工程力学（静力学与材料力学）－10－组合受力与变形时的强度计算.pdf

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1、课堂教学软件课堂教学软件(10)2014年年6月月8日日工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology返回总目录返回总目录第第10章章组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算工程力学（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学返回总目录返回总目录前面几章中，分别讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的前面几章中，分别讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度问题。强度问题。组合受力与变形时组合受力与变形时，杆件的危险截面和危险点的位置以及危杆件的

2、危险截面和危险点的位置以及危险点的应力状态都与基本受力与变形时有所差别险点的应力状态都与基本受力与变形时有所差别。第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算工程上还有一些构件在复杂载荷作用下，其横截面上将同时工程上还有一些构件在复杂载荷作用下，其横截面上将同时产生两个或两个以上内力分量的组合作用，例如两个不同平面内产生两个或两个以上内力分量的组合作用，例如两个不同平面内的平面弯曲组合、轴向拉伸（或压缩）与平面弯曲的组合、平面的平面弯曲组合、轴向拉伸（或压缩）与平面弯曲的组合、平面弯曲与扭转的组合。这些情形统称为组合受力与变形。弯曲与扭转的组合。这些情形统称为组合受力

3、与变形。对组合受力与变形的杆件进行强度计算对组合受力与变形的杆件进行强度计算，首先需要综合考虑首先需要综合考虑各种内力分量的内力图各种内力分量的内力图，确定可能的危险截面；进而根据各个内确定可能的危险截面；进而根据各个内力分量在横截面上所产生的应力分布确定可能的危险点以及危险力分量在横截面上所产生的应力分布确定可能的危险点以及危险点的应力状态；从而选择合适的强度理论进行强度计算点的应力状态；从而选择合适的强度理论进行强度计算。本章将介绍杆件在斜弯曲本章将介绍杆件在斜弯曲、拉伸拉伸（压缩压缩）与弯曲组合与弯曲组合、弯弯曲与扭转组合以及薄壁容器承受内压时的强度问题曲与扭转组合以及薄壁容器承受内压时

4、的强度问题。第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算 结论与讨论结论与讨论第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算 斜弯曲斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合返回总目录返回总目录 斜弯曲斜弯曲第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算 产生斜弯曲的加载条件产生斜弯曲的加载条件 叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 斜弯曲时横截面上的最大正应力斜弯曲时横截面上的最

5、大正应力第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲 斜弯曲时强度条件斜弯曲时强度条件 产生斜弯曲的加载条件产生斜弯曲的加载条件第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲当外力施加在梁的对称面当外力施加在梁的对称面(或主轴平面或主轴平面)内时内时，梁将产生梁将产生平面弯曲平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是但是这一平面不是对称面对称面(或主轴平面或主轴平面)，梁也将会产生弯曲梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲但不是平面弯曲，这种弯曲称为这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲(ske

6、w bending)。产生斜弯曲的加载条件产生斜弯曲的加载条件第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲还有一种情形也会产生斜弯曲还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都这就是所有外力都作用在对称面作用在对称面(或主轴平面或主轴平面)内内，但不是同一对称面但不是同一对称面(梁的梁的截面具有两个或两个以上对称轴截面具有两个或两个以上对称轴)或主轴平面内或主轴平面内。产生斜弯曲的加载条件产生斜弯曲的加载条件第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形

7、杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲 叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，在小变形在小变形的条件下的条件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内(或或主轴平面主轴平面)的平面弯曲的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加一点应力的代数值相加，便得到斜弯曲在该点的应力便得到斜弯曲在该点

8、的应力值值。第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲以矩形截面为例以矩形截面为例，当梁的横截面上同时作用两个弯矩当梁的横截面上同时作用两个弯矩My和和Mz(二者分别都作用在梁的两个对称面内二者分别都作用在梁的两个对称面内)时时，两个弯矩在同一两个弯矩在同一点引起的正应力叠加后点引起的正应力叠加后，得到总得到总的应力分布图的应力分布图。Mz第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲 斜弯曲时横截面上的最大正应力斜弯曲时横截面上的最大正应力第第1010章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度

9、计算斜弯曲斜弯曲+maxmax最大正应力最大正应力由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应最大压应力也发生在同一点力也发生在同一点，因此因此，叠加后叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处正应力必然发生在矩形截面的角点处。Mz第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲zzyyWMWM+maxzzyyWMWMmax由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应最大压应力也发生在同一点力也发生在同一点，因此因此，叠加后

