处的切应力。据此据此，答案（，答案（A）和（）和（B）都是不正确的。）都是不正确的。圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转例例 题题 4 4圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设圆轴扭转时横截面上的切应力分析与强度设计计例例 题题 4 4解解：解解：在答案在答案（D D）中中，外层在二者交界处的切应力等外层在二者交界处的切应力等解解：解解：在答案在答案（D D）中中，外层在二者交界处的切应力等外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正

45、确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）。根据以上分析，正确答案是（C）。第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受扭圆轴的相对扭转角受扭圆轴的相对扭转角圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的

46、角度称为相对扭转角度称为相对扭转角度称为相对扭转角度称为相对扭转角ddxMxGIPGI沿轴线方向积分，得到沿轴线方向积分，得到pddxllMxGI圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受扭圆轴的相对扭转角对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为转角为：受扭圆轴的相对扭转角转角为转角为：PxM lGI对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：

47、1nxi iiPiMlGI圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件单位长度的相对扭转角在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭单位长度相对扭变形变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭单位长度相对扭转角为：转角为：dxM

48、pdxxGI圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转受扭圆轴的刚度设计准则圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件受圆的刚度设计准为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：d xdd对于两端

49、承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：PxMGI圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 d xM受扭圆轴的刚度设计准则 xd单度转单度转 PxGI其中，其中，为为单单位长位长度度上的许用相对扭上的许用相对扭转转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴 (0.250.5)()m；一般传动轴；一般传动轴 (0.51.0)()m；刚度要求不高的轴；刚度要求不高的轴 ()()2（）

50、（）m。圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件第第6章章 圆轴扭转圆轴扭转圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 d xM受扭圆轴的刚度设计准则 xd需要注意的是需要注意的是刚度设计中要注意单位的刚度设计中要注意单位的一一致性致性上式不等上式不等 PGI需要注意的是需要注意的是：刚度设计中要注意单位的致性刚度设计中要注意单位的致性。上式不等上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为()m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm，则必须在不等式右号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为()m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm