工程力学（静力学与材料力学）－8－弯曲刚度.pdf

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1、课堂教学软件课堂教学软件(8)2014年年5月月6日日工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology返回总目录返回总目录第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度工程力学（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学返回总目录返回总目录上一章的分析结果表明上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯梁的轴线将弯曲成平面曲线曲成平面曲线。如果变形太大如果变形太大，也会影响构件正常工作也会影响构件正常工作。因此因此，对对机器中的零件或部件以及土木工

2、程中的结构构件进行设计时机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时，除了除了满足强度要求外满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在即将其变形限制在一定的范围内一定的范围内。为此为此，必须分析和计算梁的变形必须分析和计算梁的变形。另一方面另一方面，某些机械零件或部件某些机械零件或部件，则要求有较大的变形则要求有较大的变形，以减以减少机械运转时所产生的振动少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例汽车中的钣簧即为一例。这种情形下这种情形下也需要研究变形也需要研究变形。此外此外，求解静不定梁求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程也必须考

3、虑梁的变形以建立补充方程。第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度本章将在上一章得到的曲率公式的基础上本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的挠度建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程确定挠度曲线方程。在此基础上在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法形的叠加法。此外此外，还将讨论简单的静不定梁的求解问题还将讨论简单的静不定梁的求解问题。第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简单的静不定梁简单的

4、静不定梁 结论与讨论结论与讨论 弯曲刚度计算弯曲刚度计算 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的曲率与位移梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度在平面弯曲的情形下在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的这一曲线

5、称为梁的挠度曲线挠度曲线（deflection curve）。梁的曲率与位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度根据上一章所得到的结果根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的的曲率与这一点处横截面上的弯矩弯矩、弯曲刚度之间存在下列弯曲刚度之间存在下列关系：关系：EIM1梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的曲率与位移梁在弯曲变形后梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变横截面的位置将发生改变，这种位置的改这种位置的改变称为变称为位移位移(displacement)。梁的位移包

6、括三部分：梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移横截面形心处的铅垂位移，称为称为挠度挠度（deflection），用用w表示；表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角称为转角（slope），用用 表示；表示；挠度与转角的相互关系梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移轴向位移或水平位移水平位移（horizontal displacement），用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。梁在弯曲变形后，横截面的

7、位置将发生改变，这种位置的改变称为位移位移(displacement)。梁的位移包括三部分：挠度与转角的相互关系梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度在在Oxw坐标系中坐标系中，挠度与转角存挠度与转角存在下列关系：在下列关系：在小变形条件下在小变形条件下，挠度曲线较为挠度曲线较为平坦平坦，即即 很小很小，因而上式中因而上式中tan。于是有于是有tandd=xw=xwddw w（x），称为挠度方程（），称为挠度方程（deflection equation）。）。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的位移分析的工程意义位移分析中所涉及的梁的

8、变形和位移位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹都是弹性的性的。尽管变形和位移都是弹性的尽管变形和位移都是弹性的，但在工程设计但在工程设计中中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效即发生刚度失效。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度机械传动机构中的齿轮轴机械传动机构中的齿轮轴，当变当变形过大时形过大时(图中虚线所示图中虚线所示)，两齿轮的啮两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角合处将产生较大的挠度和转角，这就会这就会影响两个齿轮

9、之间的啮合影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正以致不能正常工作常工作。同时同时，还会加大齿轮磨损还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很同时将在转动的过程中产生很大的噪声大的噪声。此外此外，当轴的变形很大时当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转轴在支承处也将产生较大的转角角，从而使轴和轴承的磨损大大增加从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿降低轴和轴承的使用寿命命。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度在工程设计中还有另外一类问题在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不所考虑的不是限制构件的弹性位移是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强而是希

10、望在构件不发生强度失效的前提下度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移尽量产生较大的弹性位移。例如例如，各种车辆中用于减振的钣簧各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的都是采用厚度不大的板条叠合而成板条叠合而成，采用这种结构采用这种结构，钣簧既可以承受很钣簧既可以承受很大的力而不发生破坏大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变同时又能承受较大的弹性变形形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到收到抗振和抗冲击的效果抗振和抗冲击的效果。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第

11、第8章章 弯曲刚度弯曲刚度梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 小挠度微分方程小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 小挠度微分方程小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM=123222dd1dd1+=xwxw小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度小挠度情形下小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与对于弹性曲

12、线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。坐标的取向有关。2d1dwxMxw,小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度采用向下的采用向下的w坐标系，有坐标系，有EIMxw=22dd小挠度微分方程小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度EIMxw=22dd对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对代入上式后，分别对x作不定积分作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转得到包含积分常数的挠度方程与

13、转角方程：角方程：()dddlM xwxCxEI=+()DCxxxEIxMwll+=dd其中其中C、D为积分常数。为积分常数。小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 小挠度微分方程的积分与小挠度微分方程的积分与积分常数的确定积分常数的确定梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于

14、零：约束条件为挠度等于零：w=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：的挠度、转角对应相等：w1=w2，1 12 2等等。等等。在固定端处在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。小挠度微分方程的积分与积分常数的确定梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度例 题 1求：求：梁的弯曲挠度与转角梁的弯曲挠度

15、与转角方程，以及最大挠度和最大转方程，以及最大挠度和最大转角。角。已知：已知：左端固定、右端自左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为均布载荷集度为q，梁的弯曲，梁的弯曲刚度为刚度为EI、长度为、长度为l。q、EI、l均已知。均已知。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：1建立建立Oxw坐标系坐标系建立建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。无需

16、分段。2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程Oxw梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度从坐标为从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：解：解：2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程()()21()02M xq lxxl=xM(x)FQ(x)梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度3 建立微分方程并积分建立

17、微分方程并积分Oxw解：解：2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程()()21()02M xq lxxl=将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得()212EIwMq lx=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分Oxw积分后，得到积分后，得到()212EIwMq lx=()316EIwEIq lxC=+()4124EIwq lxCxD=+梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：4 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数固定端处的

18、约束条件为：固定端处的约束条件为：()316EIwEIq lxC=+()4124EIwq lxCxD=+00 xw=，d00dwxx=，=33,624qlCqlD=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：5 确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程()316EIwEIq lxC=+()4124EIwq lxCxD=+33,624qlCqlD=()336qlxlEI=()434424qwlxl xlEI=+梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：6 确定最大挠度与最大转角()336qlxlEI=()43442

19、4qwlxl xlEI=+从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。于是，将 x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：3max6BqlEI=4max8BqlwwEI=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度例例 题题 2 2求：求：加力点加力点B的挠度和的挠度和支承支承A、C处的转角。处的转角。已知：已知：简支梁受力如简支梁受力如图所示。图所示。FP、EI、l均为已均为已知。知。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：1 确定梁约束力确定梁约束力因为因为B处作用有集中力处作用有集中力FP

20、，所以需要分为，所以需要分为AB和和BC两段两段建立弯矩方程。建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得梁在支承梁在支承A、C二处的约束力分别二处的约束力分别如图中所示。如图中所示。2 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程在图示坐标系中，为确定梁在在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端弯矩，只需要考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4；而确定梁在；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4和荷载和荷载FP。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度

21、微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度AB段段解：解：2 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程BC段段于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为()1P3044lMxF xx=()2PP3444llMxF xFxxl=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分()211P2d30d44wlEIMxF xxx=()1P3044lMxF xx=()2PP3444llMxF xFxxl=()222PP2d3d444wllEIMxF xFxx

22、lx=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：3 将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分挠度微分方程并分别积分积分后，得积分后，得()211P2d30d44wlEIMxF xxx=()222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx=12P183CxFEI+=22P2P242183ClxFxFEI+113P181DxCxFEIw+=223P3P246181DxClxFxFEIw+其中，其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与段与BC段梁交界处的连续条件确定。段梁

23、交界处的连续条件确定。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：4 利用约束条件和连续利用约束条件和连续条件确定积分常数条件确定积分常数12P183CxFEI+=22P2P242183ClxFxFEI+113P181DxCxFEIw+=223P3P246181DxClxFxFEIw+在支座在支座A、C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x0，w10;xl，w20 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即xl/4，w