10、叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处正应力必然发生在矩形截面的角点处。+maxmax第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲上式不仅对于矩形截面上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面而且对于槽形截面或或工字形截面也工字形截面也是适用的是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点拉应力和最大压应力都发生在同一点。zzyyWMWM+maxzzyyWMWMmax最大正应力叠加公式应用限制最大正应力叠加公式应用限制第第1

11、0章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲？对于圆截面，上述公式是否正确对于圆截面，上述公式是否正确+=zzyyxWMWMmaxmaxmaxzzyyxWMWMmaxmaxmax+=+第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲对于圆截面对于圆截面，上述计算公式是不适用的上述计算公式是不适用的。这是因为这是因为，两个对称两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不最大压应力也不发生在同一点发生在同一点。MyMz()yM+max()yMmax()zMmax()zM

12、+maxyzx第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲对于圆截面对于圆截面，因为过形心的任因为过形心的任意轴均为截面的对称轴意轴均为截面的对称轴，所以当横所以当横截面上同时作用有两个弯矩时截面上同时作用有两个弯矩时，可可以将弯矩用矢量表示以将弯矩用矢量表示，然后求二者然后求二者的矢量和的矢量和，这一这一合合矢量仍然沿着横矢量仍然沿着横截面的对称轴截面的对称轴方向方向，合合弯矩的作用弯矩的作用面仍然与对称面一致面仍然与对称面一致，所以平面弯所以平面弯曲的公式依然适用曲的公式依然适用。yzMyMzM()Mmax()M+max第第10章章 组合受力与变形杆件

13、的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲于是于是，圆截面上的最大拉应力圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为和最大压应力计算公式为yzMyMzM()Mmax()M+maxWMMWMzy22max+22maxyzMMMWW+第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲还可以证明还可以证明，在斜弯曲情形下在斜弯曲情形下，横截面依然存在横截面依然存在中性轴中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂但不垂直于加载方向直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一一。斜弯曲情形下横截面

14、上的中性轴斜弯曲情形下横截面上的中性轴第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲 斜弯曲时强度条件斜弯曲时强度条件第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲斜弯曲时强度条件在在最大正应力作用点只有正应力作用最大正应力作用点只有正应力作用，因此因此，斜斜弯曲时的强度条件与平面弯曲时完全相同弯曲时的强度条件与平面弯曲时完全相同，即即下下式依式依然适用：然适用：max第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲一般生产车间所用的吊车大梁一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑两端由

15、钢轨支撑，可可以简化为简支梁以简化为简支梁。图中图中l=2 m。大梁由大梁由32a热轧普通工字钢热轧普通工字钢制成制成，许用应力许用应力 160MPa。起吊的重物的重量起吊的重物的重量FP80kN，并且作用在梁的中点并且作用在梁的中点，作用线与作用线与y轴之间的夹角轴之间的夹角 5。试校核试校核:吊车大梁的强度是否安全吊车大梁的强度是否安全？例 题 1第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲解：解：1.首先首先，将斜弯曲分解为两将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加个平面弯曲的叠加将将FP分解为分解为x和和y方向的两个方向的两个分力分力FPz和和FPy，将斜

16、弯曲分解为两将斜弯曲分解为两个平面弯曲个平面弯曲，cossinPPPPFFFFyz=,dc第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲解：解：2.求两个平面弯曲情形下求两个平面弯曲情形下的最大弯矩的最大弯矩根据前几节的例题所得到的根据前几节的例题所得到的结果结果，简支梁在中点受力的情形简支梁在中点受力的情形下下，最大弯矩最大弯矩Mmax=FPl/4。将其将其中的中的FP分别替换为分别替换为FPz和和FPy，便便得到两个平面弯曲情形下的最大得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩：弯矩：()PzPmaxPsin44zFlFlMF=4cos4)(PPPmaxlFlFF

17、Myy=dc第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲解：解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力在在Mmax(FPy)作用的截面上作用的截面上，截面上边缘的角点截面上边缘的角点a、b承受最大压应力；下边缘的角点承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最大拉应力承受最大拉应力。+第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲解：解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力在在Mmax(FPz)作用的截面上作用的截面上，截面上角点截面上角点b、d 承受最

