工程力学（静力学与材料力学）－7A－弯曲强度1（剪力图与弯矩图）.pdf

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1、Nanjing University of TechnologyNanjing University of TechnologyNanjing University of TechnologyNanjing University of Technology工程力学工程力学工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）(静力学与材料力学静力学与材料力学）课堂教学软件课堂教学软件(7A)2014年年4月月16日日2014年年4月月16日日返回总目录返回总目录工程力学工程力学（静力学与材料力学）（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学第二篇第二篇 材料力学材料力学第7章第7章A弯曲强

2、度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图返回总目录返回总目录第7章第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图弯曲强度(1)剪力图与弯矩图杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（）。主要承受弯曲的杆件称为

3、梁（beam）。）。在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。在很多情形下在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。在很多情形下在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面的危险面。研究梁的变形和刚度虽然

4、没有危险面的问题研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必但是也必的危险面的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图弯曲时弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力失效当然最先从应力弯曲时弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力失效当然最先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的“危

5、险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危险点”。最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危险点”。绝大多数细长梁的失效绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关主要与正应力有关，剪应力的影响是剪应力的影响是绝大多数细长梁的失效绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关主要与正应力有关，剪应力的影响是剪应力的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题度问题。度问题度问题。本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图

6、与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用；然后应用平衡然后应用平衡、变变微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用；然后应用平衡然后应用平衡、变变形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图

7、 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 结论与讨论结论与讨论第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件程中的弯曲构件程中的弯曲构件第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图工工程中的弯曲

8、构件程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量在起吊重量(集中力集中力FP)及大梁自身重量及大梁自身重量(均布载荷均布载荷q)的作用下的作用下 大梁将发生弯大梁将发生弯的作用下的作用下,大梁将发生弯大梁将发生弯曲。曲。程中的弯曲构件程中的弯曲构件第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图工工程中的弯曲构件程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很

9、多的:石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成成一一体体，因此，可以，因此，可以简化为简化为一一端固定端固定的悬的悬臂梁臂梁。在风力载荷在风力载荷成成一一体体，因此，可以，因此，可以简化为简化为一一端固定端固定的悬的悬臂梁臂梁。在风力载荷在风力载荷成体成体简化为端固定臂梁简化为端固定臂梁在风力载荷在风力载荷成体成体简化为端固定臂梁简化为端固定臂梁在风力载荷在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。作用下，反应塔将发生弯曲变形。作用下，反应塔将发

10、生弯曲变形。作用下，反应塔将发生弯曲变形。程中的弯曲构件程中的弯曲构件第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图工工程中的弯曲构件程中的弯曲构件火车轮轴支撑在铁轨上火车轮轴支撑在铁轨上，工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:火车轮轴支撑在铁轨上火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁以简化为两端外伸梁由于轴由于轴以简化为两端外伸梁以简化为两端外伸梁。由于轴由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小自身重量与车厢以及车厢

11、内装载的人与货物的重量相比要小得多得多可以忽略不计可以忽略不计因此因此得多得多，可以忽略不计可以忽略不计，因此因此，火车轮轴将发生弯曲变形。，火车轮轴将发生弯曲变形。程中的弯曲构件程中的弯曲构件第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图工工程中的弯曲构件程中的弯曲构件梁为什么做成变截面的梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的梁为什么做成变截面的？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里

12、最合理?第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系应用平衡的概念和截面法应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上不仅可以确定梁上应用平衡的概念和截面法应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上不仅可以确定梁上任意横截面上的内力任意横截面上的内力剪力和弯矩，而且可以

13、确定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。剪力和弯矩，而且可以确定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图总体平衡与局部平衡的概念梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系总体平衡与局部平衡的概念刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的也必然是平衡的也必然是平衡的也必然是平衡的。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关

14、系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念刚体平衡概念的扩展和延伸刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡总体平衡，则其任何局则其任何局刚体平衡概念的扩展和延伸刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡总体平衡，则其任何局则其任何局部也必然是平衡的。部也必然是平衡的。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图应用截面法可以确定杆件任意横截面上的内力分量梁的内力及其与外力的相互关系梁

15、的内力及其与外力的相互关系应用截面法可以确定杆件任意横截面上的内力分量 用假想截面从所要求用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部的截面处将杆截为两部的截面处将杆截为两部的截面处将杆截为两部分分 考察其中任意一部分考察其中任意一部分的平衡的平衡 由平衡方程求得横截由平衡方程求得横截面的内力分量面的内力分量FQ面的内力分量面的内力分量0yF，QM0CM，梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上的外应用截面法和平衡

