工程力学（静力学与材料力学）－7B－弯曲强度2（应力分析与强度计算）.pdf

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1、课堂教学软件课堂教学软件(7B)2014年年5月月6日日工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology返回总目录返回总目录第第7章章梁的强度梁的强度(2)(2)-应力分析与强度计算应力分析与强度计算工程力学（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学返回总目录返回总目录应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上的剪力和弯矩的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布

2、内力的简化结果内力的简化结果。因此因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确仅仅确定了剪力和弯矩并不能确定横截面上各点内力的大小定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下因为在一般情形下，分布内分布内力在各点的数值是不相等的力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分只有当内力在横截面上的分布规律确定之后布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点的数值在各点的数值。怎样确定横截面上的内力分布规律呢怎样确定横截面上的内力分布规律呢？第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算应力是不可见的应力是不可见的，但变

3、形却是可见的但变形却是可见的，而且二者之间而且二者之间通过材料的物性关系相联系通过材料的物性关系相联系。因此因此，为了确定内力的分布为了确定内力的分布规律规律，必须分析和研究杆件的变形必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与必须研究材料受力与变形之间的关系变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法律的基本方法。第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 弯曲强度计算弯曲强度计算 弯曲剪应力分析弯曲

4、剪应力分析 结论与讨论结论与讨论 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 纯弯曲时，梁横截面上正应力分析纯弯曲时，梁横截面上正应力分析 弯曲正应力公式的应用与推广弯曲正应力公式的应用与推广平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析

5、与强度计算梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念对称面对称面 梁的横截面具有对称轴梁的横截面具有对称轴，所有相同的对所有相同的对称轴组成的平面称轴组成的平面，称为梁的称为梁的对称面对称面(symmetric plane)。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算主轴平面主轴平面 梁的横截面没有对称轴梁的横截面没有对称轴，但是都有通过但是都有通过横截面形心的形心主轴横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的称为梁的主轴平面主轴平面(plane includi

6、ng principal axes)。由于对由于对称轴也是主轴称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然所以对称面也是主轴平面；反之则不然。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算平面弯曲平面弯曲 所有外力所有外力（包括力偶包括力偶）都作用于梁都作用于梁的同一主轴平面内时的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线线，这一曲线位于外力作用平面内这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为这种弯曲称为平面平面弯曲弯曲(plane

7、bending)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算纯弯曲纯弯曲 一一般情形下般情形下，平面弯曲时平面弯曲时，梁的横截面上梁的横截面上一般将有两个内力分量一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩就是剪力和弯矩。如果梁的横截面如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为这种平面弯曲称为纯弯曲纯弯曲(purebending)。在纯弯曲情形下在纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩由于梁的横截面上只有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力

8、因而便只有垂直于横截面的正应力。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算横向弯曲横向弯曲梁在垂直梁轴线的横向力作用下梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截其横截面上将同时产生剪力和弯矩面上将同时产生剪力和弯矩。这时这时，梁的横截面上不仅有正梁的横截面上不仅有正应力应力，还有剪应力还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲这种弯曲称为横向弯曲，简称简称横弯曲横弯曲(transverse bending)。横向弯曲的若干定义与概念横向弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应

9、力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念梁的中性层与横截面的中性轴梁的中性层与横截面的中性轴梁弯曲后梁弯曲后，一些层一些层发生伸长变形发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩在伸长层与缩短层的交界处那一层短层的交界处那一层，既不发生伸长变形既不发生伸长变形，也不发生缩短也不发生缩短变形变形，称为梁的称为梁的中性层中性层或或中性面中性面（neutral surface）。中性中性层与梁的横截面的交线层与梁的横截面的交线，称为截面的称为截面的中性轴中性轴(neu

10、tral axis)。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算分析梁横截面上的正应力分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的横截面的形状和尺寸之间的关系关系。由于横截面上的应力是看不见的由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形而梁的变形是可见的是可见的，应力又和变形有关应力又和变形有关，因此因此，可以根据梁的可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布变形情形推知梁横截面上的正应力分布。纯弯曲时，梁横截面上正应力分析纯弯