18、承受最大压应力；角点大压应力；角点a、c 承受最大拉应力承受最大拉应力。d+c第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲两个平面弯曲叠加的结果是：角点两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；承受最大拉应力；角点角点b承受最大压应力承受最大压应力。因此因此b、c两点都是危险点两点都是危险点。这两点这两点的最大正应力数值相等的最大正应力数值相等，即即解：解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力()()()zyyzWFMWFMcbPmaxPmaxmax+,zyWlFWlF4cos4sinPP+=b()Mmaxc()M

19、+max第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲解：解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力()PPmaxsincos44,yzFlFlb cWW=+其中其中l=4 m，FP=80 kN，=5。另外从型钢表中可查到另外从型钢表中可查到32a热轧普通工字钢的热轧普通工字钢的Wz=70.758cm3，Wy=692.2cm3。将这些数将这些数据代入上式得到据代入上式得到.()()()33max33323280kN 10sin54m80kN 10cos54m4 70 758cm104 692 2cm10,.b c=+MPa1

20、60MPa8.217=因此因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲解：解：4.讨论讨论如果令上述计算中的如果令上述计算中的 0，也就是载荷也就是载荷FP沿着沿着y轴方向轴方向，这时产生平面弯曲这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为上述结果中的第一项变为0。于是梁内的于是梁内的最大正应力为最大正应力为这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可见可见，载荷偏载荷偏离对称轴离对称轴(y)一很小的角度一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加最大正应力就会

21、有很大的增加(本本例题中增加了例题中增加了88.4)，这对于梁的强度是一种很大的威胁这对于梁的强度是一种很大的威胁，实实际工程中应当尽量避免这种现象的发生际工程中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起这就是为什么吊车起吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧而不允许在大梁的侧面斜方向起吊的原因面斜方向起吊的原因。第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲()()3max33280kN 10 m150692 2cm10b c=,.拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与

22、变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算斜塔将会怎样倒塌？破坏将从哪里开始？拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向

23、的当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力弯矩和剪力。忽略剪力的影响忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，这这种情形称为偏心加载种情形称为偏心加载。如图所示即为偏心加载的一种情形如图所示即为偏心加载的一种情形。这时这时，如果将纵向力向横截面的形心简化如果

24、将纵向力向横截面的形心简化，在杆件的横在杆件的横截面上就会产生轴力和弯矩截面上就会产生轴力和弯矩。拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算在梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下在梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下，根据轴力图和弯矩图根据轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面以及可以确定杆件的危险截面以及危险截面上的轴力危险截面上的轴力FN和弯矩和弯矩Mmax。拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算轴力轴力FN引起的正应力沿整个横截面

25、均匀分布引起的正应力沿整个横截面均匀分布，轴力为正时轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时产生压应力：产生拉应力；轴力为负时产生压应力：AFN弯矩弯矩Mmax引起的正应力沿横截面高度方向呈线性分布：引起的正应力沿横截面高度方向呈线性分布：zzM yI=应用叠加法应用叠加法，将二者分别引起的同一点的正应力相加将二者分别引起的同一点的正应力相加，所得所得到的应力就是二者在同一点引起的总应力到的应力就是二者在同一点引起的总应力。拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算由于轴力由于轴力FN和弯矩和弯矩Mmax的方向有不同形式的组

26、合的方向有不同形式的组合，因此因此横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。式中式中MFPe；e为偏心距；为偏心距；A为横截面面积为横截面面积。AFWMNmax+WMAFNmax 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算最大正应力点的强度条件与弯曲时相同最大正应力点的强度条件与弯曲时相同，即即 max拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算例题例题 2钻床立柱为空心铸铁管钻床立柱为

27、空心铸铁管，管的外径管的外径为为D140 mm，内内、外径之比外径之比dD0.75。铸铁的拉伸许用应力为铸铁的拉伸许用应力为35 MPa，压缩许用压应力为压缩许用压应力为90 Mpa。钻孔时钻头钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示和工作台面的受力如图所示，其中其中FP15 kN，力力FP作用线与立柱轴线之间的作用线与立柱轴线之间的距离距离(偏心距偏心距)e400 mm。试校核：试校核：立柱的强度是否安全立柱的强度是否安全？拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算用假想截面用假想截面m-m将立柱截将立柱截开开，以截开的上