24、1w2;xl/4，1=2梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：4 利用约束条件和连续利用约束条件和连续条件确定积分常数条件确定积分常数12P183CxFEI+=22P2P242183ClxFxFEI+113P181DxCxFEIw+=223P3P246181DxClxFxFEIw+x0，w10;xl，w20 xl/4，w1w2;xl/4，1=2D1D2=02P211287lFCC=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：5 确定转角方程和挠度确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转方程以及指

25、定横截面的挠度与转角角将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得得到梁的转角和挠度方程为：到梁的转角和挠度方程为：()22P378128FxxlEI=+AB段段BC段段()+=xlxEIFxw23P128781()222P317824128FlxxxlEI=+()+=xllxxEIFxw233P128746181据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角的转角分别为分别为EIlFwB3P2563=2P7128AF lEI=2P5128BF lEI=梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 确定约束力确定

26、约束力,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度在很多工程计算手册中在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷

27、作用下的挠度和转角表达式一一列出在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称简称为挠度表为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力以及在小变形条件下的力的独立作用原理的独立作用原理，采用采用叠加法叠加法（superposition method）由现由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法应用于间断

28、性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度当梁上受有几种不同的载荷作用时当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得由挠度表查得这些情形下的挠度和转角这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果便得到几种载荷同时作用的结果。叠加法应用于多个载荷作用

29、的情形叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度已知已知：简支梁受力如简支梁受力如图所示，图所示，q、l、EI均为已均为已知。知。求求：C截面的挠度截面的挠度wC；B截面的转角截面的转角 B。例 题3叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度321CCCCwwww+=解：解：1.将梁上的载荷变将梁上的载荷变为三种简单的情形。为三种简单的情形。123BBBB=+叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：2.由挠度表查得由挠度表查得三三种情形下种情形下C截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角

30、截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845=,EIqlEIqlEIqlBBB33323131161241=叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：3.应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加作用时的结果分别叠加将上述结果按代数值相加，将上述结果按代数值相加，分别得到梁分别得到梁C截面的挠度和支座截面的挠度和支座B处的转角处的转角:,EIqlwwiCiC43138411=EIqliBiB3314811=叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 叠加法应用于

31、间断性叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形分布载荷作用的情形叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。法。叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章

32、章 弯曲刚度弯曲刚度已知已知：悬臂梁受力悬臂梁受力如图所示，如图所示，q、l、EI均为均为已知。已知。求求：C截面的挠度截面的挠度wC和和转角转角 C。例例 题题 4 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：1.首先，将梁上的载荷首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形变成有表可查的情形为了利用挠度表中关于为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端结果，计算自由端C处的挠度处的挠度和转角，先将均布载荷延长和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在来载荷作用的效果，

33、在AB段段还需再加上集度相同、方向还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。相反的均布载荷。叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度分别画出这两种情形下的挠分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为端的挠度和转角分别为解：解：2再将处理后的梁分解为再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角简单载荷引起的挠度和转角叠加法确定梁的挠度与转角

34、叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度两种情形下自由端的挠度和转两种情形下自由端的挠度和转角分别为角分别为解：解：2再将处理后的梁分解为简再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角载荷引起的挠度和转角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI=+=EIqlEIqlCC323148161=,叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：3将简单载荷作用的结果将简单载荷作用的结果叠加叠加,EIqlwwiCiC42138441=EIqliCiC3214

35、87=叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度返回返回 刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义 梁的梁的刚度条件刚度条件弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过

36、大啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。会增加轴承的磨损等等。刚度计算的工程意义弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的梁的刚度条件刚度条件弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度或者指定截面处的挠度和转角和转角)限制在一定范围

37、内，即满足弯曲限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件刚度条件：上述二式中上述二式中 w 和和 分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。不同零件或构件的工艺要求而确定。wwmax max 梁的刚度条件弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度已知：已知：钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的处的许用转角许用转角 =0.5。试求：试求：根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。B例 题

38、5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度解：解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。骤计算。B1查表确定查表确定B处的转角处的转角EIlaFB3P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为处的转角为弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度1查表确定查表确定B处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为处的转角为