11、曲时，梁横截面上正应力分析平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算应力分布应力分布应力公式应力公式变变形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程纯弯曲时，梁横截面上正应力分析纯弯曲时，梁横截面上正应力分析平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算平面弯曲时梁横截面上的正应

12、力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算如果用相邻的两个横截如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为面从梁上截取长度为dx的一的一微段微段，假定梁发生弯曲变形假定梁发生弯曲变形后后，微段的两个横截面仍然微段的两个横截面仍然保持平面保持平面，但是绕各自的中但是绕各自的中性轴转过一角度性轴转过一角度。这一假定这一假定称 为称 为 平 面 假 定平 面 假 定(planeassumption)。应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分

13、析与强度计算应力分析与强度计算应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算在横截面上建立在横截面上建立Oyz 坐标系坐标系，其中其中z 轴轴与中性轴重合与中性轴重合(中性轴的位置尚未确定中性轴的位置尚未确定)，y轴沿横截面高度方向并与加载方向重合轴沿横截面高度方向并与加载方向重合。微段上到中性面的距离为微段上到中性面的距离为y处长度的改处长度的改变量变量，即即ddyx 式中的负号表示式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩坐标为正的线段产生压缩变形；变形；y坐标为

14、负的线段产生伸长变形坐标为负的线段产生伸长变形。应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算ddyx 将线段的长度改变量除以原长将线段的长度改变量除以原长dx，即为即为线段的正应变线段的正应变，于是得到于是得到yxyxx dddd这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式表达式，其中其中xdd1应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯

15、曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算y其中其中 为为中性面弯曲后的曲率半径中性面弯曲后的曲率半径，也就是也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为因为 与与y坐标坐标无关无关，所以在上述二式中所以在上述二式中，为常数为常数。xdd1应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算应用弹性范围内的应力应用弹性范围内的应力-应变关系的胡克定律应变关系的胡克定律yE得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式C

16、yyE 式中式中C为待定的比例常数为待定的比例常数，即即EC其中其中E为材料的弹性模量为材料的弹性模量，是待定的量是待定的量。应用胡克定律确定横截面上的正应力分布应用胡克定律确定横截面上的正应力分布平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算CyyE 这表明这表明，横截面上的弯曲正应横截面上的弯曲正应力力，沿横截面的高度方向从中沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布性轴为零开始呈线性分布。应用胡克定律确定横截面上的正应力分布应用胡克定律确定横截面上的正应力分布平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面

17、上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算这一表达式虽然给出了横这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布截面上的应力分布，但仍然不但仍然不能用于计算横截面上各点的正能用于计算横截面上各点的正应力应力。这是因为尚有两个问题这是因为尚有两个问题没有解决：一是没有解决：一是y坐标是从中坐标是从中性轴开始计算的性轴开始计算的，中性轴的位中性轴的位置还没有确定；二是中性面的置还没有确定；二是中性面的曲率半径曲率半径 也没有确定也没有确定。CyyE 应用胡克定律确定横截面上的正应力分布应用胡克定律确定横截面上的正应力分布平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上

18、的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数为了确定中性轴的位置以及为了确定中性轴的位置以及中性面的曲率半径中性面的曲率半径，现在需要应现在需要应用静力方程用静力方程。根据横截面存在正应力这一根据横截面存在正应力这一事实事实，正应力这一分布力系正应力这一分布力系，在在横截面上可以组成一个轴力和一横截面上可以组成一个轴力和一个弯矩个弯矩。但是但是，根据截面法和平根据截面法和平衡条件衡条件，纯弯曲时纯弯曲时，横截面上只横截面上只能有弯矩一个内力分量能有弯矩一个内力分量，二轴力二轴力必须等于零必须等于零。xzyCdA

19、yzdA平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算于是于是，应用积分的方法应用积分的方法，得到得到0dNFAA()zAMyAd负号表示坐标负号表示坐标y为正值的微面积为正值的微面积dA上上的力对的力对z轴之矩为负值；轴之矩为负值；Mz为作用在为作用在加载平面内的弯矩加载平面内的弯矩，可由截面法求可由截面法求得得。应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzdA平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算()