28、半部分为研究以截开的上半部分为研究对象对象。由平衡条件得到截面上由平衡条件得到截面上的轴力和弯矩分别为的轴力和弯矩分别为解：解：1 1.确定立柱横截面确定立柱横截面上的内力分量上的内力分量FNFP15 kN MzFPe6 kN.m 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算立柱在偏心力立柱在偏心力FP作用下产生拉伸与弯曲组合变形作用下产生拉伸与弯曲组合变形。因为因为立柱内所有横截面上的轴力和弯矩都是相同的立柱内所有横截面上的轴力和弯矩都是相同的，所以所以，所有所有横截面的危险程度是相同的横截面的危险程度是相同的。根据横

29、截面上轴力根据横截面上轴力FN和弯矩和弯矩Mz的实际方向可知的实际方向可知，横截面上左横截面上左、右两侧的右两侧的b点和点和a点分别点分别承受最大拉应力和最大压应力承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为其值分别为解：解：2 2.确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力()()432122P43PNmaxdDFDeFAFWMz+MPa9234.=拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：2 2.确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力()()432122P43PNmaxdDFDeFAFWM

30、z+MPa9234.=()()432122P43PNmaxdDFDeFAFWMz+MPa3830.=二者的数值都小于各自的许用应力值二者的数值都小于各自的许用应力值。这表明立柱这表明立柱的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度都是安全的的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度都是安全的。拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算例题例题 3已知：已知：开口链环由直径开口链环由直径d12 mm的圆钢弯制而成，其形状如图的圆钢弯制而成，其形状如图所示。链环的受力及其他尺寸均示所示。链环的受力及其他尺寸均示于图中。于图中。求：求：1链环

31、直段部分横截面上链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；的最大拉应力和最大压应力；2.中性轴与截面形心之间中性轴与截面形心之间的距离的距离。拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：l计算直段部分横截面计算直段部分横截面上的最大拉、压应力上的最大拉、压应力将链环从直段的某一横将链环从直段的某一横截面处截开，根据平衡，截截面处截开，根据平衡，截面上将作用有内力分量面上将作用有内力分量FNx和和Mz。由平衡方程。由平衡方程=0 xF=0CM得到得到FNx800 N，Mz 80015103Nm12 Nm 拉伸（

32、压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算轴力轴力FNx引起的正应力在引起的正应力在截面上均匀分布，其值为截面上均匀分布，其值为FNx800 N，Mz 80015103Nm12 Nm 解：解：l计算直段部分横截面计算直段部分横截面上的最大拉、压应力上的最大拉、压应力()7.07MPaPa107.07Pa1012800446622NNN=dFAFxxxxF拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算弯矩弯矩Mz引起的正应力沿引起的正应力沿y方向线性分布。

33、最大拉、压方向线性分布。最大拉、压应力分别发生在应力分别发生在A、B两点，两点，其绝对值为其绝对值为FNx800 N，Mz 80015103Nm12 Nm 解：解：l计算直段部分横截面计算直段部分横截面上的最大拉、压应力上的最大拉、压应力()70.7MPaPa1070.7Pa10121232326633max=dMWMMzzzzx拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由载荷引起的链环直段横截面上的正应力分布。载荷引起的链环直段

34、横截面上的正应力分布。FNx800 N，Mz 80015103Nm12 Nm 解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力计算直段部分横截面上的最大拉、压应力拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算从图中可以看出，横截面上的从图中可以看出，横截面上的A、B二点处分别承受最二点处分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为大拉应力和最大压应力，其值分别为解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力计算直段部分横截面上的最大拉、压应力()()MPa877Nmax.F=+=+zxxxxM()()MPa663Nmax.F=

35、zxxxxM拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算令令FNx和和Mz引起的正应力引起的正应力之和等于零，即之和等于零，即解：解：2计算中性轴与形心之间的距离计算中性轴与形心之间的距离()00N=zzxxIyMAF其中，其中，y0为中性轴到形心的距为中性轴到形心的距离离。于是，由上式解出。于是，由上式解出0.6mmm100.6m1264101280044643-6224NN0=dMdFAMIFyzxzzx拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度

36、计算 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合 危险点及其应力状态危险点及其应力状态 计算简图计算简图 强度条件与设计公式强度条件与设计公式第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算借助于带轮或齿轮传递功率借助于带轮或齿轮传递功率的传动轴，工作时在齿轮的齿上的传动轴，工作时在齿轮的齿上均有外力作用。均有外力作用。将作用在齿轮上的力向轴的将作用在齿轮上的力向轴的截面形心简化便得到与之等效的截面形心简化便得到与之等效的力和力偶，这表明轴将承受横向力和力偶，这表明轴将承受横向载荷

