第14章 静定结构的位移计算.ppt

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1、第14章 静定结构的位移计算14.1 概述14.2 虚功原理和单位荷载法14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算14.4 图乘法14.5 静定结构由于支座位移所引起的位移14.6 几个互等定理第14章 静定结构的位移计算学习目标通过本章的学习，熟悉虚功原理和单位荷载法；掌握图乘法；能够进行静定结构在荷载作用下的位移计算。14.1.1 杆系结构的位移（1）结构位移的定义结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结结构的位移。构的位移。14.1 概述 A 点的线位移 水平线位移 竖向线位移 截面A 的角位移 （

2、2 2）位移的分类位移的分类位移的分类位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角位移相对位移绝对位移广义位移 除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移 （3 3）引起位移产生的原因引起位移产生的原因引起位移产生的原因引起位移产生的原因14.1.2 计算位移的目的（）验算结构刚度，即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。（）为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需考虑变形协调条件，因此需要计算结构的位移。（）在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进

3、行位移计算。14.2 虚功原理和单位荷载法14.2.1 变形体的虚功原理 功功是力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度。力力在自身引起的位移上所作的功称为实功实功。力Fp1在位移 11上作的实功 当静力加载时，即：FP1由0增加至FP1 11 由由0增加至至 11W11=FP111 虚虚功功是力在其他因素引起的位移上作的 特点特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移 12 上作了功，为虚功，大小为 W12=FP1 12 在小变形

4、条件下，12由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状态。当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。虚功原理：虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。14.2.2 单位荷载法（1）结构位移）结构位移定义定义 定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。（2）计算结构位移的一般公式计算结构位移的一般公式 K+RiCi=+式中，=1 则 K=d+NQ RiC

5、i 对于实际状态，微段的变形与内力的关系如右图所示。经进一步推导，可得 式中，按等内力、等截面分段积分求和。设虚拟状态，用上式计算结构指定位移的方法称为单位荷载法。14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算14.3.1 静定结构在荷载作用下的位移公式（1）静定结构在荷载作用下的位移公式静定结构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移 Ci 0，位移公式则为 对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为弯矩的影响 轴力的影响 剪力的影响 曲率的影响 图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载

6、FP作用下的竖向线位移 由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数 =1.2，计算结果为式中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四部分之比 M :N :Q :r =1200:1:3:2=（2）各类杆件结构在荷载作用下的位移公式各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度 （2）桁架 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式（3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，

7、取用公式中的前两项（4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计（3）虚拟状态的选取虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1）欲求一点的线位移线位移，加一个单位集中力2）欲求一处的角位移角位移，加一个单位集中力偶 3）欲求两点的相对线位移相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力 4）欲求两处的相对角位移相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶 5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶平行、反向的集中力，两力形成单位力

8、偶。力偶臂为d，每一力的大小为1/d力和力偶统称为广义力，单位广义力用=1表示线位移和角位移统称广义位移广义位移，用表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反 计算步骤为（1）设虚拟状态；（2）计算,FNP;（3）用桁架的位移计算公式计算位移。【例例14-1】图示桁架各杆的图示桁架各杆的EA相等，相等，求求C 结点的竖向位移结点的竖向位移vc 14.3.2 静定桁架的位移计算【解解】（1）设虚拟状态（如上图）设虚拟状态（如上图b所示）所示）（2）计算）计算N 和和FNP（标于上图标于

9、上图 b.a）（3）代公式求）代公式求C点的竖向位移点的竖向位移【例例14-2】图示钢桁架，图中括号内数值图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位为杆件横截面面积（单位cm2）。许可挠度）。许可挠度与跨长的比值与跨长的比值，试校核桁架的刚度。试校核桁架的刚度。【解解】对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度校核。1）建立虚拟状态（如图b 所示）2 2）计算N 和FNP，并标于图b、a 上 3）求3点的竖向位移，进行刚度校核 计算半个桁架的，列表如下:杆件 编号 /mmA/mm2 /(1/mm)FNP/N N上弦 6-7600010

10、0000.6-750000-0.75337500下弦 1-312000100001.2+600000+0.375270000斜杆 1-610000125000.8-1000000-0.625500000斜杆 3-61000050002250000+0.625312500竖杆 2-600 竖杆3-7001420000根据上表，得 所以，桁架满足刚度条件（1）梁的位移梁的位移 挠度：挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用w 表示，规定w 向下为正。转角：转角：横截面的角位移 ，规定顺时针转为正14.3.3 梁的位移及刚度校核在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表11.1所示），可供

11、计算时查用。表11.1 梁的挠度与转角公式 荷载类型转角最大挠度1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端续表时3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上时-（在处）5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上6简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端续表-（2）梁的刚度校核梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比为标准 在工程上，吊车梁的 1/600 铁路钢桁梁的 1/900梁的刚度条件为:【例例14-3】图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处 承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度=3m，许用应力=160MPa，许