20、zAMyAdCyyE()zAAMAyCyACydd2zzIMC 应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzdAzI平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算CyyE zzIMC zzM yI=-式中弯矩式中弯矩Mz由截面法平衡求得；截面对于中性轴的惯性矩由截面法平衡求得；截面对于中性轴的惯性矩Iz既与既与截面的形状有关截面的形状有关，又与截面的尺寸有关又与截面的尺寸有关。应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzdA平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的

21、正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算应用静力方程确定中性轴位置应用静力方程确定中性轴位置为了利用上述应力公式计算梁弯曲时横截面上的正应力为了利用上述应力公式计算梁弯曲时横截面上的正应力，还还需要确定中性轴的位置需要确定中性轴的位置。zzM yI=-将正应力表达式代入静力方程将正应力表达式代入静力方程0dNFAAdd0AACy A C y ACy=平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算zzM yI=根据截面的静矩定义根据截面的静矩定义，式中的积分即为横截面面积对于式

22、中的积分即为横截面面积对于z轴的静矩轴的静矩Sz。又因为又因为C 0，静矩必须等于零：静矩必须等于零：dd0AACy A C y A0AzydAS前面讨论静矩与截面形心之间的关系时前面讨论静矩与截面形心之间的关系时，已经知道：截面对于某已经知道：截面对于某一轴的静矩如果等于零一轴的静矩如果等于零，这一轴一定通过截面的形心这一轴一定通过截面的形心。在分析正应力在分析正应力、设置坐标系时设置坐标系时，指定指定z轴与中性轴重合轴与中性轴重合。应用静力方程确定中性轴位置应用静力方程确定中性轴位置Sz平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强

23、度计算应力分析与强度计算zzM yI=-0ddAAAyCACy0dAzAyS上述结果表明上述结果表明，中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心，并且垂直于对称轴并且垂直于对称轴，所以所以，确定中性轴的位置就是确定截面的形心位置确定中性轴的位置就是确定截面的形心位置。对于有两根对称轴的截面对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形两根对称轴的交点就是截面的形心心。例如例如，矩形截面矩形截面，圆截面圆截面，圆环截面等圆环截面等，这些截面的形心很这些截面的形心很容易确定容易确定。对于只有一根对称轴的截面对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的截面的形心或者没有对称轴的截面的形心，也可以从有

24、关的设计手册中查到也可以从有关的设计手册中查到。应用静力方程确定中性轴位置应用静力方程确定中性轴位置平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的这些点的y坐标值最大坐标值最大，即即y=ymax。将将y=ymax代入正应力公式得到代入正应力公式得到zzM yI=maxmaxzzzzM yMIW

25、=称为弯曲截面系数，单位是称为弯曲截面系数，单位是mmmm3 3或或m m3 3。maxzzIWy平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算yzbh3212622zzbhIbhWhh=3212622yyhbIhbWbb=43643222yzdIdWWWdd=zyd最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算zzzzWMIyM=maxmaxmaxzzIWy()()44341

26、1643222yzDDIWWWDD=dD最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量zydD平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算梁弯曲后其轴线的曲率计算公式梁弯曲后其轴线的曲率计算公式这是梁弯曲时的另一个重要公这是梁弯曲时的另一个重要公式式梁的轴线弯曲后的曲率的数学梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式表达式。其中其中EIz称为梁的弯曲刚度称为梁的弯曲刚度。CyyE zzM yI=-zzEIM1这一结果表明这一结果表明，梁的轴线弯曲后梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成

27、与弯曲刚度成反比反比。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算计算梁弯曲时横截面上的最大正应力计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，注意以下几点是很重注意以下几点是很重要的：要的：计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题首先是正应力的正负号首先是正应力的正负号，决定正应力是拉应力还是压应力决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的

28、那一点的位确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置置，以及以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系这一关系，就就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。弯曲正应力公式的应用与推广弯曲正应力公式的应用与推广平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题首先是正应力的正负号首先是正应力的正负号：决定正应力是拉应力还是压应力决定正应力是拉应力还是压应力。确定

29、正应力正负号比较简单的方确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置所要求应力的那一点的位置，以及以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩矩”这一关系这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。xyzMzMy+平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应