16、的概念，不难证明：当梁上的外力力（包括载荷与约束力包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时沿杆的轴线方向发生突变时，力力（包括载荷与约束力包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。所谓外力突变所谓外力突变是指有集中力是指有集中力集中力偶作用集中力偶作用所谓外力突变所谓外力突变，是指有集中力是指有集中力、集中力偶作用集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章

17、A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图杆件内力变化的般规律梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件杆件内力变化的一般规律上的外力相平衡；上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系根据以上分析根据以上分析，不难得到结论不难

18、得到结论：根据以上分析根据以上分析，不难得到结论不难得到结论：杆件各截面上内力变化规律随着外力杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变的变化而改变。的变化而改变的变化而改变。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这表明

19、，如果在两个外力作用点之间的梁上没有其他外力作用力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段则这一段力作用点之间的梁上没有其他外力作用力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段则这一段梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述程或者同一图线描述。程或者同一图线描述程或者同一图线描述。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：数学方

20、程数学方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程1.1.数学方程数学方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程；2.图形；2.图形剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。两种描述方法都要：两种描述方法都要：1 1确定变化区间确定变化区间1 1.确定变化区间确定变化区间；2.遵循正负号规则。；2.遵循正负号规则。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系根据以上分析根据以上分析在段杆上在段杆上内力按某种函数规内力按某种函数规变化区间变化区间控制面控制面根据以上分析

21、根据以上分析，在在一一段杆上段杆上，内力按某内力按某一一种函数规种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（controlcross-section）。据此，下列截面均可为控制面：）。据此，下列截面均可为控制面：集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面集中力偶作用点的两侧截面；均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1

22、)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系变化区间变化区间控制面控制面外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力、集中力偶集中力、集中力偶作用点作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面分布荷载的起点和终点处的横截面。作用点作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面分布荷载的起点和终点处的横截面。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力与弯矩的正负号规则剪力与弯矩的正负号规则梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力与弯矩的正负号规则剪力与弯矩的正负号规则

23、F FQFQ剪力剪力剪力剪力F FQ Q(F FQ Qy y或或或或F FQ Qz z)的确定：使截开部分杆的确定：使截开部分杆)的确定：使截开部分杆的确定：使截开部分杆弯矩弯矩弯矩弯矩MM(MM 或或或或MM)的确定的确定：使梁产生上凹使梁产生上凹的确定的确定：使梁产生上凹使梁产生上凹下凸下凸下凸下凸Q QQ Qy yQ Qz z件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负动者为负。件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负动者为负。弯矩弯矩弯矩弯矩MM(MMy y或或或或MMz z)的确定的确定：使梁

24、产生上凹使梁产生上凹的确定的确定：使梁产生上凹使梁产生上凹、下凸下凸下凸下凸变形的弯矩为正；反之为负变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负变形的弯矩为正；反之为负。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系FFNFNFQFQ第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯

25、曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程应用截

26、面法确定某指定横截面上的剪力和弯矩应用截面法确定某指定横截面上的剪力和弯矩应用截面法确定某应用截面法确定某一一指定横截面上的剪力和弯矩指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分两部分然后然后考察其中任意考察其中任意一一部分的受力部分的受力由平衡由平衡两部分两部分。然后然后，考察其中任意部分的受力考察其中任意部分的受力，由平衡由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图例

27、题 1 1剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程F例 题 1 1一端固定另一端自由的一端固定另一端自由的梁梁称 为称 为 悬 臂 梁悬 臂 梁(ilM2F lFPBD梁梁，称 为称 为 悬 臂 梁悬 臂 梁(cantileverbeam)。梁承受集中力。梁承受集中力FP及集中力偶及集中力偶MO的作用。的作用。MO=2FPlllAC试确定试确定:截面截面C及截面及截面D上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。C、D截面与截面与加力点无限接近。加力点无限接近。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图FMO=2FPl解解：1 应用静力学平

28、衡方应用静力学平衡方M0剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程PABCDMO2FPl解解：1.应用静力学平衡方应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。程确定固定端的约束力。2.应用截面法确定应用截面法确定C截面上截面上的内力分量的内力分量MA0FPllAC的内力分量的内力分量用假想截面将梁用假想截面将梁C截面处截面处截开截开以左边部分为平衡对象以左边部分为平衡对象截开截开，以左边部分为平衡对象以左边部分为平衡对象。因为外力与梁轴线都在同一。因为外力与梁轴线都在同一平面内平面内，而且没有沿杆件轴而且没有沿杆件轴AMA0平面内平面内，而且没有沿杆件轴而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴

29、力和扭矩，只有剪线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量力和弯矩两种内力分量。AClFP力和弯矩两种内力分量力和弯矩两种内力分量。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图FMO=2F l解：解：2.应用截面法确定应用截面法确定C截面上截面上的内力分量的内力分量剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程MA0FPABCDMO2FPl的内力分量的内力分量假设截开横截面上的剪力和弯假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向矩均为正方向根据截开的局部平根据截开的局部平FPllAC矩均为正方向矩均为正方向。根据

30、截开的局部平根据截开的局部平衡建立平衡方程：衡建立平衡方程：00QP，CyFFFFQCCAMA000P，lFMMMACCFF lFM MCCAFPlPQFFClFMCP所得结果均为正值，这表明所假设所得结果均为正值，这表明所假设的的C截面上的剪力和弯矩的正方向截面上的剪力和弯矩的正方向的的C截面上的剪力和弯矩的正方向截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。是正确的。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图FM=2F l剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程MA0FPABCDMO=2FPlFPllAC解：解：3.应用截面法确定应用

31、截面法确定D截面上的内力分量截面上的内力分量MA0MO=2FPlD用假想截面将梁用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。截面处截开，以左边部分为平衡对象。AFPll剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图M 0FMO=2FPl解：解：3.应用截面法确定应用截面法确定D剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程MA0PABCD截面上的内力分量假设截开横截面上的剪力截面上的内力分量假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向和弯矩均为正方向根据截开根据截开FPllA和弯矩均为正方向和弯矩均为正方向。根据截开根据截开的局部平衡建立

32、平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：M=2F l00PQ，FFFDyFQDMA0MO=2FPlDQyP020DDAOMMMMFlMDAFPllPQFFD0DM剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程解：解：4.讨论讨论FPM=2F l本例中所选择的研究对象都是本例中所选择的研究对象都是C、D截面以左部分梁，因而截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力需要首先确定左端的约束力如如MA0FPABCDMO=2FPl需要首先确定左端的约束力需要首先确定左端的约束力。如如果以果以C、D截面以右部

33、分梁作为平衡对象，则无需确定约束力，截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力，计算过程会更简单计算过程会更简单FPllAC计算过程会更简单计算过程会更简单。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图为了建立剪力方程和弯矩方程为了建立剪力方程和弯矩方程必须首先建立必须首先建立O坐标系坐标系其其剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程

34、为了建立剪力方程和弯矩方程为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立必须首先建立Oxy坐标系坐标系，其其中中O为为坐标原点，坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程几段建立剪力方程和弯矩方程几段建立

35、剪力方程和弯矩方程几段建立剪力方程和弯矩方程。确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设。确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这这一一横截面的坐标为横截面的坐标为x；然后从这然后从这一一横截面处将梁截开横截面处将梁截开，并假设所并假设所这横截面的坐标为这横截面的坐标为x；然后从这横截面处将梁截开然后从这横截面处将梁截开，并假设所并假设所截开的横截面上的剪力截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)的表

36、达式的表达式这就是所要求的剪力方程这就是所要求的剪力方程F(x)和弯矩方程和弯矩方程M(x)M(x)的表达式的表达式，这就是所要求的剪力方程这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方程和弯矩方程M(x)。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和

37、过程是相似的介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。的横截面。需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而是变量，而FQ(x)和和M(x)则是则是x的函数。的函数。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图例例 题题 2 2FM=2F l剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程例例 题题 2 2FPABC CMO=2FPlllAC C悬臂梁在悬臂梁在B、C两处分别承受集中力两处分别

38、承受集中力FP和集中力偶和集中力偶M22FPl的作用。梁的全长为的作用。梁的全长为2l。试写出：试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。梁的剪力方程和弯矩方程。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图解解：1确定控制面和分段确定控制面和分段剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程解解：1确定控制面和分段确定控制面和分段本例将通过考察截开截面的右本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方边部分平衡建立剪力方程和弯矩方y边部分平衡建立剪力方程和弯矩方边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。程，因此可以

39、不必确定左端的约束力。由于梁在固定端由于梁在固定端A处作用有约处作用有约FPMO=2FPlOyx由于梁在固定端由于梁在固定端A处作用有约处作用有约束力、自由端束力、自由端B处作用有集中力、中点处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，处作用有集中力偶，所以，截面截面均为控制面均为控制面因此因此llABC截面截面A、B、C均为控制面均为控制面。因此因此，需要分为，需要分为AC和和CB两段建立剪力和弯矩方程。两段建立剪力和弯矩方程。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程y解：解：2建立