39、BEIlaFB3P2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径 B根据设计要求根据设计要求，有有弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度B2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求根据设计要求，有有 B其中其中，的单位为的单位为rad（弧度弧度），而而 的单位为的单位为（）（度度），考虑到单位的一致性考虑到单位的一致性，将有关数据代入后将有关数据代入后，得到轴的直径得到轴的直径111mmm10111m100.52063101802120643-493=d弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 简单的静不定梁简单的静不定梁第第8

40、章章 弯曲刚度弯曲刚度 多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数 求解静不定梁的基本方法求解静不定梁的基本方法 求解静不定梁示例求解静不定梁示例简单的静不定梁简单的静不定梁第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁静不定次数静不定次数未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构静定问题与静定结构未知力（内力或外力）个数未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构未知力个数多于独立未知力个数多于独立的平衡方程数的平衡

41、方程数多余约束多余约束保持结构静定保持结构静定多余的约束多余的约束 多余约束与静不定次数第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁 求解静不定梁的基本方法求解静不定梁的基本方法第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁静定与静定与静不定问题静不定问题的辩证关系的辩证关系由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相

42、联系的，因而多余约束又为求而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。解静不定问题提供了条件。求解静不定梁的基本方法第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁求解静不定问题的基本方法根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间

43、的物理关系，即物理方程或并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（称本构方程（constitutive equations）。将这二者联立才能找到求解）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。静不定问题所需的补充方程。可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第8章章中将要分析正应力的方法是相似的。中将要分析正应力的方法是相似的。第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁 求解静不

44、定梁示例求解静不定梁示例第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁3-3=0lMAABFAyFAxq 求解静不定梁示例第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁4-3=1lABMAFAyFAxFB 求解静不定梁示例第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁532633FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静

45、定梁自由端B处水平位移处水平位移u=0。既然。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAxFBx=0。FBxBlAMAFAyFAxFBy第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量FAxFBx=0。()()0=+=ByBBBFwqwwFBxBlAMAFAyFAxFBy第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度FAxFBx=0。因此，求解这种静不定问题只需。因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。可以个补充方程。可

46、以写出变形协调方程为写出变形协调方程为简单的静不定梁简单的静不定梁应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFBy第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=q l/2,MA=MB对于两端固定的梁，同对于两端固定的梁，同样有样有FBx=0，但这时的多余，但这时的多余约束力除约束力除FBy外，又增加了外，又增加了MB，于是需要两个补充方，于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对这种梁不仅结构和约

47、束都对称，而且外加载荷也是对称称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：面。于是可以确定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁FAx=FBx=0,FAy=FBy=q l/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2应用对称性分析可以推知某些未知量第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁与未知力偶与未知力偶MB对应的约束是对截面对应的约束是对截面B转角的转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为限制，故这种情形下的变形协调方程为()()()0=+ByBBBBFqMMBBlAMA

48、ql/2ql/2第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁例例 题题5求求:梁的约束力。梁的约束力。已知：已知：A端固定、端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为端铰支梁的弯曲刚度为EI，长度为长度为l。BAl第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁解：解：1.列出平衡方程列出平衡方程2.列出变形协调方程列出变形协调方程FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁3.列出物性关系列出物性关系2.列出变形协调方程列出变形协调方程wB=wB(q

49、)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl 3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁解：解：4.综合求解综合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0联立解出联立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl 3/3EIFBy=3ql/8 ,FAx=0 ,MA=ql2/8FAy=5ql/8 ,BlAMAFAyFAxFB第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度简单的静不定梁简单的静不定梁结论与讨论结论与讨论第

50、第8章章 弯曲刚度弯曲刚度结论与讨论结论与讨论 关于变形和位移的相互关系关于变形和位移的相互关系 关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 关于求解静不定问题的讨论关于求解静不定问题的讨论 关于静不定结构性质的讨论关于静不定结构性质的讨论 提高刚度的途径提高刚度的途径第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度 关于变形和位移的相互关系关于变形和位移的相互关系结论与讨论结论与讨论第第8章章 弯曲刚度弯曲刚度二梁的受力二梁的受力(包括载荷与约束力包括载荷与约束力)是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？正确回答这