30、力需要注意的几个问题其次是最大正应力的计算其次是最大正应力的计算maxmaxzzM yI+=maxmaxzzM yI=如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一并且加载方向与其中一根对称轴一致时根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等应力绝对值相等。如果梁的横截面只有一根对称轴如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致而且加载方向与对称轴一致，则中则中性轴过截面形心并垂直对称轴性轴过截面形心并垂直对称轴。这时这时，横截面上最大拉应力与最大压应力

31、横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等绝对值不相等，可由下列二式分别计可由下列二式分别计算：算：在实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果的后面用在实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果的后面用括号注明括号注明“拉拉”或或“压压”。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题maxmaxzzM yI+=maxmaxzzM yI=平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(

32、2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题要特别关注弯矩最大横截面上的最大正应力要特别关注弯矩最大横截面上的最大正应力某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力力，应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面这些截面称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不保证梁安全工作

33、而不发生破坏发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值数值。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲以上有关纯弯曲的正应力的公式以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于非纯弯曲对于非纯弯曲，也就是也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形，如果是细长杆如果是细长杆，也是也是近似适用的近似适用的。理论与实验结果都表明理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在由于剪应力的

34、存在，梁梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面的横截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲而是要发生翘曲，这这种翘曲对正应力分布的影响是很小的种翘曲对正应力分布的影响是很小的。对于细长梁这种影响更对于细长梁这种影响更小小，通常都可以忽略不计通常都可以忽略不计。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算例题例题 1矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组

35、成的平面的平面，称为水平对称面称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为力偶矩为Me，力偶作用在铅垂对称面内力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端试画出梁在固定端处横截面上的正应力分布图处横截面上的正应力分布图。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算解：解：1.确定固定端处横截面上的弯矩确定固定端处横截面上的弯矩根据梁的受力根据梁的受力，从固定端处将梁截开从固定端处将梁截开，考虑右边部分的考虑右边部分的平衡平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩可以求得固定端处梁截面上的

36、弯矩:MMe。这一梁这一梁的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩Me。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算解：解：2.确定中性轴的位置确定中性轴的位置中性轴中性轴中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴(y)垂直垂直。因因此此，z轴就是中性轴轴就是中性轴。3判断横截面上承受拉应力和压应力的区域判断横截面上承受拉应力和压应力的区域根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应

37、力；横截面中性轴以下各点均受拉应力力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算中性轴中性轴3判断横截面上承受拉应力和压应力的区域判断横截面上承受拉应力和压应力的区域根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。4画梁在固定端截面上正应力分布图画梁在固定端截面上正应力分布图根据正应力公式根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度横截面上正应力沿截面高度（y）按按

38、直线分布直线分布，在上在上、下边缘正应力最大下边缘正应力最大。本例题中本例题中，上边缘承上边缘承受最大压应力；下边缘承受最大拉应力受最大压应力；下边缘承受最大拉应力。于是可以画出固定于是可以画出固定端截面上的正应力分布图端截面上的正应力分布图。平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算例题例题 2矩形截面简支梁承受均布载荷作用矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度已知：矩形的宽度b=20mm，高度高度h30mm；均布载荷集度；均布载荷集度q10 kN/m；梁的；梁的长度长度l450mm。求：梁最大弯

39、矩截面上求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力两点处的正应力。l/2l/2平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算l/2l/2解：解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值根据静力学平衡方程根据静力学平衡方程 MA0 和和 MB0，可以求得可以求得支座支座A和和B处的约束力分别为处的约束力分别为N1025.2210450mm10kN/m1023-33RR=qlFFBAFRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分

40、析与强度计算应力分析与强度计算解：解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值3RR2 25 10 N2.ABqlFF=梁的中点处横截面上弯矩最大梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为数值为mN10253.08)10450mm(10kN/m10832-332max=qlMl/2l/2FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算解：解：2.计算惯性矩计算惯性矩根据矩形截面惯性矩的公式根据矩形截面惯性矩的公式,本例题中本例题中，矩形截面矩形截面对对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为483

41、-3-33m105412)10mm30(10mm2012=.bhIzl/2l/2FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算解：解：3求弯矩最大截面上求弯矩最大截面上1、2两点的正应力两点的正应力均布载荷作用在纵向对称面内均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对因此横截面的水平对称轴称轴(x)就是中性轴就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可可以判断：以判断：1点受拉应力点受拉应力，2点受压应力点受压应力。1 1、2两点到中性轴的距离分别为两点到中性轴的距离分别