37、和扭转载荷。载荷和扭转载荷。为简单起见，可以用轴线受为简单起见，可以用轴线受力图代替原来的受力图。这种图力图代替原来的受力图。这种图称为传动轴的计算简图。称为传动轴的计算简图。计算简图弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算为了对承受弯曲与扭转共同作用的圆轴进行强度设为了对承受弯曲与扭转共同作用的圆轴进行强度设计，一般需画出弯矩图和扭矩图（剪力一般忽略不计），计，一般需画出弯矩图和扭矩图（剪力一般忽略不计），并据此确定传动轴上可能的危险面。因为是圆截面，所并据此确定传动轴上可能的危险面。因为是圆截面，所以当危险面上有两个弯矩以当危险

38、面上有两个弯矩My和和Mz同时作用时，应按矢量同时作用时，应按矢量求和的方法，确定危险面上总弯矩求和的方法，确定危险面上总弯矩M的大小与方向。的大小与方向。危险点及其应力状态OxzyMxMyMzOxzyMxMyMzM弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算根据截面上的总弯矩根据截面上的总弯矩M和扭矩和扭矩Mx的实际方向，以及的实际方向，以及它们分别产生的正应力和剪应力分布，即可确定承受弯它们分别产生的正应力和剪应力分布，即可确定承受弯曲与扭转作用的圆轴的危险点及其应力状态。曲与扭转作用的圆轴的危险点及其应力状态。微元截面上的正应力和

39、剪应力分别为微元截面上的正应力和剪应力分别为PWMWMx=,16323P3dWdW=,xzyMxMO危险点危险点 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算危险点应力状态的主应力危险点应力状态的主应力2214212+=2234212+=02=因为承受弯曲与扭转作用的圆轴因为承受弯曲与扭转作用的圆轴一般由韧性材料制成，故可用最大剪一般由韧性材料制成，故可用最大剪应力准则或畸变能密度准则作为强度应力准则或畸变能密度准则作为强度设计的依据。于是，得到强度条件：设计的依据。于是，得到强度条件：强度条件与设计公式弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合

40、第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算对于第三强度理论对于第三强度理论对于第四强度理论对于第四强度理论+=22314()()()21323222121+=223将将 和和 的表达式代入上式，并考虑到的表达式代入上式，并考虑到WP2W，便得到，便得到+WMMx22+WMMx22750.弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算引入记号+WMMx22+WMMx22750.22222r3zyxxMMMMMM+=22222r4750750zyxxMMMMMM+=.式中，式中，Mr3和和Mr4分别称为基于第三强度

41、理论和基于第四强度分别称为基于第三强度理论和基于第四强度理论的理论的计算弯矩计算弯矩或或相当弯矩相当弯矩（equivalent bending moment）。）。WM3r WM4r弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算将将W d332代入上式，便得到承受代入上式，便得到承受弯曲与扭转的圆轴直径的设计公式：弯曲与扭转的圆轴直径的设计公式：WM3r WM4r 33r33r1032MMd 34r34r1032MMd需要指出的是，对于承受纯扭转的圆轴，只要令需要指出的是，对于承受纯扭转的圆轴，只要令Mr3的的表达式或表达式或Mr4的表达

42、式中的弯矩的表达式中的弯矩M0，即可进行同样的设，即可进行同样的设计计算。计计算。弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算电动机的功率电动机的功率P9 kW，转速，转速n715 rmin，带轮的直径，带轮的直径D250 mm，皮带松边拉力为，皮带松边拉力为FP，紧边拉力，紧边拉力为为2FP。电动机轴外伸部分长度。电动机轴外伸部分长度l120 mm，轴的直径，轴的直径d40 mm。若已。若已知许用应力知许用应力 60 MPa，例 题 4试求：试求：用用第三强度理论第三强度理论校核电动校核电动机轴的强度机轴的强度。弯曲与扭转的组合弯曲与

43、扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：1计算外加力偶的力偶矩以及皮带拉力计算外加力偶的力偶矩以及皮带拉力电动机通过带轮输出功率，因而承受由皮带拉力引电动机通过带轮输出功率，因而承受由皮带拉力引起的扭转和弯曲作用。根据轴传递的功率、轴的转速与起的扭转和弯曲作用。根据轴传递的功率、轴的转速与外加力偶矩之间的关系，作用在带轮上的外加力偶矩为外加力偶矩之间的关系，作用在带轮上的外加力偶矩为根据作用在皮带上的拉力与外加力偶矩之间的关系，有根据作用在皮带上的拉力与外加力偶矩之间的关系，有mN2120r/min715kW995499549e.nPMePP22