12、用挠度w=/500，弹性模量E=2105MPa，试选择工字钢的型号。【解解】（1）按强度条件选择工字钢型号）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：梁的最大弯矩为：按弯曲正应力强度条件选截面查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4（2）校核梁的刚度）校核梁的刚度=4.75mm=梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢（3）提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度抗弯刚度EI、梁的跨梁的跨度度L、荷载、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：(1)增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I

13、 值，一般不采用增大E 值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I。（2）减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L 值：增加中间支座 而两端支座内移 如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部梁外伸部分的荷载作用分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。(3)改善荷载的作用情况在结构允许的情况

14、下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。形减小，刚度提高。（1）图乘法的适用条件：图乘法的适用条件：（1）杆段的轴线为直线（2）杆段的弯曲刚度EI为常数 直梁和刚架的位移公式则为(3)MP图和图中至少有一个直线图形 14.4 图乘法 14.4.1 图乘法原理（）图乘法原理图乘法原理图乘法求位移的一般表达式为注意：1.应取自直线图中2.若 与 在杆件的同侧,取正值;反之,取负值3.如图形较复杂，可分解为简单图形.（3）

15、图乘法的步骤图乘法的步骤(1).设虚拟状态；(2).画图。图；(3).图乘求位移下面介绍几个规则图形的面积和形心位置（4）图形的分解图形的分解当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。梯-梯同侧组合：梯-梯同侧组合：梯-梯异侧组合由区段叠加法作的弯矩图，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规则抛物线图形的叠加。曲-折组合阶梯形截面杆下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移【例例14-4】试求图试求图a所示外伸梁所示外伸梁C点的竖向位移点的竖向位移 CV。梁的 EI=常数 14.4.2 图乘法计算直梁和刚架的位移【解解】MP、图分别如图图分别如图(b).(

16、c)所示。所示。BC 段的段的MP图是标准图是标准二次抛物线；二次抛物线；AB段的段的MP图较复杂，图较复杂，但可将其分解为一个但可将其分解为一个三角形和一个标准二三角形和一个标准二次抛物线图形次抛物线图形。由图乘法得 代入以上数据,于是【例例14-2】试求图试求图a所示伸臂梁所示伸臂梁C点的竖向位移点的竖向位移 cv。设EI=【解解】荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。在AB段,MP和图均是三角形；在BC段，MP图 可看作是由B.C 端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图即图b中虚线与曲线之间包含的面积叠加而成。将上述各部分分别图乘再叠加，即得【例例14-6

17、】试求图试求图(a)所示刚架结点所示刚架结点B的水平的水平BH。位移位移 设各杆为矩形截面，截面尺寸设各杆为矩形截面，截面尺寸为为bxh，惯性矩，惯性矩l=,E为常数，只为常数，只考虑弯矩变形的影响。考虑弯矩变形的影响。【解解】：先作出MP图和图,分别如图(b)(c)所示。应用图乘法求得结点B的水平位移为：静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。如图 a所示静定结构,其支座 发生水平位移C1、竖向位移C2 和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移K。14.5 静定结构由于支座位移所引起的位移 这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式 因为

18、从实际状态中取出的微段ds的变形为d=du=于是上式可简化为K=-Ci 这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中 为虚拟状态图b的支座反力，Ci为实际状态的支座位移，Ci为反力虚功。当与实际支座位移Ci 的方向一致时其乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还上式右边前面还有一个负号，不可漏掉有一个负号，不可漏掉。【例例14-7】图图(a)所示静定刚架，若支架所示静定刚架，若支架A发生图示的位移发生图示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.cH、竖向位移、竖向位移Cv。试求试求C点的水平位移点的水平位移【解解】：在在C 点处分别加一水平和竖向的单位力，点处分别加一水平和竖向的单位力，求

19、出其支座反力如图求出其支座反力如图(b)(c)所示。所示。由公式K=-Ci 得：cH=-(11.0-11.5)=0.5cmcv=-1.51=-1.5cm图示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2，称之为第一状态和第二状态。14.6 几个互等定理 14.6.1 功互等定理虚功 W12为虚功 W21为比较，得W12=W21即一般形式为 因此得到功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的相应位第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功。的外力虚功。条件：在结构的两种状态中都只

20、作用一个只作用一个 荷载，荷载，且为单位荷载。且为单位荷载。单位荷载所引起的位移称为位移系数，用表示（图a.b）14.6.2 位移互等定理根据功的互等定理1 即这就是位移互等定理位移互等定理：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。的第二个单位力作用点沿其方向的位移。上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。21与12可能含义不同，但二者数值相等（图c.d）即 反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映在超静定结构中如果两

21、个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用ri j表示 14.6.3 反力互等定理根据功的互等定理，有r21=r12即r 21=r12这就是反力互等定理反力互等定理，它表明支座支座1 1发生单位位发生单位位移所引起的支座移所引起的支座2 2的反力，等于支座的反力，等于支座2 2发生与上发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座述反力相应的单位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应。可能r12与 r21 一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值相等（图 c、d）。r 21=r12即谢 谢