40、建立Oxy坐标系坐标系以梁的左端以梁的左端A为坐标原点为坐标原点，FPMO=2FPlOyx以梁的左端以梁的左端A为坐标原点为坐标原点，建立建立Oxy坐标系。坐标系。llABC剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图建立剪力方程和弯建立剪力方程和弯剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程解：解：3建立剪力方程和弯建立剪力方程和弯矩方程矩方程FPMO=2FPly在在和和两段分别以坐标两段分别以坐标ABOPOxC在在AC和和CB两段分别以坐标两段分别以坐标为为x1和和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力的横截面将梁截开

41、，并在截开的横截面上，假设剪力llx1FQ(x1)、FQ(x2)和弯矩和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡开的右边部分梁的平衡，由平由平x2开的右边部分梁的平衡开的右边部分梁的平衡，由平由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图解解3建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程FPMO=2FPly剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程解解：3建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程

42、对于对于AC段梁的剪力和弯矩方程段梁的剪力和弯矩方程，在在x1处截开后处截开后，考察右边部分的平衡考察右边部分的平衡ABOPOxC在在x1处截开后处截开后，考察右边部分的平衡考察右边部分的平衡。ll根据平衡方程根据平衡方程x1M(x)Q1P00yFFxF 1P1020MM xMFlxFPMO=2FPlFQ(x)M(x)1P1CBFQ(x)l2lx1剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图建立剪力方程和弯建立剪力方程和弯FPMO=2FPl剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程解：解：3建立剪力方程和弯建立剪力方程和弯矩方程矩方

43、程M(x1)CB Q1P00yFFxF 1P1020MM xMFlxFQ(x1)l2lx1得到得到AC段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程：2lx1 lxFxF1P1Q0 lxxFxlFlFxlFMxM11P1PP1P10222剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图解解：3建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程FM=2F ly剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程解解：3建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程FPABMO=2FPlOxC对于对于CB段梁的剪力和弯矩方程段梁的剪力和弯矩方程，在，在x2处

44、截开后，考察右边部分的平衡。处截开后，考察右边部分的平衡。Q2P00yFFxFllABC2根据平衡方程根据平衡方程2P2020MM xFlx得到得到CB段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程：FPx2()M(x2)2lx2BQ2P22FxFlxl2P2222M xFlxlxlFQ(x2)2剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程AC段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程：lxFxF1P1Q0 1P 110M xF xxlCB段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程：

45、Q2P22FxFlxl2P2222M xFlxlxl上述结果表明，上述结果表明，AC段和段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。的线性函数。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图例题例题例题例题 3 3剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程q例题例题例题例题 3 3l ll lBAC一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁(一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为)。梁上承

46、受集度为q的均布载荷作用，梁的的均布载荷作用，梁的pppq长度为2长度为2l。试写出：试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。该梁的剪力方程和弯矩方程。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图q剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程llBAC解：解：1确定约束力确定约束力llFRBFRA因为只有铅垂方向的外力，所以支座因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座与支座B处铅垂方向的处铅垂方向的约束力相同约束力相同。ql

47、FF约束力相同约束力相同于是，根据平衡条件不难求得：于是，根据平衡条件不难求得：qlFFBARR剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图解解2确定控制面和分段确定控制面和分段剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程y解解：2确定控制面和分段确定控制面和分段因为梁上只作用有连续分因为梁上只作用有连续分布载荷布载荷(载荷集度没有突变载荷集度没有突变)，Ox布载荷布载荷(载荷集度没有突变载荷集度没有突变)没有集中力和集中力偶的作用，所以，从没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到到B梁的横截面上梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用的剪

48、力和弯矩可以分别用一一个个BACq的剪力和弯矩可以分别用个的剪力和弯矩可以分别用个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。llBACFRBFRA3建立建立Oxy坐标系以梁的左端坐标系以梁的左端A为坐标原点，为坐标原点，建立建立O坐标系坐标系建立建立Oxy坐标系坐标系，剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图解解：4确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程yxq解解：4确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程以以A、B之间坐标为之

49、间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段xOxllBACFF由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件为研究对象，在截开的截面上标出剪力为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)的正方向。)的正方向。xFQ(x)FRBFRA由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件0yF 0FqxFxxFRAM(x)0M 0 xM xFxqx RQ0AFqxFxx R02AM xFxqx剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图yq解解：4确定剪力方程和弯确定剪力方程和弯剪力方程与弯矩

50、方程剪力方程与弯矩方程OxBACq解解：4确定剪力方程和弯确定剪力方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件矩方程由左段梁的平衡条件llFRBFRA0yF 0M x RQ0AFqxFxFQ(x)得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为 R02AxM xFxqxxM(x)FRA lxqxqlqxFxFA20RQ lxqxqlxxM2022xFRA2剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第7章A 弯曲强度第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图(1)剪力图与弯矩图y剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程OxBACqllBACFRBFRA lxqxqlqxFxFA20RQ lxqxqlxxM