42、为m105.741030442331=hhhym1015210302332=hyl/2l/2FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算解：解：3求弯矩最大截面上求弯矩最大截面上1、2两点的正应力两点的正应力FRAFRB317 5 10 m.y=3215 10 my=于是于是，在弯矩最大截面上在弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为两点的正应力分别为()42.2MPaPa104220m104.5m105710m0.253N1848-331max=.zIyM()84.2MPaPa108420m104

43、.5m101510m0.253N2348-332max=.zIyM平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算例题例题 3丁字形截面简支梁在中点承受集中力丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP32kN，梁的长梁的长度度l=2m。丁字形截面的形心坐标丁字形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于横截面对于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz=1.02 108mm4。求：弯矩最大截面上的最大拉求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力应力和最大压应力。C平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B

44、弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算CMmax解：解：1确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值根据静力学平衡方程根据静力学平衡方程 MA0 和和 MB0，可以求得支可以求得支座座A和和B处的约束力分别为处的约束力分别为FRAFRB16 kN。根据内力分析根据内力分析，梁中点的截面上弯矩最大梁中点的截面上弯矩最大，数值为数值为Pmax16kN m4F lM=FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算FRAFRBC2确定中性轴的位置确定中性轴的位置丁字形

45、截面只有一根对称轴丁字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴而且载荷方向沿着对称轴方向方向，因此因此，中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴，z轴轴就是中性轴就是中性轴。中性轴中性轴平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算3确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离根据中性轴的位置和中间截面上最大弯矩的实际方向根据中性轴的位置和中间截面上最大弯矩的实际方向，可可以确定中性轴以上部分承受压应力；中性轴以下部分承受拉应以确定中性轴以上

46、部分承受压应力；中性轴以下部分承受拉应力力。最大拉应力作用点和最大压应力作用点分别为到中性轴最最大拉应力作用点和最大压应力作用点分别为到中性轴最远的下边缘和上边缘上的各点远的下边缘和上边缘上的各点。由截面尺寸由截面尺寸，可以确定最大拉可以确定最大拉应力作用点和最大压应力作用点到中性轴的距离分别为：应力作用点和最大压应力作用点到中性轴的距离分别为：FRAFRB中性轴中性轴mm6.1534.9650200max=+ymm4.96max=y平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算C4计算弯矩最大截面上的最大拉应力

47、和最大压应力计算弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力()3-36maxmax484316kN m 10135.6mm 1024 09 10 Pa24 09MPa1.02 10 mm10.zMyI+=()3-36maxmax484316kN m 1096 4mm 1015 12 10 Pa15 12MPa1 02 10 mm10.zMyI=FRAFRB中性轴中性轴C平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分

48、析与强度计算zzISF*Q=*Qd1ddzzzzAF SMy AIxI=弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 实心截面梁的弯曲剪应力公式实心截面梁的弯曲剪应力公式弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算弯曲剪应力公式应用于实心截面梁弯曲剪应力公式应用于实心截面梁弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算矩形矩形截面AFQmax23=A弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章

49、章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算圆截面AFQmax34=A弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算圆环截面AFQmax02.=A弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算工字钢截面()maxQmaxSIF/=maxSI/由型钢表查得由型钢表查得弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 弯曲强度计算弯曲强度计算第第7 7章章B B 弯曲强

50、度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 弯曲时的可能危险面弯曲时的可能危险面 弯曲时的可能危险点弯曲时的可能危险点 基于最大正应力和最大剪应力基于最大正应力和最大剪应力的强度条件的强度条件 弯曲许用应力弯曲许用应力 弯曲强度设计过程弯曲强度设计过程 应用举例应用举例第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度(2)(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算 弯曲时的可能危险面弯曲时的可能危险面弯曲强度计算弯曲强度计算第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力分析与强度计算应力分析与强度计算maxM作用面QmaxF作用面弯曲强度计算弯曲强度计算第第7章章B 弯曲强度弯曲强度(2)应力