44、2MDFDF于是，作用在皮带上的拉力于是，作用在皮带上的拉力N696110mm250mN2120223eP.DMF弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：2确定危险面上的弯矩和扭矩确定危险面上的弯矩和扭矩将作用在带轮上的皮带拉力向轴线将作用在带轮上的皮带拉力向轴线简化，得到一个力和一个力偶，即简化，得到一个力和一个力偶，即mN21208N2884N696133ePR.MFF轴的左端可以看作自由端，右端可轴的左端可以看作自由端，右端可视为固定端约束。由于问题比较简单，视为固定端约束。由于问题比较简单，可以不必画出弯矩图和扭矩图

45、，就可以可以不必画出弯矩图和扭矩图，就可以直接判断出固定端处的横截面为危险面，直接判断出固定端处的横截面为危险面，其上之弯矩和扭矩分别为其上之弯矩和扭矩分别为mN2120m2N34610120mmN696133e-3PRmax.MMlFlFMx弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：3 应用应用第三强度理论第三强度理论mN2120m2N3463ePRmax.MMlFlFMx所以，电动机轴的强度是安全的。所以，电动机轴的强度是安全的。()()()+MPa32583210mm40mN2120mN234633-2222.WMMx弯

46、曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算圆杆圆杆BO，左端固定左端固定，右端与右端与刚性杆刚性杆AB固结在一起固结在一起。刚性杆的刚性杆的A端作用有平行于端作用有平行于y坐标轴的力坐标轴的力FP。若已知若已知FP5 kN，a300 mm，b=500 mm，材料为材料为Q235钢钢，许许用应力用应力 140 Mpa。例 题 5试求：试求：分别用分别用第三强度理论第三强度理论和和第四强度理论第四强度理论设计圆杆设计圆杆BO的直径的直径d。弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算

47、解：解：1将外力向轴线简化将外力向轴线简化FPFPFPFPMe将外力将外力FP向向BD杆的杆的B端简化端简化，得到一个向上的力和一个绕得到一个向上的力和一个绕x轴转轴转动的力偶动的力偶:FP5 kN，MeFPa1500 Nm 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：2确定危险截面以及其上的确定危险截面以及其上的内力分量内力分量FPMeBO杆相当于一端固定的悬臂杆相当于一端固定的悬臂梁梁，在自由端承受集中力和扭转力在自由端承受集中力和扭转力偶的作用偶的作用，同时发生弯曲和扭转变同时发生弯曲和扭转变形形。不难看出不难看出，BO杆

48、的所有横截杆的所有横截面上的扭矩都是相同的面上的扭矩都是相同的，弯矩却不弯矩却不同同，在固定端在固定端O处弯矩取最大值处弯矩取最大值。因此固定端处的横截面为危险面因此固定端处的横截面为危险面。此外此外，危险面上还存在剪力危险面上还存在剪力，考虑考虑到剪力的影响较小到剪力的影响较小，可以忽略不计可以忽略不计。弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：2确定危险截面以及其上确定危险截面以及其上的内力分量的内力分量因此固定端处的横截面为危因此固定端处的横截面为危险面险面。危险面上的扭矩和弯矩的危险面上的扭矩和弯矩的数值分别为数值分别

49、为弯矩弯矩 MzFPb5 kN103500 mm1032500 Nm，扭矩扭矩 MxMeFPa5 kN103300 mm1031500 Nm弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：3应用强度理论设计应用强度理论设计BO杆的直径杆的直径弯矩弯矩 MzFPb5 kN103500 mm1032500 Nm，扭矩扭矩 MxMeFPa5 kN103300 mm1031500 Nm应用第三强度理论应用第三强度理论，则有则有 32233r1010 xzMMMd+()()59.3mmm0593010MPa140mN1500mN2500103

50、622=+.弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计算解：解：3应用强度理论设计应用强度理论设计BO杆的直径杆的直径弯矩弯矩 MzFPb5 kN103500 mm1032500 Nm，扭矩扭矩 MxMeFPa5 kN103300 mm1031500 Nm应用第四强度理论应用第四强度理论，则有则有 22r433100 7510.zxMMMd+=()()52.2mmm0522010MPa140mN1500750mN2500103622=+.弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第10章章 组合受力与变形杆件的强度计算组合受力与变形杆件的强度计